中学受験算数｜面積図が身につく勉強法

中学受験算数の面積図が身につかない原因

この記事では、中学受験算数の面積図を形だけで終わらせず、問題文から自力で書き、式につなげられるようにする勉強法を順を追って解説します。

完成した図の形だけを覚えている

面積図が苦手な子によく見られるのが、塾の板書や解説にある長方形をそのまま写している状態です。

完成した図を見れば理解できたように感じますが、問題文だけを見せると、何を縦に置き、何を横に置くのか分からなくなります。

たとえば平均算では、

人数×平均点＝合計点

という関係があります。

ところが、「平均算では横に人数、縦に平均点を書く」と形だけ覚えていると、少し表現が変わった問題で手が止まります。

面積図の学習で大切なのは、長方形の書き方を暗記することではありません。2つの量を掛けると何が求められるかを理解し、その関係を図に置き換えることです。

子どもが自力で書けない場合は、図を何度も写させるのではなく、「何と何を掛ける問題なの？」と確認するところへ戻りましょう。

縦・横・面積の意味を理解していない

面積図では、縦と横に2つの量を置き、その積を長方形の面積として表します。

たとえば食塩水なら、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

です。

横を食塩水の重さ、縦を濃度、面積を食塩の重さとして考えます。

子どもが数字を正しい位置に書けても、それぞれが何を表しているか説明できないなら、理解は十分ではありません。

「300は何の数字？」
「8％は縦と横のどちら？」
「長方形全体は何を表している？」

と聞いたとき、自分の言葉で答えられることが大切です。

面積図は長方形を描く作業ではなく、数量同士の関係を整理する道具です。縦・横・面積の意味を毎回確認すると、単元が変わっても使いやすくなります。

面積図と式を別々に覚えている

面積図を書けても、式が立てられない子もいます。

これは、図と計算を別々のものとして覚えているためです。

たとえば、8％の食塩水300gに含まれる食塩の重さは、

300×0.08＝24g

です。

この式では、300が長方形の横、0.08が縦、24が面積に当たります。

反対に、食塩の重さ24gと食塩水300gから濃度を求めるなら、

24÷300＝0.08

となります。面積を横で割り、縦を求めている計算です。

面積図の勉強では、式を書いた後に「この数字は図のどこ？」と確認してください。

図の各部分と式を一つずつ結びつけることで、公式を思い出せない問題でも、自分で計算方法を考えられるようになります。

いきなり応用問題から練習している

面積図を習った後、すぐに濃度の混合や人数が途中で変わる平均算へ進むと、図そのものが嫌いになることがあります。

応用問題では、複数の長方形を組み合わせたり、一部を増減させたりする必要があります。

基本的な1つの長方形を理解できていなければ、複雑な図を自力で作ることはできません。

学年が小5や小6でも、面積図が苦手なら簡単な問題へ戻って構いません。

まずは、2つの量が分かっていて積を求める問題。次に、積と一方の量から残りを求める問題。その後に、複数の長方形を比べる問題へ進みます。

難しい問題を繰り返すより、どの段階で止まっているかを見つけることが上達への近道です。

面積図の勉強法は4段階で進める

第1段階は掛け算でつながる3つの量を探す

面積図を書く前に、問題に登場する3つの量を見つけます。

平均算なら、

人数
平均点
合計点

です。

食塩水なら、

食塩水の重さ
濃度
食塩の重さ

仕事算なら、

時間
1時間当たりの仕事量
全体の仕事量

となります。

この3つのうち、どの2つを掛けると残りの1つになるかを確認します。

家庭学習では、図を書く前に「何×何＝何？」と声に出させてください。

この関係を言えない状態で面積図を書かせると、数字の置き場所を暗記するだけになります。

最初の目標は、問題文から掛け算でつながる3つの量を自力で探せるようになることです。

