受験算数のつるかめ算を基礎からわかりやすく解説

受験算数のつるかめ算とは？

この記事では、受験算数のつるかめ算について、基本の考え方から家庭での説明方法まで順を追って解説します。

つるかめ算は、2種類のものについて、全体の個数と合計量から、それぞれの個数を求める問題です。

中学受験では定番の特殊算ですが、決まった公式だけを覚えても、少し条件が変わると解けなくなります。

大切なのは、「いったん全部を同じ種類だと考え、実際との差に注目する」という考え方です。

2種類のものの合計から個数を求める問題

代表的な問題は、つるとかめの頭数と足の本数から、それぞれが何匹いるかを求めるものです。

つるの足は2本、かめの足は4本です。

たとえば、つるとかめが合わせて10匹いて、足の本数が全部で28本だったとします。

このとき求めたいのは、つるとかめがそれぞれ何匹いるかです。

分かっているのは次の内容です。

• 全体の数は10匹
• つるは1匹につき2本
• かめは1匹につき4本
• 足の合計は28本

つるとかめの違いは、1匹あたりの足の本数です。この差を利用して、それぞれの匹数を求めます。

つるとかめ以外の問題にも使われる

つるかめ算という名前ですが、実際の入試でつるとかめが登場するとは限りません。

よく出るのは、次のような問題です。

1個80円と120円のお菓子を合わせて買う問題、10点と5点の問題が混ざったテスト、子ども料金と大人料金がある入場料、時速の異なる2種類の移動などです。

たとえば、80円と120円のお菓子を合わせて15個買い、代金が1560円だったとします。

この問題も、「全部を80円のお菓子だと考える」ことで解けます。

つまり、つるかめ算は動物の問題ではなく、2種類の違いを利用する考え方なのです。

公式より「全部そろえる」考え方が大切

つるかめ算には、次のような形の式がよく使われます。

（実際の合計－小さいほうでそろえた合計）÷1個あたりの差

しかし、この式だけを暗記すると、数字をどこへ入れるのか分からなくなることがあります。

「なぜ引くのか」「なぜ差で割るのか」を理解することが重要です。

全部をつるだと考えると、かめをつるとして数えた分だけ、足の本数が少なくなります。

かめ1匹をつる1羽に置き換えると、足は4本から2本になり、2本少なくなります。

実際の足の本数との差が、かめによって増えた足の合計です。その差を1匹あたり2本で割ると、かめの匹数が分かります。

つるかめ算の基本的な解き方を例題で解説

ここでは、基本的な例題を使って、つるかめ算の考え方を確認します。

【例題】

つるとかめが合わせて10匹います。足の本数を数えると、全部で28本ありました。つるとかめは、それぞれ何匹いますか。

例題の条件を整理する

まずは、問題文から必要な情報を整理します。

つるとかめの合計は10匹です。

つるは1羽につき足が2本、かめは1匹につき足が4本あります。

実際の足の合計は28本です。

ここで、すぐに式を作らせるのではなく、保護者は次のように問いかけてみてください。

「つるとかめは、1匹あたりの何が違う？」

答えは足の本数です。

次に、「全部を足の少ないつるだと考えたら、足は何本になる？」と聞きます。

この問いかけによって、子どもが自分で解き方の入り口を見つけやすくなります。

全部をつるだと考える

10匹すべてがつるだと考えます。

つるは1羽につき足が2本なので、足の合計は次のようになります。

2×10＝20本

しかし、実際の足の本数は28本です。

全部をつるだと考えた場合より、実際は8本多くなっています。

28－20＝8本

この8本は、かめが混ざっているために増えた足の本数です。

足の差からかめの数を求める

つる1羽の足は2本、かめ1匹の足は4本です。

かめ1匹をつる1羽として考えると、足は2本少なく数えられます。

1匹あたりの差は次の通りです。

4－2＝2本

全部をつると考えたときの不足分は8本でした。

かめが1匹いるごとに2本ずつ増えるため、かめの数は次の式で求められます。

8÷2＝4匹

したがって、かめは4匹です。

全体が10匹なので、つるは次のように求めます。

10－4＝6羽

答えは、つるが6羽、かめが4匹です。

答えが条件に合うか確かめる

つるかめ算では、答えを出したあとに確かめを行うことが大切です。

つる6羽の足は、

2×6＝12本

かめ4匹の足は、

4×4＝16本

合わせると、

12＋16＝28本

問題文の足の合計と一致しました。

また、つる6羽とかめ4匹を合わせると10匹です。

個数と足の本数の両方が条件に合っているため、答えは正しいと確認できます。

中学受験では、途中の計算が正しくても、最後に求めるものを取り違えることがあります。確かめまでを一連の解き方として習慣にしましょう。

面積図でつるかめ算を理解する方法

つるかめ算は、式だけでなく面積図でも表せます。

面積図を使うと、「何と何の差を求めているのか」が目で見て分かりやすくなります。

横を個数、縦を1個あたりの量として考える

面積図では、横の長さを全体の個数、縦の長さを1匹あたりの足の本数と考えます。

先ほどの例題なら、横は10匹、縦はつるの足2本です。

