中学受験算数の面積図を基本からわかりやすく解説

中学受験算数の面積図とは何か

この記事では、面積図の仕組みと基本的な書き方を整理し、割合・平均・食塩水などの問題にどう使うのかを具体例とともに解説します。

長方形の面積で3つの数量関係を表す

面積図とは、かけ算で結びつく3つの量を、長方形の縦・横・面積に置き換えて整理する図です。

長方形の面積は、

縦×横＝面積

で求められます。

中学受験算数では、この関係を利用して、たとえば割合の問題を次のように表します。

もとにする量×割合＝比べる量

このとき、横を「もとにする量」、縦を「割合」、長方形全体の面積を「比べる量」と考えます。

たとえば、800円の25％を求める問題なら、

800×0.25＝200

です。

面積図では、横が800、縦が0.25、面積が200となります。

重要なのは、縦と横の向きを暗記することではありません。3つの量のうち、どの2つを掛けると残りの1つになるかを理解することです。

面積図は図形問題だけに使うものではない

「面積図」という名前から、図形の面積を求める問題に使うと思われがちですが、実際には文章題の数量関係を整理するために使われます。

代表的な単元は次のとおりです。

• 割合
• 比
• 平均
• 食塩水の濃度
• 売買損益
• 速さの一部
• 仕事算の基本的な関係

いずれも、2つの量を掛けると別の量になるという共通点があります。

たとえば平均なら、

個数×平均＝合計

食塩水なら、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

と表せます。

単元が変わっても、長方形の縦・横・面積という構造は同じです。この共通性を理解すると、面積図を単元ごとの別の解法として覚えずに済みます。

線分図との違いは表せる量の数にある

線分図と面積図の違いが分からず、混乱する子も少なくありません。

線分図は、主に2つ以上の量の大小、差、合計、比を線の長さで表します。

たとえば、「姉は妹より500円多い」という関係なら、姉を長い線、妹を短い線で表すと分かりやすくなります。

一方、面積図は、かけ算で結びつく3つの量を表すのに向いています。

割合なら、

もとにする量・割合・比べる量

の3つです。

どちらを使うか迷ったら、次のように考えてください。

「差や合計を見たいなら線分図」
「掛け算でつながる3つの量を見たいなら面積図」

ただし、同じ問題を線分図と面積図の両方で解ける場合もあります。図の名前を当てることより、子どもが数量関係を整理できる方法を選ぶことが大切です。

面積図の基本的な書き方と読み方

横・縦・面積が何を表すか決める

面積図を書くときは、最初に長方形を描くのではなく、問題に出てくる3つの量を整理します。

例として、次の問題を考えます。

「1冊120円のノートを8冊買いました。代金はいくらですか」

この問題では、

120円×8冊＝960円

です。

面積図にすると、横を冊数の8、縦を1冊当たりの値段120円、面積を代金960円と考えられます。

縦と横を入れ替えても、計算結果は変わりません。しかし学習中は、同じ種類の問題で位置を統一したほうが混乱しにくくなります。

家庭では、図を書く前に、

「何と何を掛ける問題？」
「掛けた答えは何を表す？」

と確認しましょう。

この2つに答えられれば、面積図の土台ができています。

分かっている数字から先に書き込む

面積図を描いたら、問題文で分かっている数字を先に書き込みます。

たとえば、「600円の30％はいくらですか」という問題なら、

• もとにする量は600円
• 割合は30％
• 比べる量は不明

です。

横に600、縦に30％または0.3を書き、長方形の中に「？」を書きます。

すると、

600×0.3＝180

と求められます。

百分率を使うときは、30％をそのまま掛けるのではなく、0.3に直す必要があります。

ただし、図の中では30％と書き、式を作るときに0.3へ直しても構いません。大切なのは、30％が600円に対する割合だと理解することです。

同じ量は同じ長さや高さでそろえる

面積図は、複数の長方形を並べて比較するときに力を発揮します。

たとえば平均の問題では、異なる人数のグループを横に並べることがあります。

A組が20人で平均70点、B組が30人で平均80点なら、横を人数、縦を平均点、面積を得点の合計として表します。

A組の合計点は、

20×70＝1,400点

B組の合計点は、

30×80＝2,400点

です。

2組を合わせた合計点は3,800点、人数は50人なので、全体の平均は、

3,800÷50＝76点

となります。

このとき、同じ1人分は同じ横幅の基準、同じ1点分は同じ高さの基準で表します。正確な縮尺でなくても構いませんが、人数が多いほうを明らかに短く描くなど、関係が逆にならないようにしましょう。

