中学受験算数 展開図応用の解き方

中学受験算数の展開図応用でつまずく理由

この記事では、中学受験算数の展開図応用でつまずく理由を整理し、サイコロや最短距離などを解く手順と家庭での対策を解説します。

基本問題と応用問題では追う情報が違う

中学受験算数の展開図では、基本問題が解けても、応用問題になると手が止まる子が少なくありません。

基本問題では、向かい合う面や立方体になる展開図を選ぶ問題が中心です。ところが応用では、組み立てた後に重なる辺や頂点、サイコロを転がした後の面、立体表面上の最短距離まで考えます。

つまり、基本では主に「面」を追えばよかったのに対し、応用では面・辺・頂点の関係を同時に整理しなければなりません。

たとえば、辺アと重なる辺を答える問題では、辺だけを見て終わりではありません。辺の両端にある頂点が、それぞれどの点と一致するかまで確認する必要があります。辺は合っていても向きを逆にすると、頂点を問う次の設問で失点します。

応用問題で必要なのは、頭の中で立体を速く回す力だけではありません。問われている情報を絞り、図に記録しながら追う力です。

複数の面を一度に動かそうとしている

展開図の応用で混乱する大きな原因は、六つの面を一度に折ろうとすることです。

面に文字や数字が多く書かれていると、子どもはすべての位置を同時に覚えようとします。その結果、途中で上下や左右が入れ替わり、「最初にどの面を底にしたか」さえ分からなくなります。

応用問題でも、基本は一面ずつ考えることです。動かさない基準面を決め、その隣の面、さらにその隣の面という順に位置を確定します。

特に、問われていない面まで全部整理しようとすると、作業量が増えてミスにつながります。辺アとの対応を問われているなら、辺アを含む面と、その周囲の面を優先して追えばよいのです。

「全部を完成させてから答える」のではなく、「必要な部分だけ完成させる」という見方が、展開図応用を速く解くコツになります。

正解した解法を形ごと覚えている

応用問題の解説を読んだ後、同じ問題なら解けるのに、配置が変わった類題では止まることがあります。これは解法ではなく、完成した形を覚えている状態です。

たとえば、ある展開図で最短距離を求めたとき、「この2面を横に並べる」とだけ覚えても、始点と終点が変われば使えません。どの面を通る経路なのかを考え、その面を一続きに開くという理由まで理解する必要があります。

サイコロ問題でも、「1の右は3」と一つの向きだけ覚えていると、サイコロを回した図に対応できません。向かい合う面の組と、基準面に対する周囲の位置を整理することが先です。

家庭では、正解した後に「この図が別の向きでも同じ方法で解ける？」「最初に何へ気づいた？」と聞いてみましょう。応用力は、答えではなく解法の入口を説明できるかで判断します。

展開図の応用で必要になる3つの見方

動かさない基準面から位置を決める

展開図応用でも、最初にすることは基準面を一つ決めることです。文字や模様が指定されている場合は、その面を底面または正面として固定します。

基準面には丸をつけ、問題を解き終えるまで変えません。その周囲の面を一枚ずつ起こし、「右側面」「奥側面」など完成後の位置を書き込みます。

たとえば、基準面の上下左右に四面が付いていれば、その四面は立方体の側面として立ち上がります。残った一面は、基本的に基準面と向かい合う位置へ回り込みます。

応用問題では図が複雑に見えますが、基準面からの距離と折れる方向を一つずつ追えば、基本問題と同じ手順で整理できます。

途中で混乱した場合は、無理に続けず「基準面はどれか」に戻りましょう。出発点を固定し直すだけで、位置関係が見えることがあります。

辺は両端の頂点までセットで追う

重なる辺を判断するときは、辺だけでなく両端の頂点までセットで考えます。

一方の辺をアとしたら、その両端を①・②とします。重なる候補の辺にもアと書き、どちらの端が①、どちらが②になるかを確認します。

展開図を折ると、辺の向きが反転することがあります。そのため、紙面上で同じ向きに見える辺同士が、そのまま同じ向きで重なるとは限りません。

頂点問題では、一つの頂点に三つの面が集まる性質も使えます。基準面の右上の頂点なら、基準面、右側面、奥側面の三面が集まる、といった具合です。

家庭学習では、最初は色分けしても構いません。ただし、入試本番では鉛筆だけで処理できるよう、最終的には文字と番号で対応を整理する練習へ移しましょう。

必要な面だけをつないで考える

応用問題では、展開図全体を完成させなくても解けることがあります。

たとえば、立体表面上の二点間の最短距離を考えるなら、二点を結ぶ経路が通る面だけをつなげれば十分です。使わない面まで描き加えると、かえってどの長さを使うのか分かりにくくなります。

