偏差値70を狙う中学受験算数「規則性」

中学受験算数で偏差値70に必要な規則性の力

この記事では、中学受験算数で偏差値70を目指すために、規則性で必要な力と、家庭での具体的な伸ばし方を順を追って解説します。

偏差値70という数値は、模試の母集団や受験時期によって意味が異なります。それでも上位層に共通するのは、珍しい公式を大量に知っていることではありません。

基本問題を短時間で処理し、複数の変化を表や図に整理したうえで、安全な解き方を選べることです。

規則性では、次の数を予想するだけなら正解できても、50番目や100番目、逆に個数から番号を求める問題では通用しません。何が一定で、何が変化し、その変化が何回起きたのかを説明できることが重要です。

基本問題を短時間で正確に処理する力

偏差値70を目指す場合も、最初に必要なのは基本問題の安定です。

例えば、

5、9、13、17……

という数列の30番目を求めるなら、隣り合う数の差は4です。1番目から30番目まで増える回数は29回なので、

5＋4×29＝121

となります。

この問題で「30番目だから4を30回足す」と迷っていると、応用問題へ使う時間が足りません。

等差数列、単純な周期、棒やタイルの増え方、基本的な群数列は、10問中9問以上を短時間で正解できる状態が一つの目安です。

さらに、式の数字が何を表しているかまで説明できなければなりません。正解だけでなく、考え方の再現性が必要です。

二段階以上の変化を整理する力

難度の高い規則性では、一つの変化だけを見ても答えに届かないことがあります。

例えば、

2、5、9、14、20……

という数列では、差が3、4、5、6と変化しています。

数列そのものに一定の差はありませんが、差の並びには「1ずつ増える」という規則があります。このように、元の数列と差の数列を二段階で見る力が必要です。

図形でも、全体の棒の本数だけでなく、前の図から増えた棒の本数を別に並べると規則が見える場合があります。

上位を目指す子ほど、数字を眺め続けるのではなく、「差を取る」「増加部分を別の段に書く」という操作へ早く切り替えられます。

複数の解法から安全な方法を選ぶ力

規則性には、書き出し、表、式、周期、逆算など複数の解き方があります。

難問では、どの方法でも解けることがありますが、本番では短く、間違いにくい方法を選ばなければなりません。

例えば、ある図形の個数が「4＋3×（番号－1）」で表されるとき、100番目を求めるなら式で処理するのが速いでしょう。

一方、「個数が298個になる番号があるか」という問題では、逆算した結果が整数になるかを確認する必要があります。

家庭学習では、正解後に「別の方法はある？」「どちらが検算しやすい？」と考えさせましょう。速さだけでなく、条件を落としにくい方法を選ぶことが偏差値70レベルの安定につながります。

