中学受験算数 平面図形がわからない時

中学受験算数で平面図形がわからない理由

この記事では、中学受験算数の平面図形がわからないと悩む保護者の方に向けて、つまずきの原因と家庭でできる具体的な教え方を順番に解説します。

公式は覚えていても使う場所が見えない

中学受験算数の平面図形がわからない子は、公式をまったく覚えていないわけではありません。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、長方形の面積は「たて×横」、円の面積は「半径×半径×3.14」と言える子は多いです。

それでも問題になると手が止まるのは、公式を使う場所が見えていないからです。たとえば三角形の面積を求める問題でも、図の中に複数の三角形が重なっていると、どこを底辺にするのか、どこが高さなのかを自分で判断しなければなりません。

角度問題でも同じです。三角形の内角和が180度だと知っていても、どの三角形を見ればよいのかが分からなければ、式を立てられません。平行線があるのに錯角や同位角に気づかない、円の半径が等しいことを見落とす、ということもあります。

つまり、平面図形は「公式を暗記する単元」ではなく、「図の中から使える条件を探す単元」です。家庭で教えるときは、いきなり解き方を説明するより、「この公式を使えそうな形はどこにある？」と見る場所を一緒に探すことが大切です。

図の中の条件を整理できない

平面図形がわからない子に多いのは、問題文に書かれている条件を図に移せていない状態です。「AB＝AC」と書かれていても同じ長さに印をつけない。「直線ABとCDは平行」と書かれていても、平行線に印を入れない。これでは、図の中の情報が増えません。

平面図形では、問題文の条件を図に書き込むことで、次に使える手がかりが見えてきます。たとえば、同じ長さに印をつけると、二等辺三角形に気づけることがあります。平行線に印をつけると、錯角や同位角が見つかることがあります。直角に印をつけると、高さや長方形の一部が見えることがあります。

図形が得意な子は、問題文を読みながら自然に図へ条件を書き込んでいます。一方、苦手な子は、図を見つめるだけで情報を整理できていません。

平面図形がわからない原因は、センス不足ではありません。条件を図の上に見える形で整理する習慣がまだ身についていないだけです。まずは「書き込む」ことから始めましょう。

補助線や比が急に難しく感じる

平面図形で「わからない」が強くなるのは、補助線や比が出てきたときです。解説を見ると、一本の補助線であっさり解けているように見えるため、「こんな線は思いつけない」と感じる子も多いでしょう。

しかし、補助線はひらめきだけで引くものではありません。目的があります。三角形を作るため、平行線を利用するため、同じ高さを見つけるため、相似な図形を見つけるため、面積を分けるために引きます。

また、比の問題では、辺の比、面積比、相似比を区別する必要があります。同じ高さの三角形なら、面積比は底辺の比と同じです。一方、相似な図形なら、面積比は辺の比を2回かけた比になります。相似比が2：3なら、面積比は4：9です。

補助線や比が難しく見えるのは、考える順番が見えていないからです。いきなり線を引く、いきなり比を使うのではなく、「何を見つけたいのか」「何の比を比べているのか」を確認することが大切です。

平面図形がわからない子に多いつまずき

図を見たまま手が止まる

平面図形がわからない子によく見られるのが、図を見たまま手が止まる状態です。これは、やる気がないのではなく、最初に何をすればよいか分からない状態です。

このつまずきを減らすには、最初の行動を決めておくことが効果的です。まず、問題文に書かれている長さや角度を図に書き込みます。次に、同じ長さ、直角、平行、等しい角に印をつけます。最後に、三角形、四角形、円の一部など、知っている形に分けられないかを見ます。

たとえば角度問題なら、分かる角度をすべて書き込みます。面積問題なら、求めたい部分に斜線をつけます。比の問題なら、同じ高さの三角形や相似な図形がないかを探します。

図形問題は、最初から解法が見えるとは限りません。書き込みながら気づく単元です。家庭では、答えが合っているかだけでなく、図に手を動かせているかを見てあげましょう。

角度・長さ・平行を書き込めない

平面図形がわからない子は、図に書き込むべき情報を見落としがちです。角度、長さ、平行は特に重要です。この3つを書き込めるだけで、解ける問題はかなり増えます。

角度問題では、分かった角をその都度書き込むことが大切です。一つ角度が分かると、三角形の残りの角、一直線上の角、平行線の錯角や同位角が見えてくることがあります。

長さでは、同じ長さに同じ印をつけます。二等辺三角形、正三角形、正方形、ひし形などに気づくきっかけになります。円の問題では、中心から円周上の点までの半径が同じ長さであることを必ず確認しましょう。

平行線がある場合は、錯角や同位角を使える可能性があります。Zの形やFの形を見つけやすくするためにも、平行線には印をつける習慣が必要です。

家庭で見るときは、「何も書かずに考えていないか」を確認しましょう。図形問題では、書き込みが考える第一歩です。

辺の比と面積比を取り違える

平面図形の応用でよくあるつまずきが、辺の比と面積比の取り違えです。比が出てくると、子どもは数字だけに注目し、「2：3」と書かれていれば何でも2：3で処理してしまうことがあります。

同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じです。たとえば、高さが同じで底辺の比が2：3なら、面積比も2：3です。