全部をつると考えた長方形の面積は、

10×2＝20

となります。

この面積は、全部をつると考えた場合の足の合計です。

実際の足の合計は28本なので、長方形の上に8本分の不足があります。

この不足分が、かめによって増えた足の本数です。

差の部分が何を表しているか確認する

かめはつるより、1匹につき足が2本多くなります。

面積図では、高さ2の細長い部分が、かめの数だけ並んでいると考えます。

不足している面積は8、高さは2です。

したがって、横の長さにあたるかめの数は、

8÷2＝4

と求められます。

面積図の利点は、割り算の意味が見えやすいことです。

8÷2を単なる計算として扱うのではなく、「かめ1匹につき増える2本が、何匹分集まると8本になるか」と説明できます。

式だけで解けても図に戻る習慣をつける

つるかめ算に慣れると、子どもは式だけで素早く解けるようになります。

ただし、応用問題で迷ったときに戻れるよう、基本段階では面積図も書けるようにしておくことが大切です。

料金の問題なら、横を人数や個数、縦を1人分・1個分の料金と考えます。

得点の問題なら、横を問題数、縦を1問あたりの点数と考えます。

何を横にし、何を縦にするかを説明できれば、問題の題材が変わっても対応できます。

図をきれいに書くことが目的ではありません。全体をどちらか一方にそろえたとき、どの部分が差になるのかを確認するために使います。

つるかめ算でよくあるつまずきと家庭での教え方

つるかめ算が苦手な子は、計算ができないのではなく、差の意味を理解できていないことが多くあります。

間違えたときは、答えを教える前に、どこで考え方がずれたのかを確認しましょう。

合計の差と1個あたりの差を混同する

つるかめ算では、2種類の差が登場します。

一つは、全部を同じ種類と考えた合計と、実際の合計との差です。

もう一つは、1個あたりの量の差です。

先ほどの例題では、合計の差が8本、1匹あたりの差が2本です。

この二つを混同すると、28÷2のような式を作ってしまいます。

家庭では、「8本は全体で増えた分」「2本はかめ1匹ごとに増える分」と言葉を分けて説明しましょう。

単位をつけて式を読むことも効果的です。

8本÷1匹あたり2本＝4匹

単位を見ると、答えが匹になる理由も理解しやすくなります。

何を全部そろえたのか分からなくなる

つるかめ算は、全部を小さいほうにそろえても、大きいほうにそろえても解けます。

しかし、学習の初期に方法を頻繁に変えると、子どもが混乱します。

まずは、「全部を1個あたりの量が小さいほうにそろえる」と決めるとよいでしょう。

つるとかめなら全部をつる、80円と120円なら全部を80円、5点と10点なら全部を5点と考えます。

式を書く前に、「今回は全部を何だと考えた？」と聞いてください。

ここを答えられない場合は、式の暗記に頼っている可能性があります。

答えを出すことだけを目標にしない

つるかめ算では、正解したかどうかだけを見ると、理解度を判断しにくいことがあります。

数字の並びを覚え、偶然正しい式を作っている場合もあるからです。

家庭学習では、次の三つを説明させましょう。

「全部を何と考えたか」

「実際との差は何を表しているか」

「なぜ1個あたりの差で割るのか」

この三つを自分の言葉で説明できれば、題材が料金や得点に変わっても対応しやすくなります。

保護者が解き方を長く説明するより、短い質問を重ね、子ども自身に言葉にさせることが定着につながります。

基本から応用へ段階的に進める

つるかめ算は、基本形を理解したあと、条件が少しずつ複雑になります。

最初は、全体の個数と合計量がそのまま与えられる問題を練習します。

次に、合計金額や合計得点を求める料金・得点の問題へ進みます。

その後、不正解だと減点される問題、途中で個数が増減する問題、3種類に見える問題などへ広げます。

基本問題で正答率が8割に届かないうちは、難しい応用問題を増やす必要はありません。

1日10～15分程度、同じ型の問題を2～3問解き、「差の意味」を説明する練習を続けましょう。

解法を早く覚えることより、なぜその式になるかを理解することが、入試問題への最短ルートです。

まとめ｜つるかめ算は「差の意味」が分かれば解ける

受験算数のつるかめ算は、2種類のものについて、全体の個数と合計量から、それぞれの個数を求める問題です。

基本となるのは、全部をどちらか一方の種類だと考えることです。

全部を1個あたりの量が小さいほうにそろえ、仮の合計と実際の合計との差を求めます。その差を1個あたりの差で割ると、量が大きいほうの個数が分かります。

つるとかめの例なら、全部をつると考え、実際より不足する足の本数を求めます。その不足分が、かめ1匹につき2本ずつ生まれていると考えるのです。

家庭で教えるときは、公式を先に暗記させるのではなく、「全部を何と考えた？」「この差は何の差？」「1匹増えると何本変わる？」と問いかけましょう。

つるかめ算は、一度考え方を理解すると、料金、得点、人数、速さなど多くの問題へ応用できます。

答えを出す手順だけでなく、差が生まれる理由を説明できるようになることが、中学受験算数で安定して得点するための土台になります。