中学受験算数｜展開図の入試対策と頻出問題

中学受験算数の展開図は入試でどう出るのか

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の展開図が入試でどう出題され、家庭で何を練習すれば得点につながるのかを順に解説します。

展開図だけで終わらない複合問題が多い

展開図とは、立体の表面を辺に沿って切り開き、重ならないよう平面に広げた図です。基本問題では、立方体になる展開図を選んだり、向かい合う面を答えたりします。

しかし、中学受験算数の入試では、展開図の知識だけで完結しない問題も少なくありません。面に数字や模様が描かれている、組み立て後の位置を考える、表面積を求める、辺や頂点の対応を判断するといった内容が組み合わされます。

たとえば、直方体の展開図に辺の長さが一部だけ示され、残りの辺の長さや表面積を求める問題があります。この場合、面を折りたたむイメージだけでなく、接する辺は同じ長さになるという理解も必要です。

展開図の入試対策では、正しい形を覚えるだけでは不十分です。平面の図を立体へ戻し、面・辺・頂点がどこへ移るのかを説明できる状態を目指します。

面だけでなく辺・頂点の対応も問われる

展開図というと、どの面が向かい合うかを問う問題を想像しやすいでしょう。しかし、難度が上がると、組み立てたときに重なる辺や、同じ場所に集まる頂点も問われます。

立方体の1つの頂点には、3枚の面と3本の辺が集まります。展開図では別々に見える3つの点が、組み立てると1つの頂点になる場合があります。

この対応を頭の中だけで追うのは簡単ではありません。そこで、面にはA・B・C、頂点には①・②・③、辺には「あ・い・う」などの記号をつけます。折り上げたときに同じ位置へ来る記号を追うと、対応を整理できます。

入試では、限られた時間の中で正確に判断する必要があります。目で眺めて考えるのではなく、記号を書き込んで考える習慣をつけておくことが大切です。

学校によって出題形式と難度が異なる

展開図は幅広い中学校で出題されますが、学校によって求められる力は異なります。

標準的な問題では、立方体になる展開図の判定、向かい合う面、サイコロの数字などが中心です。難度が上がると、辺や頂点の対応、直方体や柱体の展開図、複数の条件を満たす模様の配置などが加わります。

志望校対策では、「展開図が出たか」だけでなく、何を問われたかを記録しましょう。「面の対応」「辺・頂点」「直方体」「表面積」のように分類すると、優先して練習すべき型が分かります。

ただし、過去問の難問だけを繰り返すのは効率的ではありません。まず、立方体の基本的な展開図を根拠を持って判断できるようにし、その後で志望校特有の問題へ進むことが入試対策の基本です。

展開図の入試で押さえたい頻出問題

立方体になる展開図を選ぶ問題

入試でよく出るのが、複数の図から立方体になる展開図を選ぶ問題です。正方形が6枚つながっていても、必ず立方体になるとは限りません。

立方体にならない主な理由は、折り上げたときに2枚の面が同じ位置へ重なること、または立体を閉じられないことです。

解くときは、中央付近の面を1枚選び、底面として固定します。次に、その面と辺を共有する面を前・後ろ・右・左へ1枚ずつ立てます。最後に残った面が上を閉じられるかを確認します。

正解した後は、「見たことがある形だった」で終わらせてはいけません。「この面を底にすると、6枚が重ならずに閉じる」と説明できることが重要です。

勘で選ぶ癖がある子には、不正解の選択肢も紙で折らせてみましょう。面が重なる場所を実際に見ると、成立しない理由を理解しやすくなります。

向かい合う面や模様の位置を求める問題

立方体には、向かい合う面が3組あります。上と下、前と後ろ、右と左です。展開図では、この3組を見つける問題がよく出ます。

基準面を底面にすると、最後に上から閉じる面が向かい合う面です。周囲に立つ4枚の側面も、反対方向に立つ2枚ずつが向かい合います。

数字や模様が入る問題では、最初に向かい合う面を3組に分けると整理しやすくなります。その後、問題文で指定された正面と上面を固定し、右や左へ来る面を考えます。

ここで注意したいのが、右と左の取り違えです。立体全体を頭の中で何度も回すと混乱しやすいため、正面と上面を途中で変えないようにします。

家庭では、箱の各面へ付箋を貼ってA～Fを書き、問題と同じ向きへ置く練習が効果的です。操作した後は、必ず展開図だけでも同じ位置を判断させましょう。

重なる辺・頂点を見つける問題

重なる辺や頂点の問題は、面の対応よりも一段難しくなります。入試で差がつきやすい問題ですが、手順を決めれば整理できます。

まず、基準面の4つの頂点へ①②③④と番号を書きます。隣の面には、共有している頂点の番号を写します。面を1枚ずつ折ったときに、どの番号が同じ場所へ集まるかを追います。

辺も同様です。組み立て後に重なりそうな辺へ「あ」「い」などの記号を書き、同じ位置へ来るものを確認します。

立方体の1つの頂点には3枚の面が集まるため、2枚の位置が決まれば、残りの1枚も考えやすくなります。

慣れるまでは同じ色で塗る方法も有効ですが、入試本番を考えると、最終的には数字や記号だけで判断できる状態を目指しましょう。

直方体や柱体の表面積と組み合わせる問題

直方体の展開図では、面の位置だけでなく、接する辺の長さも確認します。

たて4cm、横5cm、高さ3cmの直方体なら、「4×5」「5×3」「4×3」の長方形が、それぞれ2枚ずつあります。展開図を組み立てたときに接する辺は、同じ長さでなければなりません。