偏差値70を目指す規則性の重要な考え方

数列の差にも規則がないか調べる

隣り合う数の差が一定でない場合は、そこで規則探しを終えてはいけません。

例えば、

1、4、9、16、25……

では、差が3、5、7、9と奇数の順に増えています。また、各項は1×1、2×2、3×3、4×4という平方数でもあります。

このような数列では、差を見る方法と、数そのものの形を見る方法の両方が使えます。

ほかにも、差が2、4、8、16と倍になる問題や、一定の数をかけてから足す問題もあります。

最初の3～5項を書き、差、差の差、倍数関係、奇数・偶数などを順に調べましょう。思いつきではなく、確認する項目を決めておくと初見問題にも対応しやすくなります。

全体と増えた部分を分けて表にする

図形の規則では、全体の個数と増加部分を別々に整理します。

例えば、ある図形に使う棒の本数が、

1番目：5本
2番目：9本
3番目：15本
4番目：23本

だったとします。

増えた本数は4本、6本、8本です。増加部分が2本ずつ増えていると分かります。

表にするなら、次の3段に分けます。

番号：1、2、3、4
全体：5、9、15、23
増加：―、4、6、8

複雑な図形を毎回数え直すより、どの部分が新たに加わったかを追う方が規則を見つけやすくなります。

家庭では、「全体はいくつ？」だけでなく、「前の図との差はどこ？」と聞いてください。

複数の周期は最小公倍数で整理する

複数の動きが異なる周期で繰り返される問題では、再び同じ状態になる時点を考えます。

例えば、赤いランプが4秒ごと、青いランプが6秒ごとに点灯するとします。同時に点灯した後、再び同時になるのは12秒後です。

4と6の最小公倍数が12だからです。

難関校では、点灯だけでなく、回転する図形の向き、色の変化、位置の移動などが組み合わされることがあります。

それぞれの周期を別々に書き、何回目で元の状態に戻るかを確認しましょう。

ただし、最初の状態がずれている問題では、最小公倍数だけでは解けません。開始時点を表に書き、実際に一致する位置を確認する必要があります。

個数から番号を逆算して検算する

規則性の応用では、「何番目の個数」を求めるだけでなく、「この個数になるのは何番目か」を問われます。

正方形を横につないだ棒の本数が、

4＋3×（番号－1）

で表されるとします。

棒が100本なら、

100－4＝96
96÷3＝32
32＋1＝33

より、33番目と求められます。

その後、

4＋3×32＝100

と元の式へ戻して検算します。

一方、棒が101本なら、101－4＝97となり、97は3で割り切れません。そのため、そのような番号は存在しないと判断できます。

逆算では、計算結果が整数になるか、問題の条件を満たすかまで確認しましょう。

偏差値70レベルで差がつく頻出問題

階差数列と数の性質を組み合わせた問題

差が一定でない数列は、上位校でもよく扱われる形式です。

例えば、

2、6、12、20、30……

の差は4、6、8、10です。偶数が2ずつ大きくなっています。

また、各項を見ると、

1×2、2×3、3×4、4×5、5×6

という形でも表せます。

このように、一つの問題で複数の規則が見つかる場合があります。

何番目かを求めるだけなら積の形が便利で、途中までの合計や増え方を説明するなら差を見る方法が分かりやすいこともあります。

解法を一つに固定せず、求めるものに合う見方を選ぶことが重要です。

図形の増加と周囲の長さを考える問題

図形の規則では、使うタイルの総数と周囲の長さが異なる増え方をすることがあります。

例えば、正方形のタイルを横に1枚、2枚、3枚と並べる場合、タイルは1枚ずつ増えます。

一方、周囲の長さは、タイルを1枚追加するたびに共有する辺ができるため、4辺ずつ増えるわけではありません。

1枚なら周囲は4辺分、2枚なら6辺分、3枚なら8辺分です。1枚増えるごとに周囲は2辺分ずつ増えます。

「個数の増え方」と「周囲の増え方」を混同しないよう、別々の表を作りましょう。

難度が上がると階段状や十字形になるため、新たに外側へ現れる辺と、内側へ消える辺を分けて数える必要があります。

群数列の位置・個数・合計を求める問題

群数列では、求める番号がどの群にあるかだけでなく、群の中の位置や、そこまでに現れた数の合計を問われます。

1群に1個、2群に2個、3群に3個と並ぶ場合、各群の終わりは、

1、3、6、10、15、21……

