中学受験算数｜図を書く応用問題の解き方と練習法

中学受験算数の図を書く応用問題で止まる理由

この記事では、中学受験算数の図を書く応用問題でつまずく理由と、複数の条件を整理して式につなげる方法、家庭で実践できる練習法を順番に解説します。

中学受験算数では、線分図、面積図、ダイヤグラム、補助線などを使って問題の条件を整理します。

基本問題では、問題文に書かれた数字をそのまま図に移せば解けることが少なくありません。しかし、応用問題では、書かれていない数量を考えたり、途中で図を書き足したりする必要があります。

図の種類を知っているだけでは解けないため、「基本は分かるのに応用問題になるとできない」という状態が起こります。

基本問題と応用問題では図の役割が違う

基本問題の図は、問題文を見やすく整理するために使います。

一方、応用問題の図には、問題文に直接書かれていない関係を発見する役割があります。

たとえば、「姉と妹の所持金の比が初めは5対3で、姉が妹に600円渡すと3対2になった」という問題を考えます。

初めの比と渡した後の比を、それぞれ別の線分図に書くだけでは、すぐに答えは出ません。二人の所持金の合計は変わらないことに注目し、二つの図の全体量をそろえる必要があります。

応用問題では、図を書くこと自体が目的ではありません。図を比べ、変わらないものや新しい関係を見つけることが目的です。

一度書いた図を完成形だと思ってしまう

応用問題が苦手な子には、一度書いた図をそのまま使い続けようとする傾向があります。

しかし、難しい問題ほど、最初の図だけでは条件をすべて表せません。

速さの問題なら、出発時、追いついた時、折り返した時など、場面が変わるたびに情報を書き足します。図形問題なら、分かった角度や等しい長さを追加し、必要に応じて補助線を引きます。

算数の図は、最初から完成させるものではなく、考えながら育てていくものです。

「図がうまく書けない」と悩む子には、「最初は分かることだけでよい」と伝えると、手を動かしやすくなります。

図から式を立てる手順が身についていない

図は書けても、そこから式を立てられない子もいます。

原因は、図を書いた後に何を見るのかが決まっていないことです。

図を書いたら、次の3点を確認します。

「同じ長さや量はどこか」「差に当たる部分はどこか」「求めたい部分はどこか」です。

線分図で差が1区画分だと分かれば、その区画に対応する数量を考えます。ダイヤグラムで2本の線が交わっていれば、その時刻と場所が出会った時点です。

図の特徴を言葉で説明してから式に進むと、計算の意味が理解しやすくなります。

図を書く応用問題の代表的な出題パターン

応用問題といっても、問われる考え方には一定の型があります。

単元ごとの特徴を知り、どの情報を図に追加すべきかを意識すると、初見の問題にも対応しやすくなります。

割合・比は基準量をそろえて考える

割合や比の応用問題では、比較する二つの図の基準量が異なることがあります。

先ほどの所持金のように、前後で比が変わる問題では、所持金の合計や人数など、変わらない全体量に注目します。

初めの比が5対3なら、全体は8区画です。後の比が3対2なら、全体は5区画です。

二つの図を比べるには、全体を40区画など共通の大きさにそろえます。すると、お金を渡す前後で、姉の取り分が何区画減ったのかを確認できます。

比の数字だけを計算するのではなく、「何を同じ大きさにそろえるか」を図で判断することが応用問題のポイントです。

速さは途中の変化を図に書き足す

速さの応用問題では、人や乗り物の動きが途中で変わります。

「途中で休む」「速さを変える」「折り返す」「時間差で出発する」といった条件が加わるため、一つの線分図だけでは整理しにくくなります。

このような問題では、横軸に時間、縦軸に距離を取ったダイヤグラムが役立ちます。

たとえば、兄が午前8時に出発し、弟が10分後に追いかけるなら、弟の線は兄より10分遅い位置から書き始めます。兄が途中で5分休んだなら、その部分は距離が変わらない横線になります。

