中学受験算数「比の利用」の基本をやさしく解説

中学受験算数「比の利用」の基本とは

この記事では、中学受験算数の比の利用について、最初に理解したい基本の考え方と代表的な問題の解き方、家庭での定着方法を順番に解説します。

中学受験算数の比の利用とは、2つ以上の数量の関係を比で表し、そこから実際の人数、長さ、金額などを求める考え方です。

例えば、赤い玉と白い玉の個数の比が3：2だとします。

これは、赤い玉が必ず3個、白い玉が必ず2個という意味ではありません。赤と白を同じ大きさのまとまりで比べると、赤が3つ分、白が2つ分になるという意味です。

赤が12個なら白は8個、赤が30個なら白は20個です。実際の個数が変わっても、3：2という関係は変わりません。

比は実際の数量ではなく関係を表す

比の基本で最初に理解したいのは、比の数字と実際の数量は同じではないという点です。

兄と弟の所持金の比が5：3でも、兄が5円、弟が3円とは限りません。

兄が500円で弟が300円の場合も、兄が1,500円で弟が900円の場合も、比は5：3です。

比の5と3は、金額そのものではなく、同じ大きさのまとまりがいくつ分あるかを表しています。

家庭では、「5：3は5円と3円ではなく、同じ大きさの箱が5箱分と3箱分」と説明すると理解しやすいでしょう。

「比の1つ分」を求めるのが基本

比の利用では、「比の1つ分」が実際にいくつかを求めることが基本です。

例えば、AとBの人数の比が4：7で、Aが24人だったとします。

Aの24人は、比の4つ分にあたります。

したがって、比の1つ分は、

24÷4＝6人

です。

Bは比の7つ分なので、

6×7＝42人

となります。

比の利用では、いきなり求めたい量を計算するのではなく、いったん1つ分に戻します。

この順番を身につければ、数字や場面が変わっても対応しやすくなります。

比を実際の人数や金額に直す

比の計算では、6：9を2：3に簡単にすることがあります。

一方、比の利用では、比を実際の数量に直すところまで求めます。

例えば、合計40個を2：3に分ける場合を考えます。

比の合計は、

2＋3＝5

です。

40個が5つ分にあたるため、1つ分は、

40÷5＝8個

となります。

それぞれの個数は、

8×2＝16個
8×3＝24個

です。

比を簡単にできるだけでなく、どの実際の量が比の何つ分にあたるかを判断する力が必要です。

比の利用で最初に覚える3つの基本問題

比の利用の基本問題は、与えられている量によって3つに分けられます。

全体量が分かる問題、差が分かる問題、一方の量が分かる問題です。

この3つを区別できれば、基本的な比の文章題を安定して解けるようになります。

全体量が分かるときは比を足す

兄と弟の所持金の比が3：2で、合計が2,500円だったとします。

合計2,500円は、兄と弟の比を合わせた量です。

比の合計は、

3＋2＝5

となります。

比の1つ分は、

2,500÷5＝500円

です。

兄は、

500×3＝1,500円

弟は、

500×2＝1,000円

となります。

全体量が分かる問題では、最初に比を足します。

「全部で」「合わせて」「合計」という言葉が、全体量を見分ける手がかりです。

差が分かるときは比を引く

AとBの長さの比が7：4で、差が15cmだったとします。

15cmは、2つの長さを合わせた量ではなく、長さの違いです。

比の差は、

7－4＝3

です。

15cmが比の3つ分にあたるため、1つ分は、

15÷3＝5cm

となります。

Aは、

5×7＝35cm

Bは、

5×4＝20cm

です。

差が分かる問題では、比を足すのではなく引きます。

「差」「多い」「少ない」「違い」という言葉があれば、比の差に注目しましょう。

一方の量が分かるときは対応する比で割る

AとBの人数の比が2：5で、Bが35人だったとします。

Bの35人は、比の5に対応します。

したがって、比の1つ分は、

35÷5＝7人

です。

Aは比の2つ分なので、

7×2＝14人

となります。

この問題で35÷2としてしまう子は、求めたいAの比を使っています。

割るときに使うのは、求めたい側の比ではありません。分かっている実際の量に対応する比です。

問題文を読んだら、「35人は比の2と5のどちらに対応する？」と確認しましょう。

比の基本を使う頻出パターン

中学入試では、比がそのまま3：2と書かれている基本問題だけでなく、割合や分数、3つの量、変化を含む問題にも使われます。

基本の「対応」と「1つ分」を理解していれば、応用問題も整理しやすくなります。

割合や分数を比に直す

比は、割合や分数と深くつながっています。

例えば、男子がクラス全体の5分の3なら、女子は全体の5分の2です。

したがって、

男子：女子＝3：2

となります。

また、AがBの60％なら、

A：B＝0.6：1

小数をなくすと、

A：B＝6：10＝3：5

です。

「全体の何分のいくつ」「相手の何％」という表現を比に直せれば、基本の比の利用として解けます。