となります。

20番目は、5群までの15個を超え、6群までの21個以内なので6群です。

さらに、

20－15＝5

より、6群の5番目になります。

問題によっては、6群の並び方を調べて実際の数字を求めたり、1番目から20番目までの合計を求めたりします。

「群を特定する」「群内の位置を出す」「値や合計を求める」という段階を分けて処理しましょう。

場合の数や整数と組み合わせた複合問題

偏差値70レベルでは、規則性が単独で出るとは限りません。

一定の規則で数字を並べ、その中から条件を満たす整数を数える問題や、図形の増え方と色の塗り分けを組み合わせる問題があります。

例えば、1、2、3、1、2、3……と周期的に数字を並べ、特定の範囲に1が何個あるかを求める問題は、周期算と数え上げの複合です。

まず周期3で全体を分け、完全なまとまりの個数を求めます。その後、余った部分を調べます。

複合問題では、すべてを一度に考えず、「規則を特定する段階」と「条件に合うものを数える段階」を分けることが大切です。

規則性を偏差値70まで伸ばす家庭学習

一問を図・表・式の順で説明させる

応用力を伸ばすには、正しい答えを出すだけでなく、考え方を見える形にします。

最初に小さい例の図や数を書き、次に番号と個数、増加数を表にします。最後に規則を式へまとめます。

例えば、正方形を並べる棒の本数なら、

図：1個、2個、3個を描く
表：4本、7本、10本
式：4＋3×（番号－1）

という流れです。

家庭では、「この式の3は図のどこ？」「番号から1を引く理由は？」と聞きましょう。

図・表・式がつながっていれば、数字や図形が変わっても同じ考え方を再現できます。

別解と検算方法まで考える

偏差値70を目指す段階では、週に1～2問、一つの問題を別の方法でも解きます。

数列なら差から考える方法と、項を積の形で表す方法を比べます。周期問題なら、割り算で求める方法と、小さい表で確認する方法を比べてもよいでしょう。

別解は、難しい解き方を増やすためではありません。どの方法が短く、どの方法が検算しやすいかを判断するためです。

また、作った式を小さい番号へ代入する、逆算した番号を元の式へ戻すなど、検算方法もセットで考えさせてください。

間違いを規則・方針・対応・計算に分ける

規則性の間違いは、原因ごとに復習方法が異なります。

変化を見つけられなければ「規則」、差を見るか周期を見るか判断できなければ「方針」です。

増え方は分かったものの、番号や回数を取り違えた場合は「対応」、最後の演算だけを誤った場合は「計算」と記録します。

例えば、4ずつ増えることは分かったのに、50番目だから4を50回足した場合は対応ミスです。

解き直しノートには長い反省文ではなく、問題番号の横へ原因を一語だけ書きましょう。同じ原因が続けば、戻るべき練習が明確になります。

翌日・1週間後・1か月後に再演習する

難しい問題は、解説を理解した直後に解けても定着したとは限りません。

翌日は同じ問題を白紙から解き、図・表・式を再現できるか確認します。

1週間後は、数字や図形を変えた類題へ取り組みます。1か月後は、単元名や使う方法を示さずに再挑戦します。

翌日は手順の再現、1週間後は考え方の転用、1か月後は解法選択の確認が目的です。

過去問で間違えた問題も学校名や年度だけで管理せず、「複数周期」「階差」「逆算」「群数列」のように考え方で分類すると、復習しやすくなります。

まとめ

中学受験算数で規則性を偏差値70レベルまで伸ばすには、難問を大量に解くより、複数の変化を整理し、安全な解法を選ぶ力が必要です。

基本的な等差数列や周期算は、短時間で正確に処理できる状態を目指しましょう。

差が一定でなければ、差の並びにも規則がないかを調べます。図形では、全体と新しく増えた部分を分けて表にしてください。

異なる周期が重なる場合は最小公倍数を利用し、個数から番号を求める問題では逆算後に元の規則へ戻して検算します。

偏差値70レベルで差がつくのは、階差数列、図形の周囲、群数列の位置や合計、場合の数・整数との複合問題です。

家庭では、一問を図・表・式の順で説明させ、別解と検算方法まで考えさせましょう。間違いを規則・方針・対応・計算に分類し、翌日、1週間後、1か月後に再演習します。

偏差値70は、すべての難問をひらめきで解くことで届くものではありません。基本を落とさず、小さい例から規則を見抜き、複雑な条件を段階に分けて処理できることが、規則性で上位を目指すための本質です。