中学受験算数「規則性」の頻出問題と対策

中学受験算数で規則性が頻出する理由

この記事では、中学受験算数で頻出する規則性の問題を4つに整理し、見分け方と家庭で優先したい対策を順を追って解説します。

規則性は、並んでいる数、色や記号、棒やタイルで作られた図形などから、共通する決まりを見つける単元です。問題ごとに見た目が変わるため、何を覚えればよいのか分かりにくいと感じる保護者も少なくありません。

しかし、中学受験でよく扱われる規則性は、等差数列、周期算、図形の規則、群数列の4つに大きく整理できます。

頻出パターンごとに注目する場所を知り、基本から順に練習すれば、初めて見る問題にも対応しやすくなります。

計算力だけでなく条件整理力を測れる

規則性の問題で使う計算は、足し算、引き算、かけ算、割り算が中心です。それでも正解しにくいのは、計算する前に規則を発見しなければならないためです。

例えば、4、9、14、19……という数列なら、隣り合う数の差が5であることに気づく必要があります。

20番目を求める場合、1番目の4から19回増えるので、

4＋5×19＝99

となります。

5ずつ増えることだけでなく、「20番目までに増える回数は19回」と整理できるかが問われています。

規則性は、計算力に加えて、情報を比べ、必要な関係を見つける力を測りやすい単元です。

数・図形・場合の数と組み合わせやすい

規則性は、単独の数列問題としてだけでなく、ほかの単元と組み合わせて出題されます。

数字の並びなら数の性質、棒やタイルの並びなら平面図形、色の塗り方や道順なら場合の数と結びつきます。

例えば、正方形を横に並べたときの棒の本数を求める問題は、図形に見えますが、「1個増えるごとに3本増える」という規則性の問題です。

三角形を段状に並べた図から、100段目の個数や全体の個数を求める問題もあります。

問題文に「規則性」と書かれていなくても、同じ変化が続いていないかを見ることが大切です。

基本問題から難問まで段階をつけやすい

規則性は、次の一つを求める簡単な問題から、100番目や全体の合計を求める難問まで、段階的に出題できます。

基本問題では、数の差や繰り返しを見つけます。標準問題では、遠く離れた番号を式で求めます。

難度が上がると、途中から増え方が変わる、複数の周期が重なる、逆に個数から番号を求めるといった条件が加わります。

そのため、基本の規則を理解していないと後半の設問まで進めません。一方、最初の小問を正確に取れれば、難問の一部でも得点できる可能性があります。

家庭学習では、難問を急ぐより、頻出する基本パターンを見抜く練習を優先しましょう。

中学受験算数で頻出する規則性4パターン

等差数列は隣り合う数の差を見る

等差数列とは、隣り合う数が同じ数ずつ増えたり減ったりする並びです。

例えば、

3、7、11、15、19……

では、毎回4ずつ増えています。

30番目の数を求める場合、1番目の3から29回増えるため、

3＋4×29＝119

です。

基本となる考え方は、

最初の数＋増える数×（求める番号－1）

です。

ただし、式だけを暗記させてはいけません。なぜ30番目なのに4を29回かけるのかを説明できることが重要です。

等差数列では、数字の間に「＋4」などと書き込み、差を目で確認する習慣をつけましょう。

周期算は一巡する個数を見つける

周期算は、同じ並びが一定の間隔で繰り返される問題です。

曜日、色、記号、点灯と消灯、余りなどを扱う問題でよく見られます。

例えば、

赤・青・青・黄

という4個の並びが繰り返されるとします。

53番目の色を求めるなら、

53÷4＝13余り1

です。4個のまとまりが13回あり、その次のまとまりの1番目なので赤になります。

余りが0の場合は、まとまりの最後です。52番目なら4番目の黄に当たります。

周期算では、割り算より先に「何個で一巡するか」を見つけることが重要です。繰り返す範囲を線で囲ませると理解しやすくなります。

図形の規則は新しく増えた部分を見る

棒、タイル、点、正方形、三角形などを順に増やす問題も頻出です。

図形の規則では、毎回全体を数え直すのではなく、前の図から新しく増えた部分に注目します。

正方形を横につなげる場合、最初の正方形には棒が4本必要です。2個目以降は1辺を共有するため、1個増えるごとに棒が3本ずつ増えます。

正方形を20個並べるなら、

4＋3×19＝61本

です。

階段状にタイルを並べる問題では、増える個数が1個、2個、3個……と変わる場合があります。そのときは、増えた部分だけを別に書き出しましょう。

図形が複雑に見えても、「前の図との違いはどこか」と考えることが基本です。

群数列はまとまりの終わりを調べる

群数列は、数や記号がいくつかのまとまりに分かれ、群ごとの個数や内容に規則がある問題です。

例えば、1群に1個、2群に2個、3群に3個と並ぶ場合、各群の終わりまでの個数は次のようになります。

1群まで：1個
2群まで：1＋2＝3個
3群まで：1＋2＋3＝6個
4群まで：10個
5群まで：15個

13番目は、4群までの10個を超え、5群までの15個以内なので、5群にあります。

さらに、

13－10＝3

より、5群の3番目です。

群数列では、最初にどの群に入るかを求め、その後に群の中で何番目かを調べます。この二段階を混ぜないようにしましょう。

頻出する規則性問題を見分ける手順

