中学受験算数「比の利用」入試で差がつく解き方

中学入試で比の利用が重要な理由

この記事では、中学受験算数の入試で比の利用がどのように出題されるのかを整理し、頻出パターンと得点につなげる家庭学習の進め方を解説します。

比の利用は、中学受験算数の中でも特に重要な考え方です。

その理由は、比だけを扱う単独問題にとどまらず、図形、速さ、食塩水、売買損益、年齢算など、幅広い単元に使われるからです。

入試では、「比を使って解きなさい」と書かれているとは限りません。問題文を読んだ受験生自身が、数量関係を比で整理すると簡単になることに気づく必要があります。

比は複数単元をつなぐ考え方

比の基本は、2つ以上の量の関係を同じ大きさのまとまりで表すことです。

例えば、AとBの人数の比が3：2で、合計が50人なら、全体は比の5つ分です。

50÷5＝10人

この10人が比の1つ分なので、

Aは10×3＝30人
Bは10×2＝20人

となります。

この「全体を比の合計で割り、1つ分を求める」という考え方は、人数だけでなく、長さ、面積、時間、金額などにも使えます。

比の利用を理解すると、単元ごとに別の公式を覚える負担が減り、複雑な問題を共通の考え方で整理できるようになります。

比を直接問わない問題にも使われる

入試では、比が3：2の形で与えられるとは限りません。

例えば、「男子はクラス全体の40％」と書かれていれば、女子は60％です。

したがって、

男子：女子＝40：60＝2：3

と直せます。

また、AがBの4分の3なら、

A：B＝3：4

です。

割合、分数、倍数の形で示された条件を比に直すことで、問題が解きやすくなる場合があります。

比の利用で重要なのは、比の計算ができることではなく、問題文の中に隠れた比を見つけられることです。

計算力より数量関係を見抜く力が必要

比の入試問題では、複雑な計算よりも、どの量とどの量が対応しているかを判断する力が問われます。

例えば、A：B＝4：7でAが28なら、28は比の4に対応します。

28÷4＝7

が比の1つ分です。

Bは、

7×7＝49

となります。

ここで28÷7としてしまう子は、求めたいBの比を使っています。

割るときに使うのは、求めたい側の比ではなく、分かっている実際の量に対応する比です。

入試では、この対応関係を正確に見抜けるかどうかが得点差につながります。

中学入試で頻出の比の利用4パターン

比の利用の入試問題には、いくつかの代表的な型があります。

基本問題を安定して解けるようにしたうえで、割合への変換、変化する比、3つ以上の数量へと広げましょう。

全体・差・一方の量から求める問題

比の利用の基本は、与えられた実際の量が「全体」「差」「一方」のどれかを見分けることです。

A：B＝5：3で、合計が64なら、比の合計は8です。

64÷8＝8

が1つ分なので、

A＝8×5＝40
B＝8×3＝24

となります。

差が16なら、比の差は2です。

16÷2＝8

となり、同じくAは40、Bは24です。

一方のAが40と分かっているなら、

40÷5＝8

と求めます。

「合計なら足す」「差なら引く」「一方なら対応する比で割る」という3つが、すべての土台です。

割合や分数を比に直す問題

中学入試では、比と割合を行き来する問題が頻出です。

例えば、「AはBの60％」なら、

A：B＝0.6：1＝3：5

です。

「全体の8分の3が男子」なら、女子は8分の5なので、

男子：女子＝3：5

となります。

この変換ができると、割合の文章題を比の問題として解けます。

割合と比を別々の単元と考えるのではなく、同じ数量関係を異なる形で表していると理解することが大切です。

変化の前後で比をそろえる問題

入試で差がつきやすいのが、物を移す、増やす、減らすことで比が変化する問題です。

例えば、兄と弟の所持金の比が5：3で、兄が弟に200円渡すと3：2になったとします。

お金を渡しても、2人の合計金額は変わりません。

変化前の比の合計は8、変化後は5です。合計を同じ40にそろえると、

変化前＝25：15
変化後＝24：16

となります。

兄は1つ分減り、弟は1つ分増えています。この1つ分が200円です。

したがって、最初の所持金は、

兄＝200×25＝5,000円
弟＝200×15＝3,000円

です。

変化の問題では、増減した量だけでなく、前後で変わらない全体量や差を探します。

3つ以上の数量の比をまとめる問題

A：BとB：Cから、A：B：Cを求める問題もよく出ます。

例えば、

A：B＝2：3
B：C＝4：5

とします。

共通するBが3と4で異なるため、最小公倍数の12にそろえます。

A：B＝8：12
B：C＝12：15

したがって、

A：B：C＝8：12：15

です。

3つ以上の数量を比べるときは、共通する量を見つけ、その比を同じ数字にそろえます。

この考え方は、人数の組み合わせ、図形の辺の長さ、仕事量などにも使われます。

比の利用が出る入試頻出単元

比の利用は、他の単元と組み合わされて出題されることが多くあります。

特に、図形、速さ、割合を含む文章題、年齢算では、比を使うと計算が大幅に簡単になることがあります。

図形｜面積比と相似比を使う

図形問題では、辺の長さの比や面積比が重要です。

高さが同じ2つの三角形では、面積の比は底辺の比と同じになります。

