中学受験算数「場合の数」の先取り学習法

場合の数は先取りしても大丈夫？

この記事では、中学受験算数の「場合の数」を先取りする時期の見極め方と、理解を置き去りにしない家庭学習の進め方を解説します。

場合の数は、低学年でも扱える簡単な組み合わせから、上位校で出題される複雑な数え上げまで幅が広い単元です。そのため、内容を選べば早めに触れても問題ありません。

ただし、公式を覚えて先へ進むだけの先取りはおすすめできません。場合の数では、書き出す、比べる、整理するという思考の過程が重要だからです。

学年より準備ができているかで判断する

場合の数の先取りを始める時期は、「小3だから早い」「小5だから遅い」と学年だけで決める必要はありません。

簡単な問題文を読み、条件に合うものを順番に書ける子なら、基本的な組み合わせや並べ方から始められます。反対に、計算が速くても、思いついたものから書いて途中で混乱する場合は、先へ急がない方がよいでしょう。

先取りの判断材料は、計算問題の正答率ではありません。「決めた基準を守って最後まで調べられるか」を確認してください。

計算力より順序立てて書く力が必要

場合の数で使う計算は、主に足し算と掛け算です。しかし、計算ができるだけでは正解できません。

たとえば、1・2・3のカードから異なる2枚を使い、2桁の整数を作る問題では、12、13、21、23、31、32の6通りです。

3×2＝6と計算できますが、この式を先に覚えるだけでは不十分です。十の位を1、2、3の順に固定し、それぞれについて一の位を調べた経験が、式の意味を支えています。

先取りでは、速い計算より、漏れなく書く力を優先しましょう。

先取りの目的は授業を楽にすること

先取り学習の目的は、学年を何年分も先へ進めることではありません。塾の授業で初めて考え方に触れたときの負担を減らし、理解しやすくすることです。

あらかじめカードの並べ方や簡単な樹形図を経験しておけば、授業では新しい用語や複雑な条件へ集中できます。

一方、先取り教材を終えることが目的になると、理解できない問題でも解答を写して進みがちです。「一度見たことがある」「簡単な例なら説明できる」という状態でも、先取りとして十分な効果があります。

場合の数の先取りを始める前のチェック項目

先取りを始める前に、次の4点を簡単な問題で確認しましょう。すべて完璧でなくても構いませんが、できない項目が多い場合は、具体物を使う段階から始めます。

問題の「1通り」を説明できるか

最初に、「何が決まったら1通りになるのか」を説明できるか確認します。

上着が2種類、ズボンが3種類ある問題なら、上着とズボンの両方が決まって1通りです。2桁の整数なら、十の位と一の位が決まって1通りになります。

ここが曖昧だと、上着だけを選んだ段階や、十の位だけを決めた段階まで数えてしまいます。

家庭では、「この問題は何が全部決まったら完成？」と尋ねてください。子どもの言葉で答えられれば、数える対象を理解できています。

決めた順番で最後まで書けるか

先取り学習では、思いついた順に書くのではなく、一つの基準で整理する力が必要です。

赤・青・黄の3色から2色を選んで順番に並べるなら、最初を赤に固定して赤青、赤黄、次に青として青赤、青黄、最後に黄として黄赤、黄青と書きます。

途中で基準を変えると、同じものを二度書いたり、一部を忘れたりします。

きれいな字や速さは求めなくて構いません。決めた順番を最後まで守れることを評価しましょう。

順番を入れ替えた違いが分かるか

場合の数では、順番を入れ替えると別になる問題と、同じものとして扱う問題があります。

AさんとBさんが横に並ぶ場合、ABとBAは並び方が異なります。一方、AさんとBさんを同じ係に選ぶだけなら、ABとBAは同じ2人組です。

「並べ方」「選び方」という言葉を暗記する前に、実際に入れ替えて違いを見せましょう。

「入れ替えたら役割や場所が変わる？」と尋ね、変わるなら別、変わらないなら同じと判断できれば、次の学習へ進めます。

間違いを自分で見直せるか

場合の数では、答えが違ったときに、どこが足りないのか見つける力も重要です。

書き出したものを指で順にたどり、最初を赤、青、黄にした場合がすべてあるか確認します。樹形図なら、途中だけ枝の数が少なくなっていないかを見ます。

最初は保護者と一緒に確認して構いません。「もう一度全部考えて」ではなく、「最初を青にした場合は全部ある？」と確認する範囲を絞ると、子ども自身で直しやすくなります。

場合の数を先取りする正しい学習順序

場合の数の先取りは、具体物、書き出し、図、計算の順で進めます。短い式を早く覚えるより、式が表している内容を理解することが大切です。

具体物を動かして組み合わせを作る

最初は、数字カード、色紙、硬貨の模型など、手で動かせるものを使います。

赤・青・黄のカードから2枚を並べるなら、実際にカードを置き、赤青と青赤の違いを確認します。服の組み合わせなら、上着とズボンの絵を用意して組み合わせてもよいでしょう。

