中学受験算数｜小5で身につける面積図の基本

中学受験算数で小5から面積図が重要になる理由

この記事では、小5の中学受験算数で面積図につまずく原因と、平均算や食塩水を家庭で無理なく身につける方法を順を追って解説します。

小5は割合を使う文章題が増える

中学受験算数では、小5になると割合を使う文章題が一気に増えます。

小4までは、差や合計、倍の関係を線分図で整理する問題が中心です。小5ではそこに、平均、濃度、仕事率、速さなど、「2つの量を掛けて別の量を求める問題」が加わります。

たとえば平均算では、

人数×平均点＝合計点

という関係があります。

食塩水では、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

です。

これらの関係を長方形の縦・横・面積として表すのが面積図です。

小5で面積図が重要になるのは、単に新しい図を習うからではありません。割合を使う文章題を、目で見える形に整理する必要が出てくるからです。

公式だけでは数量関係を見失いやすい

平均算や食塩水には、公式があります。

しかし、公式だけを覚えていると、何を掛け、何で割ればよいか分からなくなることがあります。

たとえば、30人の平均点が72点なら、合計点は、

30×72＝2,160点

です。

ところが、「合計点2,160点を30人で割ると平均点はいくつか」と聞かれると、同じ数字が出てきても計算は割り算になります。

面積図では、横を人数、縦を平均点、面積を合計点として表します。

面積を求めるなら縦×横、縦を求めるなら面積÷横です。

公式を別々に覚えるのではなく、長方形のどこを求めるかで式を考えられるため、数量関係を見失いにくくなります。

小5で身につけると小6の応用問題につながる

小6になると、平均点が途中で変化する問題、異なる濃度を混ぜる問題、仕事をする人数が変わる問題などが増えます。

これらの応用問題も、基本は小5で学ぶ面積図です。

たとえば、20人の平均点が70点のクラスに1人加わり、平均点が71点になった場合、変化前と変化後の合計点を比較します。

変化前は、

20×70＝1,400点

変化後は、

21×71＝1,491点

です。

加わった1人の得点は、

1,491－1,400＝91点

と求められます。

小5のうちに「人数×平均＝合計」という関係を面積図で理解しておけば、条件が増えても基本へ戻って考えられます。

小5が面積図でつまずく主な原因

長方形の形だけを覚えている

面積図が苦手な子によくあるのが、塾の板書や解説にある長方形をそのまま写している状態です。

完成した図を見れば理解したように感じますが、問題文だけを見せると、何を縦や横に置けばよいか分かりません。

たとえば平均算で、「横は人数、縦は平均点」とだけ覚えても、少し違う表現の問題では迷います。

大切なのは、長方形の形ではありません。

人数と平均点を掛けると合計点になるから、その3つを面積図に配置すると理解することです。

家庭では、図を描く前に「何と何を掛ける問題？」と確認してみましょう。

答えられなければ、面積図の形より先に、3つの量の関係へ戻る必要があります。

縦・横・面積の意味が分かっていない

数字を正しい位置に書けても、その意味を説明できない子もいます。

たとえば、8％の食塩水300gなら、

横＝食塩水の重さ300g
縦＝濃度8％
面積＝食塩の重さ

です。

ここで、

「300は何の量？」
「8は8gなのか8％なのか」
「長方形全体は何を表しているのか」

と聞いてみてください。

説明できなければ、面積図を数量関係として理解できていません。

小5では、図をきれいに描くより、縦・横・面積の意味を自分の言葉で説明できることを優先しましょう。

割合を小数や分数へ直せない

面積図で止まる原因が、割合の計算にある場合もあります。

8％の食塩水300gに含まれる食塩量を求めるには、

300×0.08

と計算します。

8％を0.08へ直せないと、面積図を正しく描けても答えを求められません。

仕事算では、全体の仕事を1と考え、1時間当たりの仕事量を分数で表します。

割合、小数、分数の基本に不安がある場合は、面積図の難問を増やすより、前提となる計算へ戻る方が効果的です。

小5の面積図学習では、図の理解と割合計算を分けて確認することが大切です。

面積図から式を作れない

面積図を書けても、次に何を計算すればよいか分からない子もいます。

たとえば、300gの8％に当たる食塩量を求めるなら、

300×0.08＝24g

です。

300は横、0.08は縦、24が面積です。

反対に、食塩量24gと全体量300gから濃度を求めるなら、

24÷300＝0.08

となります。

これは、面積を横で割って縦を求める計算です。

家庭では、「求めたいのは縦・横・面積のどれ？」と聞いてください。

面積を求めるなら掛け算、縦や横を求めるなら割り算という関係が分かれば、公式を思い出せない問題にも対応しやすくなります。

小5で優先したい面積図の基本問題

平均算は人数・平均・合計を結びつける

小5の面積図学習では、平均算の基本から始めると理解しやすくなります。

関係は、

人数×平均＝合計

です。

たとえば、男子20人の平均点が70点、女子30人の平均点が80点の場合を考えます。

男子の合計点は、

20×70＝1,400点

女子の合計点は、

