受験算数のつるかめ算｜基本の解き方をやさしく解説

受験算数のつるかめ算とはどんな問題？

この記事では、受験算数のつるかめ算について、基本の考え方から具体的な解き方、家庭での教え方、応用問題への進み方まで順を追って解説します。

つるかめ算は、中学受験算数を代表する文章題の一つです。方程式を使わず、合計と差に注目して2種類の数量を求めます。

一度解き方を覚えると簡単に見えますが、「なぜ引き算をするのか」「なぜ差で割るのか」を理解していないと、動物が人や硬貨に変わっただけで解けなくなります。

大切なのは、公式を丸暗記することではありません。全部を同じ種類だと仮定したときに、実際との間にどのような差が生まれるのかを理解することです。

つるかめ算は、2種類のものについて、全体の数ともう一つの合計がわかっているときに、それぞれの数を求める問題です。

2種類の数量と合計から内訳を求める

代表的な問題を見てみましょう。

「つるとかめが合わせて10匹います。足の数の合計は28本です。つるとかめはそれぞれ何匹いますか」

つるの足は2本、かめの足は4本です。

この問題では、次の条件がわかっています。

つるとかめの合計は10匹、足の合計は28本です。そして、つる1匹の足は2本、かめ1匹の足は4本です。

求めるのは、つるとかめの内訳です。

つるかめ算では、「2種類」「全体の個数」「もう一つの合計」という3点を見つけることが最初の仕事になります。

つるとかめ以外の問題にも使われる

入試で、つるとかめがそのまま登場するとは限りません。

たとえば、次のような問題にも同じ考え方を使います。

大人と子どもの入場料、50円玉と100円玉の枚数、1個80円の商品と120円の商品、正解と不正解があるテストの得点などです。

大人と子どもを合わせて20人、入場料の合計が1万6000円という問題も、1人あたりの料金が2種類なら、つるかめ算として考えられます。

見た目が違っても、「2種類の単価や数量」と「合計」が示されていれば、つるかめ算を疑いましょう。

公式暗記だけでは応用しにくい

つるかめ算には、次のような形の式がよく使われます。

（実際の合計－全部を小さいほうとした合計）÷1個あたりの差

この式を覚えるだけでも基本問題は解けます。しかし、どちらを全部と仮定したのかがわからなければ、引く順番を間違えます。

また、正解すると点が増え、不正解だと点が減る問題では、単純に「大きい数－小さい数」と考えられない場合もあります。

式を覚える前に、「全部を同じ種類にすると、実際よりどれだけ不足または超過するか」を説明できることが重要です。

つるかめ算の基本的な解き方

ここでは、先ほどの例題を使って、つるかめ算の基本手順を確認します。

例題の条件を整理する

例題は次のとおりです。

「つるとかめが合わせて10匹います。足の数の合計は28本です。つるとかめはそれぞれ何匹いますか」

まず、表にすると条件が整理しやすくなります。

つるは1匹あたり2本、かめは1匹あたり4本です。合計は10匹、足は28本です。

この段階で、「匹」と「本」を混同しないようにします。

10は動物の数、28は足の数です。どの数字が何を表しているかを明確にしてから計算へ進みましょう。

全部をつるだと考える

つるとかめ10匹を、いったん全部つるだったと考えます。

つるは1匹につき足が2本なので、全部がつるなら足の合計は、

2×10＝20本

です。

しかし、実際の足の合計は28本です。

全部をつると考えた場合より、実際のほうが、

28－20＝8本

多くなっています。

この8本の差は、何匹かのつるをかめに置き換えたことで生まれた差です。

実際との差からかめの数を求める

つる1匹をかめ1匹に置き換えると、足は何本増えるでしょうか。

かめの足は4本、つるの足は2本なので、

4－2＝2本

増えます。

実際の足は、全部をつるとした場合より8本多くなっています。1匹置き換えるごとに2本増えるため、かめの数は、

8÷2＝4匹

です。

全部で10匹なので、つるの数は、

10－4＝6匹

となります。

答えは、つる6匹、かめ4匹です。

この解き方では、「全体の差÷1匹分の差」で、置き換えた数を求めています。

答えが条件に合うか確かめる

最後に、求めた答えを元の条件へ戻します。

つる6匹の足は、

2×6＝12本

です。

かめ4匹の足は、

4×4＝16本

です。

合計すると、

12＋16＝28本

となり、問題の条件と一致します。

匹数も6＋4＝10匹です。

つるかめ算では、計算の途中で引く順番や差を間違えやすいため、検算まで行う習慣をつけましょう。

つるかめ算で使える3つの解法

つるかめ算には複数の解き方があります。子どもの理解段階に合う方法を選ぶことが大切です。

差を利用する基本解法

最も一般的なのが、全部を一方の種類と仮定する解き方です。

基本手順は次の4段階です。

まず、全部を1個あたりの数が小さいほうと考えます。次に、仮定した合計と実際の合計との差を求めます。そして、2種類の1個あたりの差を求め、全体の差を1個あたりの差で割ります。