例えば、底辺の比が3：5なら、面積比も3：5です。

また、相似な図形では、対応する辺の比が相似比になります。相似比が2：3なら、面積比は、

2×2：3×3＝4：9

です。

図形問題が苦手な子は、長さと面積の比を混同しやすいため注意しましょう。

辺の長さはそのままの比、面積は比を2回かけると整理すると分かりやすくなります。

速さ｜同じ時間・同じ距離に注目する

速さの問題でも比が活躍します。

同じ時間進む場合、道のりの比は速さの比と同じです。

AとBの速さが3：5で、同じ時間進めば、道のりの比も3：5になります。

一方、同じ距離を進む場合、かかる時間の比は速さの逆比です。

速さが3：5なら、時間の比は、

5：3

となります。

速さの比をそのまま時間の比にしてしまうミスは少なくありません。

「同じなのは時間か、距離か」を先に確認することが重要です。

食塩水・売買損益｜割合を比で整理する

食塩水や売買損益では、割合を比に直すと整理しやすくなります。

例えば、5％と10％の食塩水を混ぜて8％にする場合、濃度の差に注目します。

5％と8％の差は3、8％と10％の差は2です。

混ぜる重さの比は反対になり、

2：3

となります。

売買損益でも、原価を100と置けば、20％の利益を加えた定価は120と表せます。

さらに定価の10％引きなら、売価は108です。

具体的な金額が分からなくても、比を使って原価・定価・売価の関係を整理できます。

年齢算・分配算｜変わらない差を利用する

年齢算では、何年たっても2人の年齢差は変わりません。

例えば、現在の兄と弟の年齢比が3：2で、6年後に4：3になるとします。

現在の比の差も、6年後の比の差も1です。

しかし、同じ1でも実際の年齢は異なるため、線分図を使い、6年間の増加分を対応させます。

分配算では、合計量が変わらないことや、移した量が一方から減ってもう一方に増えることを利用します。

比が変化する問題では、「変わらない量は何か」を最初に探すことが解答への近道です。

入試で比の利用を得点につなげる対策

比の利用を入試で使えるようにするには、基本計算だけでなく、比を選ぶ判断力を育てる必要があります。

家庭学習では、解答を覚えるのではなく、なぜ比を使ったのかを振り返りましょう。

問題文から変わらない量を探す

入試の比の問題では、変化する数字に目を奪われがちです。

しかし、解く手がかりになるのは、前後で変わらない量です。

物を一方から他方へ移すなら、全体量は変わりません。

年齢なら、2人の年齢差は変わりません。

同じ距離を進むなら、距離が共通しています。

問題文を読んだら、「何が変わるか」より先に、「何が変わらないか」を余白に書かせるとよいでしょう。

線分図や表を使って対応を整理する

比の問題は、頭の中だけで処理しようとすると対応関係を取り違えやすくなります。

A：B＝3：2なら、線分図でAを3区画、Bを2区画に分けます。

変化前後の比なら、表を使って横に「変化前」「変化後」、縦にA、B、合計を書きます。

図や表を使う目的は、きれいに描くことではありません。

実際の量が比のどこに対応するか、どの量が変わらないかを見える形にすることです。

基本・変形・複合の順に演習する

比の演習は、難度を3段階に分けると効果的です。

基本では、全体、差、一方の量から1つ分を求めます。

変形では、割合や分数を比に直す、3つの比をそろえる問題に進みます。

複合では、図形、速さ、食塩水など、別単元と組み合わされた問題を解きます。

基本問題で正答率が安定しないまま複合問題へ進むと、解説の暗記になりがちです。

目安として、基本問題を10問中8問程度自力で解けてから、次の段階へ進むとよいでしょう。

過去問では比を使う理由まで振り返る

過去問演習では、正解したかどうかだけでなく、解法の選択を振り返ります。

比を使った問題なら、次の点を確認します。

・何と何を比べたか
・どの量が変わらなかったか
・実際の数字は比のどこに対応したか
・線分図や表を使うと整理しやすかったか

式を写すだけでは、条件の異なる問題に応用できません。

「なぜ比を使うと簡単になるのか」を説明できれば、入試本番でも自分で解法を選びやすくなります。

まとめ｜比の利用は入試算数を支える土台

中学受験算数の比の利用は、比だけの単独問題ではなく、図形、速さ、食塩水、売買損益、年齢算など幅広い単元で使われます。

入試で求められるのは、比の計算を速く行うことだけではありません。

問題文の中から比べる量を見つけ、実際の量が比のどこに対応しているかを判断する力が重要です。

基本問題では、全体が分かるなら比を足し、差が分かるなら比を引きます。一方の量が分かるなら、その量に対応する比で割ります。

そして、

実際の量÷対応する比＝比の1つ分

を求めます。

応用問題では、割合や分数を比に直す、共通する比をそろえる、変化前後で変わらない量を探すといった考え方を使います。

家庭学習では、基本、変形、複合の順に進み、線分図や表を使って数量関係を整理してください。

過去問を解いた後は、答えや式だけでなく、「何を比べたのか」「なぜ比を使ったのか」まで振り返ることが大切です。

比の利用を身につけると、一見別々に見える単元を同じ考え方で解けるようになります。

比は入試問題の一分野ではなく、中学受験算数全体を支える土台です。基本の対応と1つ分を確実にし、複合問題でも使える力へ育てていきましょう。