目の前の物を動かすと、「一つ目を決めた後にも選択がある」ことを理解しやすくなります。

ただし、具体物だけで終えず、作った結果を必ず紙へ書きます。操作と数字や記号を結びつけることが目的です。

すべての場合を書き出す

次は、条件に合うものをすべて書き出します。

この段階では、掛け算で素早く求める必要はありません。先頭や最初の色を固定し、決めた順序で最後まで書く練習をします。

1・2・3・4から異なる2枚を並べるなら、先頭を1にして12、13、14、次に2として21、23、24と続けます。

書き出しは遠回りではありません。規則を見つけ、漏れや重なりを防ぐための土台です。先取りだからこそ、この段階を省略しないようにしましょう。

樹形図や表で整理する

書き出しが安定したら、樹形図や表を使います。

樹形図は、一つ目の選択から二つ目、三つ目へ進む問題に向いています。最初の枝を等間隔に描き、途中で省略せず最後まで伸ばします。

表は、2つの条件を組み合わせる問題に有効です。2種類の上着と3種類のズボンなら、縦に上着、横にズボンを書けば、6つの組み合わせを一覧にできます。

図をきれいに描くことより、「どこまで数えたか」が見えることを重視してください。

足し算・掛け算へ置き換える

書き出しや図から規則が見えたら、計算へ置き換えます。

3種類の上着それぞれに2種類のズボンを合わせられるなら、3×2＝6通りです。「上着を一つ決めるたびに、ズボンが2通りある」と説明できれば、掛け算の意味を理解しています。

一方、条件によって選べる数が変わる場合は、単純に掛けられません。

0・1・2・3から2桁の整数を作る問題では、十の位に0を置けないため、最初の選択肢が4通りではありません。式を書く前に、各段階で何通り選べるかを確認しましょう。

条件付き問題は最後に学ぶ

基本が定着した後に、「偶数を作る」「隣り合わない」「少なくとも一つ含む」などの条件付き問題へ進みます。

偶数を作るなら一の位を固定する、特定の人を端に置くならその位置を先に決めるなど、強い条件から考えます。

ただし、先取り段階では複数の条件が重なる難問まで扱う必要はありません。条件が一つの問題を正確に整理できれば十分です。

難問を解けた回数より、基本問題を翌日にも説明できることを優先しましょう。

家庭で先取り学習を成功させる方法

先取りは、子どもの負担が大きくならない範囲で行うことが重要です。短い時間で理解度を確かめながら進めましょう。

1回10分・週3回から始める

場合の数の先取りは、1回10分、週3回程度から始めます。基本問題1～2題で十分です。

一度に多く解くと、後半は書き出しが雑になり、先取りそのものを嫌がる原因になります。

2～3回は同じ型を続けましょう。最初の週はカードの並べ方、次の週は簡単な選び方というように、内容を絞ると整理方法が定着しやすくなります。

正解率8割を次へ進む目安にする

先取りでは、教材を何ページ進めたかではなく、理解した内容を再現できるかで進度を判断します。

同じ型の基本問題を5題解き、4題程度を自力で正解できることを一つの目安にします。さらに、「何を固定したか」「なぜ掛け算を使ったか」を説明できれば、次へ進んでよいでしょう。

正解していても説明できない場合は、同じ段階の問題をもう数題続けます。速く進むことより、戻らずに済む土台を作る方が効率的です。

翌日と1週間後に理解を確かめる

学習した直後に解けても、方法を理解したとは限りません。答えの並びや樹形図の形を覚えている可能性があります。

当日は解き方を確認し、翌日は同じ問題を何も見ずに解きます。1週間後には、数字や色を変えた類題へ取り組みます。

類題でも同じ基準を使えれば、考え方が定着しています。解けなければ、先へ進まず、書き出しや具体物の段階へ戻りましょう。

親は式ではなく考える順番を尋ねる

子どもの手が止まっても、「ここは3×2」と式を先に教えないようにします。

「何が決まったら1通り？」「最初に何を固定する？」「入れ替えたら別になる？」と質問してください。考える入口を思い出せれば、その先は本人に任せます。

正解したときも、「早くできたね」ではなく、「最初の数字を順番に固定したから漏れなかったね」と、よかった手順を伝えましょう。

先取りを止めるサインを見逃さない

同じ型を続けても正答率が5割を下回る、書き出しを極端に嫌がる、答えを暗記して済ませようとする場合は、進度が合っていないサインです。

一度先取りを止めても、学力が下がるわけではありません。具体物を使う、選択肢を3個から2個へ減らすなど、問題を簡単にします。

先取りによって「算数は分からない」という感覚を強めてしまっては逆効果です。少し考えれば自分で整理できる難易度を保ちましょう。

まとめ｜場合の数の先取りは書き出しを土台にする

中学受験算数の「場合の数」は、内容を選べば早めに先取りできます。ただし、学年や教材の進度ではなく、決めた順番で書き出せるかを開始の基準にしてください。

学習は、具体物を動かす、すべての場合を書き出す、樹形図や表で整理する、規則を計算へ置き換えるという順番で進めます。条件付き問題は、基本を説明できるようになってからで十分です。

家庭学習は1回10分、週3回程度から始めましょう。同じ型で正解率8割を目安にし、翌日と1週間後にも解けるか確認します。

親は答えや式を教えるより、「何を固定する？」「順番を変えたら別？」「まだ数えていないものはない？」と問いかけてください。

先取りの成功は、難しい問題を早く終えることではありません。塾で本格的に学んだときに、「この考え方は知っている」と落ち着いて授業へ入れることです。書き出す力を丁寧に育てれば、無理のない先取りが将来の入試力につながります。