中学受験「場合の数」が伸びる演習の進め方

中学受験算数で場合の数の演習が必要な理由

この記事では、中学受験算数の「場合の数」を定着させるために、どの問題をどの順番で、どれくらい演習すればよいのかを具体的に解説します。

場合の数は、授業を聞いて理解しただけでは得点が安定しにくい単元です。解説と同じ問題なら解けても、数字や条件が少し変わると、何から書けばよいか分からなくなることがあります。

だからといって、問題数をむやみに増やせばよいわけではありません。思いつく順に数える癖が残ったまま大量演習をすると、数え漏れや重複を繰り返してしまいます。

大切なのは、基本・標準・応用の順に問題を選び、同じ数え方を白紙から再現することです。演習の目的を明確にすれば、少ない問題数でも得点につながる力を育てられます。

理解しただけでは数え方を再現できない

場合の数の解説には、整った樹形図や短い計算式が示されています。それを見ると、子どもは「分かった」と感じやすいものです。

しかし、解説を理解できることと、白紙から同じ考え方を作れることは異なります。

例えば、1・2・3・4から異なる2枚を使って2けたの整数を作る問題では、十の位を1に固定すると、12、13、14の3通りです。続いて十の位を2、3、4と変えれば、全部で12通りになります。

解説を見れば簡単ですが、自力では12、31、24などと思いつく順に書いてしまう子もいます。

演習で確認したいのは答えではなく、「最初に十の位を固定する」という手順を自分で選べるかどうかです。

題材が変わると別の問題に見えやすい

場合の数には、数字カード、人の並べ方、洋服の組み合わせ、さいころ、道順など、さまざまな題材があります。

子どもには、それぞれが別の問題に見えるかもしれません。しかし、基本的な考え方は共通しています。

数字カードなら最も上の位、洋服なら上着、人の並べ方なら最初の場所を固定し、残りを順番に変えます。

演習では、同じ題材だけを繰り返す期間と、異なる題材で共通点を見つける期間の両方が必要です。

最初は似た問題を続けて解き、手順が安定した後に題材の違う類題へ進むと、「一つを固定する」という考え方を応用しやすくなります。

演習で身につけるのは計算力より整理力

場合の数で使う計算は、足し算やかけ算が中心です。それでも不正解になるのは、計算前の整理に原因があることが多いためです。

例えば、4人から班長と副班長を選ぶ場合は、班長が4通り、その一人ひとりについて副班長が3通りあるので、4×3＝12通りです。

一方、4人から清掃係を2人選ぶだけなら、A・BとB・Aは同じ組み合わせです。12通りとすると、同じ2人を2回ずつ数えています。

演習で鍛えるべきなのは、速くかけ算をする力ではありません。順番を区別するかを判断し、漏れや重複のない形に整理する力です。

場合の数の演習を進める3つの段階

基本演習では規則的に書き出す

最初の段階では、選択肢の少ない問題をすべて書き出します。

1・2・3から異なる2枚を並べるなら、12、13、21、23、31、32の6通りです。

このとき、思いつく順ではなく、最初の数字を1、2、3の順に固定します。残りの数字も小さい順に書きます。

基本演習の目的は、計算で早く答えを出すことではありません。「一つを固定し、残りを一定の順番で変える」という型を身につけることです。

目安として、同じ難度の問題を5問解き、4問以上を漏れなく重複なく書き出せるようになってから、計算中心の問題へ進みましょう。

標準演習では条件が一つある問題を解く

基本の書き出しが安定したら、一つの条件が加わる標準問題へ進みます。

代表的なのは、偶数を作る、300より大きい整数を作る、Aさんを端に置く、必ずBさんを含むといった問題です。

条件がある問題では、その条件に強く関係する部分を先に固定します。

偶数なら一の位、300より大きい3けたの整数なら百の位から考えます。Aさんを端に置くなら、Aさんの位置を決めてから残りを並べます。

標準演習では、式を立てる前に「何を先に決めたか」を一言書かせると、考え方が見えやすくなります。

応用演習では重ならない場合分けを行う

標準問題を自力で解けるようになったら、複数の条件を含む応用問題へ進みます。

例えば、「0・1・2・3・4から異なる3枚を使って、300より大きい偶数を作る」といった問題です。

この場合、一の位が0、2、4の場合に分ける方法や、百の位が3、4の場合に分ける方法があります。

大切なのは、分けたグループ同士が重ならず、すべての場合を含んでいることです。

ノートには「一の位が0の場合」「一の位が2の場合」のような見出しを書き、それぞれを別々に数えます。

応用演習では正解だけでなく、場合分けの基準が安全か、もっと短い方法がないかも確認しましょう。

場合の数で優先したい演習問題

整数作りで固定する考え方を練習する

数字カードから整数を作る問題は、何を固定するかを学ぶのに適しています。

最初は0を含まない2けたの整数、次に3けたの整数、0を含む問題へ進みます。

例えば、0・1・2・3から異なる3枚を使って3けたの整数を作る場合、百の位には0を置けません。百の位は3通り、十の位は残り3通り、一の位は残り2通りなので、3×3×2＝18通りです。