3つの量は共通する比をそろえる

中学受験では、A：BとB：Cから、A：B：Cを求める問題が出ます。

例えば、

A：B＝2：3
B：C＝4：5

とします。

共通するBが、一方では3、もう一方では4になっています。

そのままでは3つを並べられないため、Bを同じ数字にそろえます。

3と4の最小公倍数は12です。

A：B＝8：12
B：C＝12：15

したがって、

A：B：C＝8：12：15

となります。

3つの量を比べる場合は、両方の比に登場する共通の量を探すことがポイントです。

線分図で数量の対応を確認する

比の文章題が分かりにくい場合は、線分図を使います。

A：B＝3：2なら、Aを同じ大きさの3区画、Bを2区画で描きます。

合計が100個なら、3区画と2区画を合わせた5区画全体に100個と書きます。

差が20個なら、AとBの長さの違いである1区画に20個と書きます。

Aが60個なら、Aの3区画全体に60個と書きます。

線分図を描く目的は、図をきれいに仕上げることではありません。実際の量が比のどこに対応しているかを目で確認することです。

比が変化する問題では変わらない量を見る

応用問題では、物を移す、増やす、減らすことで比が変わることがあります。

例えば、兄と弟の所持金の比が5：3で、兄が弟に200円渡すと3：2になる問題です。

兄と弟それぞれの金額は変わりますが、2人の合計金額は変わりません。

変化前の比の合計は8、変化後は5です。

合計をそろえるため、最小公倍数40を使うと、

変化前：25：15
変化後：24：16

となります。

兄は1つ分減り、弟は1つ分増えています。この1つ分が200円です。

変化する比では、「何が変わったか」だけでなく、「何が変わらないか」を探すことが重要です。

家庭学習で比の利用の基本を定着させる方法

比の利用の基本は、一度解説を聞いただけでは定着しません。

家庭では、問題数を増やすより、同じ考え方を自分で再現できるように練習しましょう。

途中式に「1つ分」と書かせる

比の問題では、途中に出てきた数字の意味を書かせます。

例えば、合計60個を2：3に分けるなら、

2＋3＝5……比の合計
60÷5＝12個……比の1つ分
12×2＝24個……A
12×3＝36個……B

と書きます。

数字だけを並べると、見直したときに何を求めたのか分からなくなります。

特に「比の1つ分」を省略しないことが大切です。

同じ型の問題を3問ずつ解く

家庭学習では、さまざまな型を1問ずつ混ぜるより、同じ型を3問続けて解く方法がおすすめです。

例えば、全体量が分かる問題だけを3問解きます。

次の日は差が分かる問題、その次の日は一方の量が分かる問題に進みます。

同じ型を続けることで、

全体なら比を足す
差なら比を引く
一方なら対応する比を使う

という違いに気づきやすくなります。

1日10～15分程度でも十分です。

答えより数字の意味を説明させる

問題に正解しても、考え方を理解しているとは限りません。

例えば、60÷5＝12と計算した後に、「この12は何？」と聞いてみてください。

「比の1つ分」「1つのまとまりが12個」と説明できれば、基本を理解しています。

「分からないけれど割った」と答える場合は、手順だけを覚えている可能性があります。

答えを出す速さより、途中の数字の意味を言葉にできることを重視しましょう。

間違いを原因別に直す

比の利用の間違いは、主に次の4つに分けられます。

1．比を簡単にする計算の間違い
2．全体・差・一方の量の見分け間違い
3．実際の量と比の対応間違い
4．最後にかける比の選び間違い

例えば、差が12cmなのに比を足した場合は、計算力ではなく問題文の読み取りが原因です。

比の1つ分は正しいのに最後の答えを間違えた場合は、求める量に対応する比を確認します。

すべてを「比が苦手」とまとめず、間違えた段階だけを練習すると効率よく直せます。

まとめ｜比の利用の基本は「対応」と「1つ分」

中学受験算数の比の利用では、比を実際の人数や金額そのものだと考えないことが大切です。

比は、同じ大きさのまとまりがいくつ分あるかを表しています。

基本問題を解くときは、まず問題に示された実際の量が、比のどこに対応するかを確認します。

全体量が分かっているなら比を足し、差が分かっているなら比を引きます。一方の量が分かっているなら、その量に対応する比を使います。

そして、

実際の量÷対応する比＝比の1つ分

を求めます。

比の1つ分が分かれば、求めたい量に対応する比をかけることで答えを出せます。

文章だけでは分かりにくい場合は、線分図を使い、実際の数字が比のどの部分に対応するかを見える形にしましょう。

家庭学習では、同じ型を1日3問程度練習し、途中式に「比の合計」「比の1つ分」と意味を書かせてください。

比の利用は、公式を数多く暗記する単元ではありません。

実際の量と比を正しく対応させ、いったん1つ分に戻る。この基本を丁寧に身につけることが、割合、速さ、図形などの応用問題へ進むための確かな土台になります。