サイコロ問題でも、上面と正面の関係を問われているなら、すべての面を追わず、基準面とその隣接面を中心に整理できます。

必要な情報を絞るため、問題文を読んだら「何を答えるのか」に線を引きましょう。面なのか、辺なのか、頂点なのか、距離なのかによって、追う範囲が変わります。

展開図応用では、たくさん考える子より、考えなくてよい部分を見極められる子の方が、速く正確に解けることがあります。

中学受験で出る展開図応用の解き方

サイコロ問題は向かい合う面から整理する

サイコロの展開図では、最初に向かい合う面を3組整理します。向かい合う二面は、どの向きに回しても隣り合いません。この関係が、面の位置を考える土台になります。

次に一面を上面として固定し、その周囲に来る面を確認します。サイコロを転がす問題では、一回転がすごとに位置を書き換えましょう。

たとえば、右へ転がすと、右側面が新しい底面になり、元の上面が右側面へ移ります。一度に3回分を考えるのではなく、「1回目の上面」「2回目の上面」と順に記録します。

実物のサイコロを使う練習も有効ですが、必ず動かす前に答えを予想させてください。先に実物を回してしまうと、確認にはなっても、自分で位置を考える練習にはなりません。

最短距離は通る面を開いて直線にする

立体表面上の最短距離は、展開図の代表的な応用問題です。

立体上では折れ曲がって見える道も、通る面を平面に開けば一直線になります。そのため、まず始点から終点までに通る面を決め、その面だけを一続きに展開します。

たとえば、直方体の隣り合う二面を通るなら、その二面を横につなげた長方形として考えます。始点と終点を直線で結び、その長さを求めます。

三面を通る場合は、展開方法が一通りとは限りません。上面から側面、底面へ進む経路と、別の側面を通る経路では、できる長方形の縦横が変わります。考えられる展開を複数描き、それぞれの距離を比べる必要があります。

最短距離では、展開図を一つ描いて終わらず、「ほかの開き方はないか」を確認することが大切です。

複雑な辺・頂点問題は記号で対応させる

面に多くの記号が付いた展開図では、頭の中だけで位置を追うのは危険です。辺と頂点へ記号を付け、対応表を作るように整理します。

まず、問われている辺を含む面を基準にします。その面と直接つながる面を起こし、重なる可能性のある辺を探します。候補の辺には同じ文字をつけます。

続いて、辺の両端に番号をつけ、折ったときにどちらの点が一致するかを確認します。一つの頂点には三面が集まるため、面の組み合わせから点を特定できることもあります。

複雑な問題ほど、最初から答えを見抜こうとせず、面、辺、頂点の順に絞り込むことが重要です。

図への書き込みが増えて見にくくなる場合は、問われている周辺だけを別に拡大して描き直しましょう。

家庭で展開図の応用力を伸ばす方法

基本・標準・応用の順番を守る

展開図応用を伸ばすには、難問を増やす前に基本と標準の安定を確認します。

基本では、立方体になる展開図の判定や向かい合う面を扱います。標準では、重なる辺と頂点、簡単なサイコロ問題へ進みます。応用では、複数回転がすサイコロ、最短距離、複雑な面の対応を扱います。

向かい合う面を感覚で答えている状態で最短距離へ進んでも、使う面を正しくつなげられません。応用で止まったときは、「基準面を固定できたか」「隣接面を正しく判断できたか」まで戻りましょう。

一回の家庭学習は20〜30分程度で、基本1問、標準1問、応用または解き直し1問でも十分です。

一つの良問を三段階で解き直す

応用問題は、大量に解くより、一つの良問を深く使う方が効果的です。

第一段階では、時間を気にせず自力で考えます。紙を折ったり、図を描き直したりしても構いません。

第二段階では、解説と自分の方法を比べます。「基準面をどこにしたか」「不要な面まで追っていなかったか」「別の展開方法があるか」を確認します。

第三段階では、数日後に時間を測って解き直します。今度は実物を使わず、最低限の書き込みで解法を再現します。

この三段階を通すことで、理解、説明、速度の三つが身につきます。一度正解しただけで終わらせず、入試本番で再現できる状態まで仕上げましょう。

過去問では正答だけでなく時間も確認する

小6の過去問では、展開図の問題に何分使ったかも確認します。

向かい合う面や基本的な辺の対応は、短時間で確実に取りたい問題です。一方、複数の展開を比べる最短距離や、複雑なサイコロ問題は、学校によって難度が大きく異なります。

1〜2分考えても基準面や必要な面を決められない場合は、いったん後回しにする判断も必要です。難問一問に時間を使いすぎると、ほかの標準問題を落とす可能性があります。

過去問の復習では、「解けなかった」だけでなく、「本番で取りに行くべき問題だったか」「何分までなら使えるか」を話し合いましょう。

応用力とは、難問を完答する力だけではありません。問題の難度を見極め、試験全体の得点を守る力も含まれます。

まとめ

中学受験算数の展開図応用では、面だけでなく、辺・頂点・移動後の位置・表面上の距離まで整理する必要があります。しかし、六面を一度に頭の中で動かす必要はありません。

まず、動かさない基準面を一つ決め、面を一枚ずつ起こしましょう。辺を追うときは両端の頂点まで番号をつけ、問われている部分に必要な面だけを整理します。

サイコロ問題では向かい合う面を先に確認し、一回転がすごとに位置を記録します。最短距離では、通る面を一続きに開き、平面上の直線として考えます。展開方法が複数ある場合は、それぞれの距離を比べてください。

家庭学習では、基本・標準・応用の順番を守り、一つの良問を自力演習・解法研究・時間演習の三段階で使います。過去問では、正解できたかだけでなく、使った時間と後回しにする判断も確認しましょう。

展開図の応用は、特別なひらめきだけで解くものではありません。基準面を固定し、必要な情報を図へ記録し、順番に処理する習慣がつけば、難しい問題にも落ち着いて対応できるようになります。