中学受験算数の面積図｜小6からの入試対策

中学受験算数で小6にも面積図が必要な理由

この記事では、小6が面積図につまずく原因を整理し、基本の学び直しから入試問題へつなげる家庭学習法まで順を追って解説します。

面積図は複雑な文章題を整理する道具

面積図とは、掛け算でつながる3つの量を、長方形の縦・横・面積に置き換えて整理する図です。

基本となる形は、

縦×横＝面積

です。

中学受験算数では、この関係を次のように置き換えます。

• もとにする量×割合＝比べる量
• 個数×平均＝合計
• 食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ
• 原価×利益率＝利益

小6の文章題では、問題文が長くなり、複数の割合や変化前後の数量が登場します。頭の中だけで処理しようとすると、どの数字が何を表すのか分からなくなりがちです。

面積図を使えば、問題文の数字を3つの量へ分け、何を掛け、何を割るべきか整理できます。

小6では使う場面を自分で判断する

入試では、「面積図を書きなさい」と指示されることはほとんどありません。

子ども自身が問題を読み、面積図が有効かどうかを判断する必要があります。

面積図が特に役立つのは、次のような問題です。

• 割合や百分率が出てくる
• 平均と人数、合計量を扱う
• 食塩水の濃度が変化する
• 原価、定価、売価を比べる
• 単価と個数から代金を考える

一方、差や合計を比べる問題なら線分図、速さなら進行図のほうが適している場合があります。

問題を読んだときに、「何と何を掛けると、どの量になるか」を考えられれば、面積図を使う手がかりになります。

今から基本へ戻っても遅くない

小6になって面積図が書けないと、保護者は「もっと早く教えるべきだった」と感じるかもしれません。

しかし、小6からの学び直しでも遅くありません。

小6は、割合、平均、食塩水などの単元を一度は学んでいます。知識が全くないのではなく、各単元に共通する掛け算の関係を整理できていない場合が多いからです。

いきなり難しい過去問を繰り返すのではなく、計算が簡単な基本問題へ戻りましょう。

100円の20％、10人の平均が60点、200gの5％食塩水などで、縦・横・面積の意味を説明できれば、応用へ進む土台を短期間で整えられます。

小6が面積図を使えない主な原因

縦・横・面積の位置だけを覚えている

面積図が苦手な子には、「割合は縦」「全体量は横」と位置だけを覚えているケースがあります。

同じ種類の問題では位置を統一したほうが見やすくなりますが、場所そのものが解法ではありません。

たとえば、

800×0.25＝200

という式では、800円がもとにする量、0.25が割合、200円が比べる量です。

縦と横を入れ替えても答えは変わりません。重要なのは、「何と何を掛けた結果が何になるか」を説明できることです。

平均なら「人数×平均＝合計」、食塩水なら「全体量×濃度＝食塩」と、単元が変わっても関係を置き換えられる状態を目指しましょう。

割合の基準量を取り違えている

小6の割合や売買損益では、何を100％と考えるかが途中で変わる問題も出てきます。

たとえば、

「原価2,000円の商品に30％の利益を見込んで定価を付け、定価の20％引きで売った」

という問題を考えます。

利益を考える場面では、原価2,000円が100％です。

2,000×1.3＝2,600円

で定価が求められます。

次に値引きを考える場面では、定価2,600円が100％です。

2,600×0.8＝2,080円

が売価です。

同じ問題の中で基準量が原価から定価へ変わっています。この切り替えをせず、一つの面積図にすべてを書き込むと混乱します。

複数の状態を一つの図に詰め込んでいる

平均が変化する問題や食塩水に水を加える問題では、変化前と変化後の状態があります。

これらを一つの長方形に詰め込むと、どの数字がいつの状態を表すのか分からなくなります。

たとえば、20人の平均が72点で、1人加わると平均が73点になった場合は、「初め」と「後」の面積図を分けます。

初めの合計点は、

20×72＝1,440点

後の合計点は、

21×73＝1,533点

です。

増えた1人の点数は、

1,533－1,440＝93点

となります。

状態ごとに図を分けると、増えた面積が何を表すか見つけやすくなります。

図を書いても最初の式が分からない

長方形と数字は書けても、式を作れない子もいます。

この場合、求める場所が明確になっていない可能性があります。

たとえば、

「400gの食塩水に24gの食塩が含まれています。濃度は何％ですか」

という問題では、濃度が不明です。

濃度の位置に「？」を書けば、

24÷400＝0.06

となり、答えは6％だと分かります。

面積図では、基本的に、

• 長方形の中が「？」なら掛け算
• 縦や横が「？」なら割り算

を使います。

図を書き終えたら、すぐに計算せず、「分からない場所はどこか」を指で示させましょう。

小6の面積図を入試レベルへ高める勉強法

割合は何を100％とするか確認する

割合の問題では、数字を図へ書く前に、基準量を決めます。

確認する言葉は、

「何の何％か」
「100％に当たるものは何か」

の2つです。

「定価の20％引き」なら定価が100％、「原価の3割の利益」なら原価が100％です。

また、20％引きの代金を求める場合、掛ける割合は20％ではなく、残りの80％です。