第2段階は縦・横・面積を言葉で説明する

3つの量が分かったら、それぞれを縦・横・面積に当てはめます。

縦と横は入れ替えても、掛け算の結果は同じです。ただし、1つの問題の中では同じ種類の量を同じ向きにそろえなければなりません。

たとえば平均算なら、横を人数、縦を平均点、面積を合計点と決めます。

男子と女子を比較する場合も、両方とも横は人数、縦は平均点にします。

この段階では、まだ数字を入れなくても構いません。

長方形を描き、

横＝人数
縦＝平均点
面積＝合計点

と文字で書くだけでも効果があります。

図を見て3つの意味を説明できるようになってから、具体的な数字を使う練習へ進みましょう。

第3段階は図から式を作る

面積図に数字を書き込んだら、図から式を作ります。

たとえば、20人の平均点が70点なら、合計点は、

20×70＝1,400点

です。

図では、横20、縦70、面積1,400となります。

合計点1,400点と人数20人から平均点を求めるなら、

1,400÷20＝70点

です。

このとき、親は「掛け算か割り算か」を先に教えないようにします。

代わりに、

「求めたいのは縦・横・面積のどれ？」
「面積を求めるならどうする？」
「縦を求めるなら何で割る？」

と質問します。

面積図の中で求めたい場所を確認すると、式を暗記せずに作れるようになります。

第4段階は変わる量と変わらない量を見抜く

応用問題では、面積図の一部が変化します。

このとき重要になるのが、何が変わり、何が変わらないかを見分けることです。

たとえば、10％の食塩水400gに水を100g加える問題では、食塩水全体の重さは400gから500gへ増えます。

一方、食塩の重さは変わりません。

最初の食塩量は、

400×0.10＝40g

です。

水を加えた後も食塩量は40gなので、新しい濃度は、

40÷500＝0.08

つまり8％です。

面積図では、横が広くなり、面積は同じままなので、縦が低くなります。

このように、変わらない面積に注目できると、複雑な問題も整理しやすくなります。

単元別に見る面積図の練習方法

平均算は人数・平均・合計を結びつける

平均算では、

人数×平均＝合計

を使います。

たとえば、男子20人の平均点が70点、女子30人の平均点が80点の場合です。

男子の合計点は、

20×70＝1,400点

女子の合計点は、

30×80＝2,400点

です。

全体では50人、合計3,800点なので、

3,800÷50＝76点

となります。

平均算の勉強では、最初に1集団の合計を求める問題から始めます。その後、2集団を合わせる問題、人数が増減する問題へ進みましょう。

平均点だけを見て単純に足して2で割らないよう、人数の違いが面積の広さに表れることを確認するのがポイントです。

食塩水は全体量・濃度・食塩量を整理する

食塩水では、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

を面積図で表します。

最初は、濃度と全体量から食塩量を求める基本問題を練習します。

次に、水を加える問題、食塩を加える問題、異なる濃度を混ぜる問題へ進みます。

たとえば、6％の食塩水200gと12％の食塩水300gを混ぜる場合、食塩量は、

200×0.06＝12g
300×0.12＝36g

合計48gです。

食塩水全体は500gなので、

48÷500＝0.096

よって濃度は9.6％です。

食塩水では、割合を小数へ直すこと、何を加えても変わらない量があるかを確認することが大切です。

仕事算は時間・仕事率・仕事量で考える

仕事算では、

時間×1時間当たりの仕事量＝終わった仕事量

として面積図を使います。

たとえば、Aさんが1時間に全体の6分の1、Bさんが1時間に全体の12分の1を進めるとします。

2人が一緒に働くと、1時間当たり、

6分の1＋12分の1＝4分の1

の仕事が進みます。

3時間なら、

3×4分の1＝4分の3

です。