求める部分を「？」で明確にする

面積図を書いても、何を求める問題なのか分からなくなることがあります。

そのため、求める部分には必ず「？」を書きましょう。

割合の問題では、比べる量が不明とは限りません。

たとえば、

「240円は800円の何％ですか」

という問題では、分からないのは割合です。

横に800円、面積に240円を書き、縦に「？」を付けます。

式は、

240÷800＝0.3

となり、答えは30％です。

面積図を見ると、求める場所によって計算が変わることが分かります。

• 面積を求めるなら掛け算
• 縦または横を求めるなら割り算

公式を何種類も覚えるより、長方形のどの部分が不明かを見るほうが、計算を選びやすくなります。

面積図を使う代表的な中学受験算数の問題

割合の問題は「もとにする量×割合」で表す

割合の問題は、面積図を学ぶ代表的な単元です。

例として、

「定価2,400円の商品を20％引きで買いました。代金はいくらですか」

という問題を考えます。

注意したいのは、20％が代金の割合ではなく、値引きされる割合だという点です。

値引き額は、

2,400×0.2＝480円

です。

したがって代金は、

2,400－480＝1,920円

となります。

または、支払う割合を、

100％－20％＝80％

と考え、

2,400×0.8＝1,920円

と求めても構いません。

面積図では、定価全体を100％とし、その中を値引きの20％と支払う80％に分けます。

子どもが20％を見てすぐに掛け算を始める場合は、「20％は何の量を表しているの？」と確認しましょう。

平均の問題は「個数×平均＝合計」で考える

平均の問題では、単純に2つの平均を足して2で割る誤りがよく見られます。

たとえば、男子20人の平均が70点、女子30人の平均が80点の場合、

（70＋80）÷2＝75点

とは限りません。人数が異なるためです。

面積図では、

人数×平均点＝合計点

と考えます。

男子の合計点は、

20×70＝1,400点

女子の合計点は、

30×80＝2,400点

です。

全体では、

1,400＋2,400＝3,800点
20＋30＝50人
3,800÷50＝76点

となります。

面積図を使うと、平均点だけでなく、その背景にある合計点を考える必要があると分かります。

食塩水は「全体量×濃度＝食塩の量」で表す

食塩水の問題でも、面積図は有効です。

たとえば、

「300gの8％食塩水に含まれる食塩は何gですか」

という問題なら、

300×0.08＝24

なので、食塩は24gです。

面積図では、

• 横が食塩水全体の重さ300g
• 縦が濃度8％
• 面積が食塩の重さ24g

となります。

異なる濃度の食塩水を混ぜる問題では、複数の長方形を並べ、それぞれに含まれる食塩の量を求めます。

たとえば、200gの5％食塩水と300gの10％食塩水を混ぜる場合、

200×0.05＝10g
300×0.1＝30g

食塩は合計40g、食塩水全体は500gです。

したがって濃度は、

40÷500＝0.08

で8％となります。

売買損益にも同じ考え方を応用できる

売買損益では、原価、利益率、利益、定価などの関係を面積図で整理できます。

たとえば、

「原価2,000円の商品に、原価の30％の利益を見込んで定価を付けました」

という問題です。

利益は、

2,000×0.3＝600円

なので、定価は、

2,000＋600＝2,600円

です。

面積図では、原価2,000円を100％とし、利益600円を30％分として付け足します。

注意したいのは、「原価の30％」なのか「定価の30％」なのかという基準量です。

同じ30％でも、何をもとにするかによって金額は変わります。面積図を書く前に、「何の30％？」と確認する習慣をつけましょう。

面積図が苦手な子への家庭での教え方

公式より先に3つの量を言葉で確認する

面積図が苦手な子に、最初から公式を覚えさせると、縦・横・面積の関係が分からないまま数字を当てはめることがあります。

まずは、問題に出てくる3つの量を言葉で整理しましょう。

割合なら、

• もとにする量
• 割合
• 比べる量

平均なら、

• 個数
• 平均
• 合計

食塩水なら、

• 食塩水全体
• 濃度
• 食塩

です。

「何と何を掛けると何になる？」と毎回確認すると、単元が変わっても共通する構造に気づけます。

最初は数字の簡単な問題を使う

面積図の書き方を学ぶ段階では、計算が複雑な問題を使う必要はありません。

たとえば、

「100円の20％」
「10人の平均が50点」
「200gの5％食塩水」

など、暗算でも計算できる数字から始めます。

答えを求める負担を下げると、横・縦・面積の関係に集中できます。

基本の図が書けるようになってから、小数や分数、複数の長方形を含む問題へ進みましょう。

図を書いて終わらず式まで説明させる

面積図は書けても、式につながらなければ得点にはなりません。

図を書き終えたら、

「どの2つを掛けるの？」
「なぜ割り算になるの？」
「求めた数字は何を表すの？」

と確認します。

たとえば、240÷800＝0.3という式なら、「240円が比べる量、800円がもとにする量で、その割合を求めている」と説明できることが大切です。

正解した問題でも、1日1問は式の意味を言葉にさせましょう。

線分図と面積図を無理に使い分けさせない

子どもによっては、割合の問題を線分図のほうが理解しやすい場合があります。

そのときに「割合だから必ず面積図」と決めつける必要はありません。

大切なのは、

• 数量関係が正しく整理できる
• 式の意味を説明できる
• 自分で再現できる

という3点です。

最初は理解しやすい図を使い、後から別の表し方も確認すれば十分です。面積図を目的にせず、問題を理解するための選択肢として教えましょう。

まとめ

中学受験算数の面積図は、かけ算で結びつく3つの量を、長方形の縦・横・面積で表す方法です。

代表的な関係には、次のものがあります。

• もとにする量×割合＝比べる量
• 個数×平均＝合計
• 食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ
• 原価×利益率＝利益

面積図を書くときは、最初に3つの量を言葉で整理し、分かっている数字から書き込みます。求める場所には「？」を付けましょう。

長方形の面積が不明なら掛け算、縦や横が不明なら割り算を使います。公式を別々に暗記するより、図のどの部分を求めるかを見るほうが計算を判断しやすくなります。

家庭学習では、100円の20％など、計算が簡単な問題から始めてください。図を書いた後は、「何と何を掛けたのか」「答えは何を表すのか」を説明させます。

面積図は、きれいな長方形を書くためのものではありません。割合や平均、濃度など、一見異なる問題に共通する数量関係を見つける道具です。

3つの量のつながりを丁寧に確認すれば、算数が苦手な子でも、公式に頼りすぎず問題の意味を理解できるようになります。