一方、相似な図形では、面積比は辺の比を2回かけた比になります。相似比が2：3なら、面積比は4：9です。ここを2：3のまま扱うと、答えが大きくずれます。

この違いを理解するには、「何が同じなのか」を見ることが大切です。同じ高さなのか、相似なのか。それによって、比の使い方が変わります。

子どもには、「同じ高さならそのまま」「相似なら2回かける」と整理すると伝わりやすいです。ただし、暗記だけでなく、図の中で同じ高さや相似を確認することが必要です。

中学受験算数 平面図形をわかるようにする基本

角度は三角形・平行線・円から見る

平面図形の角度問題がわからないときは、見る順番を決めると解きやすくなります。まず確認したいのは、三角形、平行線、円の3つです。

三角形では、内角の和が180度です。二等辺三角形なら底角が等しく、正三角形なら3つの角がすべて60度です。角度問題では、まず使える三角形がないかを探しましょう。

平行線がある場合は、錯角や同位角を使います。Zの形やFの形を見つけると、同じ角度が分かることがあります。平行線に印をつけておくと、角度の関係が見えやすくなります。

円がある場合は、半径に注目します。中心から円周上の点へ引いた線はすべて半径なので、同じ長さです。そこから二等辺三角形が見つかり、角度が求められることがあります。

角度問題は、複雑に見えても基本の組み合わせです。「三角形はある？」「平行線はある？」「半径はどこ？」という順番で見る習慣をつけましょう。

面積は分ける・引く・移すで考える

平面図形の面積がわからないときは、公式を探す前に、形をどう変えられるかを考えましょう。面積問題の基本は「分ける」「引く」「移す」です。

「分ける」は、複雑な形を三角形、長方形、台形、円の一部などに分ける考え方です。知らない形に見えても、知っている形に分ければ基本公式で求められます。

「引く」は、大きな図形から不要な部分を取り除く考え方です。たとえば、正方形全体から三角形を引く、円から不要な部分を引く、という方法です。

「移す」は、同じ形を移動して分かりやすい形にする考え方です。影のついた部分が離れていても、同じ形を移すと長方形や三角形にまとまる場合があります。

家庭で声をかけるなら、「この形は分けられる？」「大きい形から引ける？」「同じ形を移せる？」がおすすめです。面積問題は、公式の前に形の整理が大切です。

補助線は目的を決めて引く

補助線がわからない子には、「何のために引くのか」を考えさせることが大切です。補助線は、思いつきで引くものではなく、情報を増やすために引くものです。

角度問題では、三角形を作るため、平行線を使うため、円の半径を見つけるために線を引くことがあります。面積問題では、図形を分けるため、同じ高さの三角形を作るため、相似な図形を見つけるために線を引くことがあります。

たとえば、同じ高さの三角形を作りたいなら、底辺に対して高さが見える線を引くことがあります。相似を見つけたいなら、対応する角が見えやすくなるように線を加えることがあります。

家庭では、「どこに線を引く？」と聞く前に、「この線を引いたら何が分かる？」と聞いてみましょう。補助線の目的が言えるようになると、線を引く場所も少しずつ見えるようになります。

家庭でできる平面図形の教え方

まず図に分かる条件を書き込む

家庭で平面図形を教えるときは、まず図に分かる条件を書き込むことから始めましょう。長さ、角度、平行、直角、同じ長さ、等しい面積などを図に移します。

この作業は簡単に見えますが、非常に重要です。条件を書き込むことで、図をただ眺める状態から、考える状態へ変えられます。平行線に印をつけるだけで錯角が見えやすくなり、同じ長さに印をつけるだけで二等辺三角形に気づけることがあります。

子どもが「わからない」と言ったときは、すぐに解説を始めるより、「分かっていることを図に入れてみよう」と声をかけましょう。求める部分に印をつけることも大切です。

図に書き込む習慣がつくと、平面図形は少しずつ見える単元になります。正解できるかどうかの前に、条件を書き出せているかを確認しましょう。

1問を3つの言葉で説明させる

平面図形を理解させるには、1問を3つの言葉で説明させる方法が効果的です。3つとは、「分かっていること」「求めること」「使う方法」です。

たとえば面積問題なら、「分かっていることは、長方形のたてと横」「求めることは、斜線部分の面積」「使う方法は、大きい長方形から三角形を引く」と説明できます。

角度問題なら、「分かっていることは、平行線と30度の角」「求めることは、三角形の残りの角」「使う方法は、錯角と三角形の内角和」となります。

子どもが説明できない場合は、理解があいまいな可能性があります。すぐに答えを教えるのではなく、「分かっていることは何？」から戻りましょう。

平面図形は、答えを出すだけでなく、方針を言葉にできるようになると安定します。家庭学習では、1問を丁寧に説明する時間を作ると効果的です。

難問より基本パターンをくり返す

平面図形がわからない子に対して、いきなり難問をたくさん解かせるのは逆効果になることがあります。難問は、基本パターンの組み合わせでできていることが多いからです。

まずは、角度なら三角形の内角和、平行線の錯角・同位角、円の半径による二等辺三角形。面積なら、分ける、引く、移す。同じ高さの三角形なら底辺の比。相似なら対応する角と辺の比。このような基本をくり返しましょう。

1日15分でも構いません。1問を丁寧に扱い、条件を書き込み、方針を説明し、間違えたらもう一度解き直します。問題数を増やすより、同じ見方を安定して使えるようにすることが大切です。

平面図形は、センスだけで決まる単元ではありません。正しい見方を積み重ねることで、「わからない」状態から少しずつ抜け出せます。

まとめ

中学受験算数の平面図形がわからない原因は、公式を覚えていても使う場所が見えないこと、図の条件を整理できないこと、補助線や比の使い方が見えていないことにあります。

まずは、図に分かっている条件を書き込む習慣をつけましょう。角度では三角形・平行線・円、面積では分ける・引く・移す、比では同じ高さや相似を確認することが大切です。補助線はひらめきではなく、目的を決めて引くものです。

家庭では、答えを急がせず、「分かっていること」「求めること」「使う方法」を子どもに説明させてみてください。難問より基本パターンをくり返し、図を見る順番を身につければ、平面図形は「わからない」単元から得点につながる単元へ変えていけます。