表面積は、6面すべての面積を合計します。この例では、4×5＝20、5×3＝15、4×3＝12なので、表面積は（20＋15＋12）×2＝94平方cmです。

三角柱では、合同な三角形が2枚と、側面となる長方形が3枚あります。側面の横の長さは、底面の三角形の各辺に対応します。

展開図を利用すると、どの大きさの面を何枚足すのかが見えやすくなります。公式だけで解かせず、「この長方形はどの面か」を説明させると理解が安定します。

入試の展開図で点を落とす原因

6枚の面を一度に動かそうとしている

展開図で手が止まる子は、6枚の面を同時に頭の中で折ろうとしていることがあります。その結果、上下や左右が入れ替わり、途中で位置を見失います。

解決策は、基準面を1枚固定し、ほかの面を1枚ずつ動かすことです。「底面を決める」「側面を立てる」「上面を閉じる」という順番を毎回使います。

入試本番でも、この手順は変わりません。難しく見える問題ほど、一度に考えず、1枚ずつ処理することが大切です。

正しい形を丸暗記している

立方体の展開図には決まった種類がありますが、形の暗記だけに頼ると、向きが変わった問題や模様が加わった問題に対応できません。

また、入試では「立方体になるか」だけでなく、「どの面が反対か」「どの辺が重なるか」まで問われます。形を覚えていても、面の移動を説明できなければ得点につながらない場合があります。

必要なのは、形の記憶ではなく、基準面から組み立てる手順です。正解した問題でも、理由を説明させることが重要です。

解説を見て分かっただけで終わっている

展開図は、解説を見ると理解したように感じやすい単元です。完成後の立体や対応する面が示されているため、その場では納得できます。

しかし、翌日に同じ問題を解くと、どこから考えればよいか分からなくなることがあります。これは、解説を理解できなかったのではなく、自分で手順を再現する練習が不足している状態です。

解説を読んだ後は本を閉じ、展開図を白紙から描き直しましょう。基準面、向かい合う面、重なる辺や頂点を書き込めるかを確認します。

「見れば分かる」から「自力で作れる」へ変えることが、入試で得点するために必要です。

家庭でできる展開図の入試対策

基準面から1枚ずつ折る手順を固定する

家庭学習では、展開図を見るたびに同じ手順を使わせましょう。

最初に基準面を1枚決めます。次に、基準面と辺を共有する面を側面として1枚ずつ立てます。最後に、上面となる面を確認し、重なりなく閉じるかを見ます。

面にA～Fの記号をつけ、「Aを底面にする」「Bを前面へ立てる」と声に出して説明させると、考えた順序が見えやすくなります。

毎回この手順を繰り返せば、初めて見る配置でも最初の一手に迷いにくくなります。

間違いを面・辺・頂点に分けて直す

展開図の間違いをすべて「空間認識が苦手」でまとめないことが大切です。失点を「面・辺・頂点」の3つに分類しましょう。

面のミスは、向かい合う面や組み立て後の位置を間違えた場合です。辺のミスは、重なる辺を追えなかった場合です。頂点のミスは、同じ場所に集まる点を判断できなかった場合です。

問題番号の横へ「面・辺・頂」と書くだけでも、弱点が見えてきます。面のミスなら基準面から折る練習、辺や頂点のミスなら記号を書き込む練習へ戻ります。

原因に合った復習をする方が、問題集を最初から繰り返すより効率的です。

過去問では得点する問題と後回しを決める

小6の過去問演習では、展開図を完答できたかだけでなく、時間の使い方も確認します。

立方体になる展開図、向かい合う面、基本的な模様の位置は、短時間で取りたい問題です。一方、複雑な辺・頂点の対応や条件整理を伴う最終小問は、本人の得意不得意によって後回しにします。

演習後は、正解不正解に加え、何分使ったか、どの時点で方針が立ったかを記録しましょう。2～3分考えて基準面も決められない場合は、いったん飛ばすという判断も必要です。

展開図の大問を完答できなくても、前半の基本問題を確実に取れば得点になります。入試対策では、解く力と同時に、取る問題を選ぶ力も育ててください。

まとめ

中学受験算数の展開図は、入試で立方体になる図の判定、向かい合う面、数字や模様の位置、重なる辺・頂点、直方体や柱体の表面積などとして出題されます。

問題を解くときは、6枚の面を一度に動かしてはいけません。基準となる面を1枚決め、側面を順に立て、最後に上面を閉じる手順で考えます。

辺や頂点の対応が問われる場合は、数字や記号を書き込み、同じ場所へ来る部分を追いましょう。頭の中だけで考えず、紙に判断の跡を残すことが重要です。

家庭では、間違いを面・辺・頂点に分け、解説を閉じた後に図と手順を再現してください。過去問では、基本問題を短時間で取り、複雑な最終問題を後回しにする判断も練習します。

展開図は、空間認識のセンスだけで決まる単元ではありません。保護者は答えを先に示すのではなく、「どの面を最初に固定する？」「この面の反対はどれ？」「この辺はどこへ移る？」と問いかけながら、考える順番を整えてあげてください。基本手順が定着すれば、展開図は入試でも根拠を持って得点できる分野へ変わります。