最初の3～5個を書き出す

規則性の問題では、いきなり50番目や100番目を求めようとしてはいけません。

まず、最初の3～5個について、数や個数を正確に書き出します。

図形なら、次のように番号と個数を並べます。

1番目：5個
2番目：8個
3番目：11個
4番目：14個

この書き出しから、3個ずつ増えることが分かります。

書き出しは、大きな番号まで一つずつ数えるためではありません。計算でまとめるための規則を見つける作業です。

最初の数え間違いがあると誤った規則を作ってしまうため、同じものを同じ基準で数えているかも確認してください。

差・増加数・繰り返しを比較する

書き出した後は、問題に応じて見る場所を変えます。

数列なら隣り合う数の差、図形なら前の図から増えた個数、色や記号なら繰り返す範囲を調べます。

差が一定でなければ、差の並びにも規則がないかを確認します。

例えば、

2、5、9、14、20……

では、差が3、4、5、6と1ずつ増えています。

子どもが止まったときは、「次はいくつ？」ではなく、「前と比べて何が変わった？」と尋ねましょう。

答えを予想するのではなく、変化を言葉にすることが規則発見につながります。

番号と個数を表で対応させる

規則性で多い間違いは、番号と増えた回数を混同することです。

番号と個数を上下に並べた表を作ると、対応が分かりやすくなります。

番号：1、2、3、4
個数：5、8、11、14

10番目を求める場合、1番目の5から9回増えるため、

5＋3×9＝32

です。

10番目だから3を10回足すのではありません。

群数列では、群の番号、群の個数、群の最後までの合計を表にします。複数の量が登場するほど、表で整理する効果が高くなります。

小さい例で作った式を検算する

規則を式にまとめたら、分かっている小さい番号へ当てはめます。

「5＋3×（番号－1）」という式なら、2番目は、

5＋3×1＝8

となります。実際の2番目と一致します。

3番目でも、

5＋3×2＝11

となれば、式が規則を表している可能性が高いでしょう。

一致しない場合は、最初の数、増加数、回数のいずれかを見直します。

規則性では、答えが出た後に元の小さい例へ戻ることが、効果的な見直しになります。

規則性の頻出問題を家庭で対策する方法

基本から複合問題へ3段階で進める

規則性の学習は、基本・標準・応用の3段階に分けます。

基本では、一定の差や単純な周期を見つけます。標準では、50番目や100番目など、大きな番号を計算で求めます。

応用では、増え方が途中で変わる問題や、図形・場合の数と組み合わされた問題に進みます。

基本問題を5問解いて4問以上、自力で規則を見つけられることを次へ進む目安にしましょう。

基本で差や周期を見落としている状態では、複合問題を増やしても解説を覚えるだけになりやすいためです。

1回15分で同じ型を3問解く

家庭学習では、1回15分程度、同じ型を3問に絞ります。

等差数列の日、周期算の日、図形の日というように分けると、見る場所を統一できます。

3問すべてを速く解くことより、最初の数個を書き、差や周期を自分から調べられることを目標にしてください。

各型が安定したら、異なる型を混ぜた問題を解きます。問題を見て、差・周期・増加部分・群のどれに注目するかを自分で判断する練習になります。

間違いを規則・対応・計算に分ける

規則性の不正解は、主に3種類に分類できます。

変化そのものを見つけられなかった場合は「規則」、増え方は分かったのに番号や余りの位置を取り違えた場合は「対応」、最後の計算だけを間違えた場合は「計算」です。

3ずつ増えることは分かったものの、20番目だから3を20回足した場合は対応のミスです。

周期4の問題で余り0を次の周期の1番目と考えた場合も、対応に課題があります。

解き直しノートへ原因を一言書くと、必要な復習を絞り込めます。

翌日・3日後・1週間後に解き直す

解説を読んだ直後に解けても、自力で規則を発見できるようになったとは限りません。

間違えた問題は翌日に白紙から解き直します。3日後は数字や図を変えた類題、1週間後は題材の異なる同じ型の問題に取り組みましょう。

翌日は手順の再現、3日後は式の理解、1週間後は別の問題への応用を確認するためです。

前回の表や式を見ず、最初の3～5個を書き出すところから始めます。

3回続けて自力で正解し、見つけた規則も説明できれば、いったん復習対象から外して構いません。

まとめ

中学受験算数の規則性で頻出するのは、等差数列、周期算、図形の規則、群数列の4パターンです。

等差数列では隣り合う数の差、周期算では一巡する個数、図形では前の図から増えた部分、群数列では各まとまりの終わりに注目します。

問題を見たら、最初の3～5個を書き出し、差・増加数・繰り返しを比較してください。

番号と個数は表で対応させ、作った式が小さい番号でも成り立つかを検算します。

家庭学習では、基本・標準・応用の3段階で進めます。1回15分、同じ型を3問程度に絞り、まずは型ごとの注目点を身につけましょう。

間違いは規則・対応・計算に分類し、翌日、3日後、1週間後に白紙から解き直します。

規則性は、出題の見た目が変わっても、調べるポイントには共通点があります。頻出パターンを優先して練習し、「書き出す・比べる・表にする・確かめる」を習慣にすれば、初見問題でも落ち着いて得点できるようになります。