中学受験算数「比の利用」の演習法と進め方

比の利用は問題数より演習の順番が重要

この記事では、比の利用を定着させるために、どの問題をどの順番で演習すればよいのか、家庭での具体的な進め方まで解説します。

中学受験算数の比の利用は、問題数を増やすだけでは身につきにくい単元です。

比を簡単にする計算ができても、文章中の数量を正しく対応させられなければ、全体や差を使った問題では式を作れません。また、基本問題が不安定なまま速さや図形との複合問題へ進むと、解説の手順を覚えるだけになりがちです。

演習では、難しい問題を解くことより、同じ考え方を自力で再現できる状態をつくることが大切です。

同じ難度の問題を繰り返すだけでは伸びにくい

比の利用が苦手な子に、同じ問題集を何周もさせる家庭は少なくありません。

繰り返し自体は大切ですが、子どもの理解段階と問題の難度が合っていなければ効果は限られます。

たとえば、一方の数量からもう一方を求める基本問題が解けない状態で、連比や変化前後の問題を繰り返しても、解説を写す学習になりやすいでしょう。

反対に、基本問題を解ける子が同じ簡単な問題だけを続けても、解法を選ぶ力は育ちません。

演習前には、子どもがどこまで自力でできるかを確認し、少し考えれば解ける難度の問題を選ぶことが重要です。

基本・標準・応用を段階的につなげる

比の利用の演習は、基本、標準、応用の順に進めます。

基本問題では、比と実際の数量を対応させ、比の1あたりを求めます。

標準問題では、全体、差、一部分のどれが与えられているかを判断します。

応用問題では、複数の比をそろえたり、割合や速さなど別の単元と組み合わせたりします。

基本問題から難関校の入試問題へ一気に進むと、間の思考過程を練習できません。

条件が一つずつ増えるように問題を並べることで、子どもは「前の問題との違い」を理解しやすくなります。

演習前に比の計算力を確認する

文章題の演習を始める前に、比を簡単にする計算が安定しているか確認しましょう。

整数だけでなく、小数や分数を含む比も必要です。

たとえば、

12：18
0.6：0.9
4分の3：2分の1

などを簡単な整数比にできるか見ます。

10問中8問程度を自力で正解できない場合は、文章題の演習より先に計算を復習したほうがよいでしょう。

比の考え方を理解していても、小数点の移動や分数計算で止まると、文章題全体を苦手だと感じてしまいます。

比の利用の演習は4段階で進める

第1段階｜比と実際の数量を対応させる

最初は、一方の数量が分かっている基本問題を演習します。

たとえば、赤い玉と白い玉の個数の比が2：3で、赤い玉が10個ある問題です。

ノートには、

赤：白＝2：3
個数　10個：□個

と書きます。

赤の比2が10個にあたるため、

10÷2＝5個

が比の1です。

白は比の3なので、

5×3＝15個

となります。

この段階では、速く解く必要はありません。毎回、何と何の比か、分かっている数量はどの比に対応するかを書かせましょう。

5問程度を続けて解き、対応を迷わず書けるようになったら次へ進みます。

第2段階｜全体・差・一部分を型別に解く

次は、比の利用の基本となる3つの型を演習します。

全体型では、全体の数量が比の合計に対応します。

たとえば、96個を5：3に分けるなら、

96÷（5＋3）＝12

が比の1です。

差型では、実際の差が比の差に対応します。

AとBの比が7：4で、差が15なら、

15÷（7－4）＝5

となります。

一部分型では、分かっている数量に対応する比で割ります。

最初から3つを混ぜず、全体型を3～5問、差型を3～5問というように、型別に演習しましょう。

第3段階｜連比と変化前後の問題に進む

基本3パターンが安定したら、条件が増える問題へ進みます。

連比では、共通する数量の比をそろえます。

たとえば、

A：B＝2：3
B：C＝4：5

なら、Bを12にそろえて、

A：B＝8：12
B：C＝12：15

とし、

A：B：C＝8：12：15

を作ります。

変化前後の問題では、何が変わらないかを探します。

男子と女子の人数比が3：2で、男子が6人増えたあと2：1になった場合、女子の人数は変わりません。

女子の比をそろえると、

変化前＝3：2
変化後＝4：2

となり、男子の増加分である比の1が6人だと分かります。

第4段階｜割合・速さ・図形との複合問題を解く

最後に、比を別の単元で利用する演習へ進みます。

割合では、百分率を整数比に直します。原価の20％増しなら、原価：定価＝5：6と表せます。

速さでは、同じ時間なら速さの比と距離の比が等しくなります。同じ距離なら、時間の比は速さの比と逆です。

図形では、相似比が2：3なら面積比は4：9、体積比は8：27になります。

複合問題で大切なのは、問題文に「比を使いなさい」と書かれていなくても、自分で比を使えると気づくことです。

単元別演習で8割程度解けるようになったら、比を使わない問題も含む混合演習へ移りましょう。

効果を高める比の利用の演習方法

1日2～3問を理由まで説明する