文章で読むと複雑でも、動きの変化を一本ずつ書けば、どこで距離の差が縮まるかを確認できます。

平面図形は補助線で既知の形をつくる

図形の応用問題では、与えられた図のまま考えても答えが見えないことがあります。

そこで、補助線を引き、三角形、長方形、平行四辺形など、面積や角度を求めやすい形に分けます。

補助線は、思いつきで引くものではありません。

「同じ高さの三角形をつくれないか」「平行な線を利用できないか」「対角線を引くと面積が半分にならないか」と目的を持って考えます。

家庭学習では、正しい補助線を覚えるだけでなく、「この線を引くと何が分かるのか」を子どもに説明させてください。

理由を言葉にできれば、形が少し変わった問題でも同じ考え方を使えます。

場合の数は条件ごとに図を分ける

場合の数の応用問題では、複数の条件を一つの樹形図に詰め込むと、かえって分かりにくくなります。

「同じ数字は使わない」「偶数をつくる」「特定の人が隣り合う」といった条件がある場合は、条件ごとに場合分けします。

たとえば、3桁の偶数をつくる問題なら、まず一の位に入る偶数ごとに樹形図を分けます。その後、百の位、十の位の順に枝を伸ばします。

応用問題では、大きな図を一つ書くより、小さな図を複数書いたほうが数え漏れを防げます。

応用問題を解くための図の書き方5ステップ

図を書く応用問題では、正しい図を一度で完成させようとしないことが大切です。

次の5ステップを使うと、長い問題文でも順番に整理できます。

問題文を短く区切って読む

最初から最後まで一気に読んでから図を書こうとすると、条件を忘れやすくなります。

一文または一つの条件ごとに止まり、数字、単位、登場する量を図に移します。

速さなら「誰が」「いつ」「どこから」「どの速さで」を順番に書きます。割合なら「全体」「部分」「割合」のどれに当たるかを確認します。

読む作業と書く作業を交互に行うことが、条件の見落としを防ぎます。

変わらない量と変わる量を分ける

応用問題を解く鍵は、前後で変わらない量を見つけることです。

お金を渡しても二人の合計金額は変わりません。食塩水を混ぜても食塩の量と全体量の関係は保たれます。人が折り返しても道の全長は変わりません。

図の横に「合計は同じ」「距離は同じ」と短く書くだけでも、考える方向が定まります。

変化した数字ばかりを見るのではなく、変化していないものを探す習慣が重要です。

分からない部分に記号を置く

求める数量がどこに当たるのか分からないまま計算を始めると、式が複雑になります。

図を書いたら、求めたい部分に「？」や丸印を付けます。

さらに、同じ量には同じ印、異なる量には別の印を付けます。中学受験では文字式を使わなくても、□や○を利用すれば未知の数量を整理できます。

何を求めているのかが図の中で明確になれば、必要な計算と不要な計算を区別できます。

図を途中で書き直す

情報が増えて見づらくなったら、図を書き直して構いません。

むしろ、応用問題では書き直しが必要になることがよくあります。

最初の図は状況をつかむための下書き、二つ目の図は数量関係を整理するための図と考えましょう。

保護者が「一度で正しく書きなさい」と求めると、子どもは図を書くことを避けるようになります。「考えが進んだから書き直せた」と評価することが大切です。

図の一部分を言葉にしてから式を立てる

式を書く前に、図から分かったことを一文で説明します。

「この2区画が600円に当たる」「兄が進んだ距離と弟が進んだ距離の差が300m」「この三角形とあの三角形は高さが同じ」など、具体的に言葉にします。

その一文を計算に置き換えれば、式の意味が分からなくなることを防げます。

家庭では、答えを急がせるより、「図のどこを使うの？」と尋ねてください。

家庭学習で図を書く応用力を伸ばす方法

図を書く応用力は、難問を何問も解けば自然に身につくものではありません。

解説の図を理解する段階、自分で再現する段階、初めての問題に使う段階に分けて練習する必要があります。

最初は解説の図を再現する

応用問題を間違えた日は、すぐに白紙から解き直さなくても構いません。

まずは解説を読み、書かれている図をそのまま写します。

ただし、機械的に写すのではなく、数字を書き込むたびに「この数字は問題文のどこに書いてあるか」を確認します。

図を再現した後、解説を閉じてもう一度書ければ、図の構造を理解できている可能性が高いでしょう。

類題では図だけを自力で書く

次に、同じ考え方を使う類題で、図だけを書きます。

計算や答えまで求めなくても構いません。

問題文を読み、必要な線、数字、単位、求める場所の印まで書ければ合格です。1問を最後まで解くより、3問の図だけを書くほうが、図の型を覚える練習になることもあります。

図を書くことへの負担が大きい子には、特に有効です。

間違いを図の段階で分類する

間違えた問題は、「計算ミス」とまとめず、図のどこで失敗したかを確認します。

条件を書き忘れた、基準量を間違えた、前後の図をそろえなかった、補助線の目的が分からなかったなど、原因を具体的にします。

ノートには長い反省文を書く必要はありません。

「合計が同じと気づかなかった」「休んだ時間を横線にしなかった」のように、一言だけ残します。次の復習で同じ点を確認しやすくなります。

週3回の短時間復習で定着させる

応用問題の復習は、週末にまとめて行うより、間隔を空けて繰り返すほうが効果的です。

たとえば、授業当日に解説の図を再現し、2日後に図だけを書き、1週間後に問題全体を解き直します。

1回10分から15分、週3回程度でも十分です。

毎回違う難問に挑戦するのではなく、同じ問題を使って「図を思い出せるか」を確認してください。

正解したかだけでなく、自分から図を書き始めた、図を書き足した、不要な情報を消せたといった過程を評価すると、応用問題への抵抗感が薄れていきます。

まとめ

中学受験算数の図を書く応用問題では、問題文の数字を写すだけでなく、変わらない量を見つけ、複数の図を比べ、途中で情報を書き足す力が求められます。

基本問題は解けるのに応用問題で止まる場合、図の種類を知らないとは限りません。一度書いた図を完成形だと思っている、図から式に進む手順がない、前後で変わらない量を見つけられないといった原因が考えられます。

家庭学習では、いきなり難問を自力で解かせる必要はありません。解説の図を再現する、類題で図だけを書く、数日後に問題全体を解き直すという順番で進めましょう。

また、保護者は「どの公式を使うの？」ではなく、「変わらないものは何？」「図のどこが分かった？」「何を求めたいの？」と質問することが大切です。

図は、正解をきれいに表すためのものではなく、分からない問題を少しずつ分かる状態に変えるための道具です。書き直しや書き足しを恐れずに使えるようになると、初めて見る応用問題にも粘り強く取り組めるようになります。