100％－20％＝80％

と整理してから、

定価×0.8

と計算します。

小6では、与えられた割合だけでなく、残りの割合も面積図に書き込めるようにしましょう。

平均は合計量へ戻して考える

平均の応用問題では、平均だけを足したり引いたりしないことが重要です。

基本は、

個数×平均＝合計

です。

A組20人の平均が70点、B組30人の平均が80点なら、

20×70＝1,400点
30×80＝2,400点

となります。

全体の合計点は3,800点、人数は50人なので、

3,800÷50＝76点

です。

平均の面積図では、長方形の面積に当たる合計点へ一度戻します。

人数が増減する問題でも、「初めの合計」と「後の合計」を求め、その差から加わった人の点数などを考えます。

食塩水は変わらない食塩の量を見る

食塩水では、操作によって何が変わり、何が変わらないかを確認します。

300gの8％食塩水に水を加えて6％にする問題なら、初めに含まれる食塩は、

300×0.08＝24g

です。

水だけを加えても食塩の重さは24gのままです。

変化後の食塩水全体は、

24÷0.06＝400g

となります。

したがって、加えた水は、

400－300＝100g

です。

面積図では、変化前と変化後で面積に当たる24gが同じになります。

食塩を加える、蒸発させる、一部を取り出すなど、操作ごとに変わらない量を探しましょう。

変化の前後は面積図を分ける

小6の入試問題では、複数の変化が続くこともあります。

その場合は、「初め」「操作後」「最終状態」のように図を分けてください。

一つの図へ数字を詰め込むより、長方形を2～3個並べたほうが、条件の取り違えを防げます。

それぞれの図で、

• 縦が何を表すか
• 横が何を表すか
• 面積が何を表すか
• 前後で変わらない量は何か

を確認します。

入試では、きれいな図を完成させることより、必要な情報だけを小さく素早く整理することが大切です。

家庭学習と過去問で面積図を定着させる方法

最初の1週間は基本3パターンに絞る

小6の学び直しでは、最初からすべての単元を扱わないようにします。

まずは次の3つへ絞りましょう。

1. もとにする量×割合＝比べる量
2. 個数×平均＝合計
3. 食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

1～2日目は割合、3～4日目は平均、5～6日目は食塩水、7日目に3単元を1問ずつ確認します。

計算が簡単な問題を使い、面積図を自力で再現できることを優先してください。

1日15分で図・式・説明を練習する

家庭学習は、1日15分、2問程度でも十分です。

1問を次の順番で進めます。

1. 3つの量を言葉で確認する
2. 面積図を書く
3. 求める場所に「？」を付ける
4. 式を作る
5. 式の意味を説明する

答えが合っていても、「なぜ掛けたのか」「割り算の答えは何を表すのか」を説明できなければ、理解はまだ不安定です。

問題数を増やすより、1問を図・式・言葉でつなぐことを優先しましょう。

過去問は面積図を使える問題に分類する

過去問を解いた後は、正解と不正解だけで終わらせず、面積図が役立つ問題を選び直します。

対象になるのは、次のような問題です。

• 割合の基準量を取り違えた
• 平均を単純に足して割った
• 食塩水の濃度を直接平均した
• 売買損益で原価と定価を混同した
• 解説に面積図が使われていた

時間制限を外し、問題文から3つの量を書き出して面積図を作ります。

解説の完成図を見る前に、自分で途中まで書くことが重要です。

保護者は完成図より考え方を質問する

小6の問題は複雑になるため、保護者がすべての解法を説明する必要はありません。

次の質問だけでも、条件整理を助けられます。

「掛け算でつながる3つの量は何？」
「何を100％と考えた？」
「長方形の中は何の量？」
「前後で変わらないものは何？」
「求める場所はどこ？」

子どもが答えられない場合は、長方形だけを描く、問題文の基準量に線を引くなど、次の一手だけを示します。

完成した図を先に見せるより、子ども自身が数字の位置を決める経験を残しましょう。

まとめ

中学受験算数で小6が面積図を使う目的は、長方形をきれいに描くことではありません。

割合、平均、食塩水、売買損益などに含まれる3つの量を整理し、式を作る順番を見つけることです。

まずは、次の基本関係へ戻りましょう。

1. もとにする量×割合＝比べる量
2. 個数×平均＝合計
3. 食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

小6では、面積図を書けるだけでなく、何を100％とするか、前後で何が変わらないか、どの図を使うべきかを判断する力が必要です。

変化を含む問題では、一つの長方形にすべてを書き込まず、「初め」と「後」に分けてください。

家庭学習では、1日15分、2問程度を、図・式・説明の順に取り組みます。最初の1週間は基本3パターンだけに絞っても構いません。

過去問で間違えた文章題も、面積図を使える問題に分類し、時間制限を外して書き直しましょう。

保護者は正しい図を先に教えるのではなく、「何と何を掛けるの？」「何が100％？」と問いかけてください。

小6からでも、掛け算でつながる3つの量を丁寧に整理すれば、面積図を入試で使える道具へ変えられます。難問を急いで増やすより、基本の図を自分で書き、式の意味を説明できる状態を目指しましょう。