比の利用は、大量演習より少数の問題を深く扱うほうが効果的です。

家庭学習では、1日15分程度で2～3問を目安にします。

1問解くたびに、次の内容を説明させましょう。

何と何の比か
分かっている数量は比のいくつ分か
なぜ足した、引いた、割ったのか
比の1はいくつか

たとえば、「96は全体で、比の5と3を合わせた8にあたるから8で割った」と説明できれば、考え方を理解しています。

正解していても理由を説明できない場合は、類題で確認が必要です。

同じ型を続けてから混合演習へ移る

学習初期には、同じ型を続けて演習します。

全体型を数問解くと、「全体は比の合計に対応する」という考え方を繰り返し使えます。

ただし、同じ型だけを長く続けると、問題文を読まずに解き方を予測するようになります。

型別演習で8割程度正解できたら、全体型、差型、一部分型を混ぜましょう。

混合演習では、答えだけでなく、問題の型を正しく判断できたかを確認します。

時間を測るのは正答率が安定してから

比の問題を速く解けるようにするため、早い段階から時間を測る家庭もあります。

しかし、基本の対応が不安定な状態で時間を測ると、途中の整理を省く癖がつきます。

まずは時間を気にせず、10問中8問程度を正しく解ける状態を目指しましょう。

その後、標準問題3～5問をまとめて解き、1問あたりにかかった時間を記録します。

時間を測る目的は急がせることではありません。問題文の読み取り、比の整理、計算のどこに時間がかかっているかを確認するためです。

間違えた問題は類題で確認する

間違えた問題を解説直後に解き直すと、答えを覚えているだけでも正解できます。

当日は、解説を読み、どこで間違えたかを確認します。

2～3日後に同じ問題を解き、1週間後には数字や場面が違う類題を解きましょう。

たとえば、あめを分ける全体型の問題を、金額や人数を分ける問題へ変えます。

場面が変わっても同じ考え方を使えれば、解法が定着しています。

家庭で比の利用を演習するときの注意点

正解数だけで理解度を判断しない

比の利用では、偶然正しい式を選んだり、以前の解答を覚えていたりすることがあります。

そのため、丸がついているだけで理解できたと判断してはいけません。

問題の横に、○・△・×をつける方法がおすすめです。

○は、自力で正解し、理由も説明できた問題です。

△は、正解したものの迷った、時間がかかった、ヒントが必要だった問題です。

×は、間違えた、または解き始められなかった問題です。

次の演習では、△と×を優先します。

親が式を先回りして教えない

子どもが止まると、「比を足して全体を割ればいい」と教えたくなります。

しかし、式を先に伝えると、問題文と数量の関係を考える機会がなくなります。

家庭では、

「何と何の比？」
「この数は全体・差・一部分のどれ？」
「どの比と対応している？」
「比の1を出すにはどうする？」

と質問してください。

子どもが答えられない場合は、問題文に線を引き、一緒に対応表を書くところまで手伝います。

難問ばかりを選ばない

比の応用力を伸ばそうとして、入試問題や難問ばかりを演習する必要はありません。

難問が解けない原因は、発想力より、基本の対応や連比の処理が不安定なこともあります。

家庭学習では、基本・標準問題を中心にし、応用問題は全体の2～3割程度から始めるとよいでしょう。

標準問題を短時間で正確に解けるようになってから、難問の割合を増やします。

演習記録で苦手な型を見える化する

演習した日、問題の型、○・△・×、間違いの原因を簡単に記録すると、復習する内容が分かりやすくなります。

間違いの原因は、次のように分けます。

対応ミス
型の判断ミス
連比の処理ミス
計算ミス
条件の読み落とし

たとえば、差型だけ×が多いなら、比の利用全体をやり直す必要はありません。

差型の基本問題を数問追加すればよいと判断できます。

まとめ｜比の利用の演習は少量を段階的に進める

中学受験算数の比の利用を定着させるには、問題数を増やすことより、演習の順番と内容を整えることが重要です。

まずは比の計算力を確認し、比と実際の数量を対応させる基本問題から始めます。

次に、全体型、差型、一部分型を分けて練習し、安定したら連比や変化前後の問題へ進みます。最後に、割合、速さ、図形などとの複合問題や混合演習へ広げましょう。

家庭学習では、1日15分、2～3問程度でも十分です。

少数の問題について、何と何の比か、分かっている数量は何を表すか、なぜその計算をしたかまで説明させます。

型別演習で8割程度正解できたら、問題の順番を混ぜ、解法を自分で選べるか確認してください。

間違えた問題は、当日、2～3日後、1週間後に復習し、最後は場面や数字の異なる類題で定着を確かめます。

比の利用の演習で大切なのは、たくさん解いたという安心感ではありません。

子どもが数量の関係を自分で整理し、初めて見る問題でも基本の考え方を選べるようになることです。

少量の問題を段階的に積み重ねることで、比の利用は割合、速さ、図形などでも使える安定した得点源になります。