その後、偶数、3の倍数、一定の数より大きい整数などの条件を加えます。

同じ整数作りでも、条件によって最初に固定する位が変わることを演習で体験させましょう。

並べ方と選び方を比較して解く

並べ方と選び方の違いは、2種類の問題を続けて解くと理解しやすくなります。

A、B、Cの3人を一列に並べる場合、ABCとBACは別の並びです。順番が変われば別々に数えます。

一方、3人から2人を選ぶ場合、A・BとB・Aは同じ組み合わせです。

演習では、「3人から班長と副班長を選ぶ問題」と「3人から清掃係を2人選ぶ問題」を並べて解かせるとよいでしょう。

子どもには、「入れ替えたときに違う結果になるか」を毎回確認させます。計算式ではなく、何を同じと考えるかを判断できることが重要です。

樹形図と表を使う問題に取り組む

選択が順番に続く問題では樹形図、2方向の条件を組み合わせる問題では表が役立ちます。

上着が2種類、ズボンが3種類なら、上着からそれぞれ3本の枝を伸ばす樹形図で6通りを確認できます。

2個のさいころの目の和を調べる場合は、縦と横に1から6を書いた表を作ります。和が7になる組み合わせなどを漏れなく探せます。

演習では、樹形図や表を描いただけで終わらせません。すべての枝が同じ順番になっているか、表に空欄がないかを確認します。

最後に、整理した内容をかけ算やたし算で表せるかも考えましょう。

道順や図形との複合問題へ進む

基本・標準演習が安定したら、道順や図形と組み合わせた問題へ進みます。

格子状の道順では、各交差点までの行き方を書き込みます。右と上にだけ進める場合、ある交差点までの行き方は、左側と下側に書かれた数の合計です。

図形では、頂点を選んで三角形を作る問題や、図の中にある形を数える問題があります。

見た目は異なりますが、「何を選べば一つの場合が決まるか」を考える点は同じです。

複合問題は、基本問題を5問中4問以上、自力で解ける状態になってから取り入れましょう。

家庭で効果を高める場合の数の演習法

1回15～20分で同じ型を3問解く

家庭での演習は、1回15～20分程度、同じ型を3問に絞るのがおすすめです。

1日目は2けたの整数、2日目は3けたの整数、3日目は偶数を作る問題というように、近い形式を続けます。

毎回違う問題へ移るより、「最初にどの位を固定するか」という共通点を見つけやすくなります。

3問すべてを速く終える必要はありません。1問ごとに書き出しや樹形図を確認し、同じ手順を再現できることを優先してください。

正解数より数え方の根拠を確認する

場合の数では、思いつくまま書いて偶然正解することがあります。

そのため、丸つけでは答えだけでなく、次の3点を確認します。

「何を最初に固定した？」
「順番を入れ替えたら同じ？」
「この式の数字は何を表している？」

例えば4×3という式なら、最初の選択が4通り、それぞれについて次の選択が3通りあると説明できる必要があります。

説明できない場合は、正解していても数字を変えた類題をもう1問解きましょう。

間違いを漏れ・重複・条件に分ける

演習で間違えた問題は、原因を分類して記録します。

正解より答えが少なければ「漏れ」、多ければ「重複」を疑います。「異なる数字」「0は先頭に置けない」といった条件を使っていなければ「条件」です。

何から始めればよいか分からなかった場合は、「方法」と書いても構いません。

1週間分の記録を見返し、「漏れ」が多ければ規則的な書き出し、「重複」が多ければ順番を区別するかの判断を練習します。

すべてを同じ間違いとして扱わないことが、演習の効果を高めます。

翌日・3日後・1週間後に再演習する

間違えた問題は、その場で解き直すだけでは定着しません。

当日は解説を読み、正しい整理方法を確認します。翌日は同じ問題を白紙から解き、3日後は数字を変えた類題、1週間後は題材の異なる同じ型の問題に取り組みます。

例えば整数作りを復習した後、洋服の組み合わせで同じ積の考え方を使えるか確認します。

3回連続で自力正解し、考え方も説明できた問題は、いったん演習対象から外して構いません。

できない問題だけを残せば、学習量を増やさずに弱点へ集中できます。

まとめ

中学受験算数「場合の数」の演習では、問題数を増やすことより、正しい数え方を繰り返し再現することが重要です。

最初は選択肢の少ない基本問題を規則的に書き出します。次に、偶数や固定位置など条件が一つ加わる標準問題へ進み、最後に複数条件を重ならない形で場合分けする応用問題に取り組みます。

優先したい演習は、整数作り、並べ方と選び方、樹形図と表、道順や図形との複合問題です。基本から段階を飛ばさずに進めてください。

家庭学習は1回15～20分、同じ型を3問程度で十分です。正解数だけでなく、何を固定し、順番を区別したかを説明させましょう。

間違いは漏れ・重複・条件・方法に分類し、翌日、3日後、1週間後に白紙から再演習します。

場合の数は、大量の問題を解くだけでは得意になりません。目的のある演習を短時間で繰り返し、整理方法を自分で選べるようにすることが、安定した得点につながります。