先ほどの問題なら、

全部つるの場合は2×10＝20本
実際との差は28－20＝8本
1匹あたりの差は4－2＝2本
かめは8÷2＝4匹

となります。

計算が短く、入試でも使いやすい解法です。

面積図を使う解法

数字だけでは差の意味を理解しにくい子には、面積図が役立ちます。

横の長さを動物の数10匹、縦の長さを足の本数と考えます。

全部をつるとした長方形は、横10、縦2なので、面積は20です。実際の合計28との差である8が、かめに置き換わった部分にあたります。

つるとかめの足の差は2本なので、差の部分の高さは2です。

面積8÷高さ2＝横4となり、かめが4匹とわかります。

面積図は、「全体の差÷1匹あたりの差」という式を目で理解しやすい方法です。ただし、図を描くだけで満足せず、横・縦・面積が何を表すか説明させてください。

表を書いて規則を見つける解法

つるかめ算を初めて学ぶ子には、表で試す方法もあります。

全部つるなら、つる10匹、かめ0匹で足は20本です。

つるを1匹減らしてかめを1匹増やすと、つる9匹、かめ1匹となり、足は22本になります。

さらに置き換えると、足は24本、26本、28本と2本ずつ増えます。

足が28本になるのは、かめが4匹のときです。

表を使うと、つる1匹をかめ1匹へ変えるたびに足が2本増えることを実感できます。最終的には差を使う方法へつなげると、計算を短くできます。

つるかめ算が解けないときの教え方

つるかめ算でつまずく子には、式を繰り返し覚えさせるより、差が生まれる理由を言葉にさせることが効果的です。

何を全部同じと考えたか説明させる

問題を解いたあと、「最初に何を全部同じだと考えたの？」と質問します。

「10匹全部をつると考えた」と答えられれば、仮定の意味を理解しています。

次に、「全部つるなら足は何本になる？」「実際とは何本違う？」と一つずつ確認します。

子どもが式だけを書いて説明できない場合は、解き方を暗記している可能性があります。数値を変えた類題に進む前に、考え方を言葉で再現させましょう。

差を人数分・個数分に分ける

「なぜ8÷2をするの？」と聞かれて説明できない子は少なくありません。

8本は、全部をつると考えた場合と実際との差です。2本は、つる1匹をかめ1匹に置き換えたときに増える足の数です。

つまり、8本の中に2本分の増加がいくつあるかを求めています。

8÷2＝4は、置き換えた回数であり、そのままかめの数になります。

全体の差を、1個あたりの差に分けるという意味を理解させましょう。

単位を式に添えて確認する

つるかめ算では、「匹」「本」「円」「人」など、複数の単位が登場します。

たとえば、

28本－20本＝8本
8本÷2本＝4匹

と、式の横に単位を意識させると、何を求めているかが明確になります。

厳密には割り算の単位を毎回書く必要はありませんが、学習の初期には「差8本を、1匹変えると増える2本ずつに分けた」と説明させると理解しやすくなります。

数字だけを追っている子ほど、単位の確認が有効です。

基本から応用へ段階的に進める

最初は、つるとかめのように1個あたりの数がわかりやすい問題から始めます。

次に、大人と子どもの料金、硬貨の枚数、商品の単価へ進みます。その後、正解・不正解の得点、速さの違う2種類の移動など、条件が複雑な問題へ広げます。

基本問題を一度解けただけで、すぐに難問へ進む必要はありません。

数字や題材が変わっても、「全部を一方と考える」「実際との差を求める」「1個あたりの差で割る」という手順を自力で再現できることが、次へ進む目安です。

まとめ｜つるかめ算は差の意味を理解して解く

受験算数のつるかめ算は、2種類のものについて、全体の個数ともう一つの合計から、それぞれの数を求める問題です。

基本の解き方は、全部を一方の種類と考え、仮定した合計と実際の合計との差を求めます。その差を、2種類の1個あたりの差で割ると、置き換えた数がわかります。

つるとかめが10匹、足が28本なら、全部をつるとした足は20本です。実際との差は8本、つるとかめの足の差は2本なので、かめは8÷2＝4匹となります。

家庭では、式を覚えさせるだけでなく、「何を全部同じと考えたのか」「なぜ差が生まれたのか」「なぜその差で割るのか」を説明させてください。

差の意味を理解できれば、つるとかめが入場料、硬貨、商品、得点に変わっても、同じ考え方で解けるようになります。