面積図では、横を時間、縦を1時間当たりの仕事量、面積を終わった仕事量として表します。

仕事算では、全体の仕事を1とする考え方が必要です。分数の計算に不安がある場合は、面積図の前に単位分数を確認しておきましょう。

面積図を使わない問題も見分ける

面積図は便利ですが、すべての文章題に使う必要はありません。

差や比を比較する問題なら線分図、速さの時間変化ならダイヤグラム、場合の数なら表や樹形図の方が分かりやすい場合があります。

面積図を使う目安は、2つの量を掛けてできる合計量を整理したいときです。

子どもが図を書いても条件を説明できない場合は、問題に合っていない可能性があります。

家庭学習では、「面積図を使う問題かどうか」も考えさせてください。

どの問題にも同じ図を当てはめるのではなく、数量関係に合った整理方法を選ぶ力が、入試問題への対応力につながります。

家庭で続けやすい面積図の勉強法

最初は計算せず図だけを書く

面積図が苦手な子には、図と計算を分けて練習させましょう。

最初は問題文を読み、長方形を描いて縦・横・面積が何を表すか書くだけにします。

たとえば平均算の問題なら、数字を計算せず、

横＝人数
縦＝平均点
面積＝合計点

と書ければ十分です。

図を正しく作れるようになってから、掛け算や割り算へ進みます。

学習を分けることで、問題文の読み取り、図の作成、計算のどこでつまずいているかも見つけやすくなります。

1日2～3問を10分程度で進める

面積図は、一度に大量の問題を解くより、短時間で繰り返す方が身につきやすくなります。

目安は1日2～3問、10～15分程度です。

1問目は3つの量を答える問題、2問目は図から式を作る問題、3問目は前日に間違えた問題にします。

新しい単元を習ったばかりなら、同じ型を3問続けても構いません。

塾の宿題が多い日は、間違えた1問の面積図だけを書き直す方法でも十分です。

長時間取り組んで面積図を嫌いにするより、毎回自力で考えられる量に絞りましょう。

親は完成図を見せず質問で支える

子どもが面積図を書けずに止まると、親が正しい図を描いて見せたくなります。

しかし、完成図を先に見せると、次の問題で再現できないことがあります。

親は次のような質問を使ってください。

「何と何を掛ける問題？」
「縦は何を表す？」
「横は何？」
「長方形全体は何になる？」
「変わらない量はどれ？」

それでも難しい場合は、長方形だけ一緒に描き、数字の置き場所は子どもに考えさせます。

すべてを説明するより、自分で判断する部分を残すことが大切です。

翌日と1週間後に自力で再現する

解説を見た直後に面積図を書けても、理解が定着したとは限りません。

翌日に問題文だけを見て、同じ図を自力で再現させましょう。

さらに1週間後には、数字や設定を変えた類題へ取り組みます。

翌日は図だけ、1週間後は図と式の理由を説明する形でも構いません。

時間を空けても、

何を縦と横に置くか
面積が何を表すか
どの量が変わらないか

を説明できれば、考え方が定着しています。

同じ問題の答えを覚えるのではなく、別の問題でも同じ関係を使えることを目標にしましょう。

まとめ

中学受験算数の面積図を身につけるには、完成した長方形の形を覚えるだけでは不十分です。

まず、問題文から掛け算でつながる3つの量を探し、それぞれが縦・横・面積の何に当たるかを説明できるようにします。

その後、図の数字と式を一つずつ対応させ、変わる量と変わらない量を見抜く練習へ進みましょう。

平均算では人数・平均・合計、食塩水では全体量・濃度・食塩量、仕事算では時間・仕事率・仕事量を結びつけます。

家庭学習では、最初は答えを求めず面積図だけを書く練習でも十分です。1日2～3問、10分程度に絞り、親は完成図を見せるのではなく質問で考えを支えてください。

翌日と1週間後に自力で図を再現し、数字が変わっても同じ考え方を使えれば、面積図は定着し始めています。

面積図の勉強で大切なのは、きれいな図を描くことではありません。2つの量の積が何を表すのかを理解し、図から必要な式を自分で見つけられるようになることです。