30×80＝2,400点

です。

全体では50人、合計3,800点なので、

3,800÷50＝76点

となります。

平均点だけを足して2で割ると75点になりますが、人数が違うため正しくありません。

面積図を使えば、女子の方が人数が多く、全体平均が80点寄りになることも理解しやすくなります。

食塩水は全体量・濃度・食塩量を整理する

食塩水では、

全体量×濃度＝食塩量

を面積図で表します。

最初は、食塩量を求める問題から始めましょう。

8％の食塩水300gなら、

300×0.08＝24g

の食塩が含まれています。

次に、水を加える問題へ進みます。

10％の食塩水400gに水を100g加える場合、最初の食塩量は、

400×0.10＝40g

です。

水を加えても食塩量は40gのままですが、全体量は500gになります。

したがって、

40÷500＝0.08

となり、新しい濃度は8％です。

小5では、「何が変わり、何が変わらないか」を面積図で確認する習慣をつけましょう。

仕事算は時間と仕事量の関係を理解する

仕事算でも面積図を使えます。

基本関係は、

時間×仕事率＝仕事量

です。

たとえば、Aさんが1時間に全体の6分の1、Bさんが12分の1の仕事を進めるとします。

2人が一緒に働くと、1時間に、

6分の1＋12分の1＝4分の1

の仕事が終わります。

3時間なら、

3×4分の1＝4分の3

です。

面積図では、横を時間、縦を1時間当たりの仕事量、面積を終わった仕事量として表します。

小5では、途中で人数が何度も変わる難問より、一定の仕事率で進む基本問題を確実にすることが大切です。

面積図を使う問題を自分で見分ける

面積図は、すべての文章題に使うものではありません。

2つの量を掛けてできる量を整理するときに適しています。

平均算なら人数と平均、食塩水なら重さと濃度、仕事算なら時間と仕事率です。

一方、2人の金額の差や比を比較する問題には線分図、場合の数には表や樹形図が向いています。

家庭では、問題を解いた後に「なぜ面積図を使ったの？」と聞いてみましょう。

「人数と平均を掛けると合計になるから」と説明できれば、図を選ぶ理由まで理解できています。

小5では、面積図を描く力だけでなく、使うべき問題を判断する力も育てたいところです。

小5の面積図を定着させる家庭学習法

最初は計算せず図だけを書く

面積図が苦手な子には、図を書くことと計算することを分けて練習させましょう。

最初は問題文から、

掛け算でつながる3つの量を探す。
縦・横・面積を決める。
分かっている数字を入れる。

ここまでで終えて構いません。

答えを求めないため、短時間でも2～3問取り組めます。

図を自力で書けるようになってから、式を作る練習へ進みます。

学習を分けることで、問題文の読み取り、作図、計算のどこで止まっているかも分かりやすくなります。

1日10分・2～3問を目安にする

面積図は、週末にまとめて大量に解くより、短時間で繰り返す方が定着しやすくなります。

目安は1日10～15分、2～3問程度です。

1問目は3つの量を探す。
2問目は面積図だけを書く。
3問目は図から式を説明する。

このように問題ごとの役割を分けると、計算量を増やしすぎずに済みます。

塾の宿題が多い日は、間違えた1問の図だけを書き直す方法でも十分です。

親は完成図を先に見せない

子どもが止まると、保護者が正しい面積図を描いて見せたくなります。

しかし、完成図を見せると、その場では分かっても次の問題で再現できないことがあります。

代わりに、次のような質問を使ってください。

「問題に出てくる3つの量は何？」
「何と何を掛ける？」
「求めたいのは縦・横・面積のどれ？」
「単位が同じ量はどれ？」
「変わらない量はある？」

それでも難しい場合は、長方形だけ親が描き、数字の位置を子どもに決めさせます。

親は答えを教える人ではなく、考える順番へ戻す役割を意識しましょう。

翌日と1週間後に自力で再現する

解説を見た直後に面積図を書けても、理解が定着したとは限りません。

翌日に問題文だけを見て、図を再現させましょう。

このとき、答えまで求める必要はありません。

3つの量を言う。
縦・横・面積を決める。
数字を正しい位置へ書く。

ここまでできれば十分です。

さらに1週間後には、数字や設定を変えた類題へ取り組みます。

平均点を平均身長へ変えたり、食塩水をジュースの濃度へ変えたりしても、数量関係は同じです。

類題でも自力で図を書ければ、考え方が定着しています。

まとめ

中学受験算数では、小5から平均算、食塩水、仕事算など、面積図を使う文章題が増えます。

小5で面積図につまずく主な原因は、長方形の形だけを覚えていること、縦・横・面積の意味が分からないこと、割合計算に不安があること、図から式へつなげられないことです。

最初に、問題文から掛け算でつながる3つの量を見つけましょう。

平均算では人数・平均・合計、食塩水では全体量・濃度・食塩量、仕事算では時間・仕事率・仕事量を結びつけます。

家庭学習では、最初から答えまで求めず、面積図だけを書く練習でも十分です。

1日10分、2～3問程度を目安にし、親は完成図を先に見せず、短い質問で考える順番を支えてください。

小5で面積図の意味を理解し、自力で図と式をつなげられるようになれば、小6の複雑な割合問題や入試問題にも落ち着いて取り組めるようになります。