中学受験「場合の数」が定着する復習法

中学受験算数で場合の数の復習が必要な理由

この記事では、中学受験算数の「場合の数」を定着させるために、何をどのタイミングで復習すればよいのかを具体的に解説します。

場合の数は、解説を読んだ直後には解けても、数日後のテストで再び間違えやすい単元です。数字や登場人物が変わるだけで、まったく別の問題に見えることもあります。

そのため、同じ問題をその場でもう一度解くだけでは、十分な復習になりません。

大切なのは、間違いの原因を見つけ、時間を空けて白紙から解き直すことです。さらに、数字や条件を変えた類題でも同じ考え方を使えるか確認すれば、「答えを覚えた状態」と「解き方を理解した状態」を区別できます。

解説を読んだ直後の正解は定着とは限らない

場合の数の問題を間違えた後、解説を読んですぐ解き直すと、多くの子は正解できます。

しかし、その時点では解き方を理解したというより、解説の手順を一時的に覚えている可能性があります。

例えば、1・2・3・4から異なる2枚を使い、2けたの整数を作る問題です。解説で十の位を固定する方法を見た直後なら、12、13、14と規則的に書けます。

ところが、数日後に0を含む3けたの整数問題へ変わると、どの位から考えるか分からなくなることがあります。

復習で確認したいのは、同じ答えを再現できるかではありません。「一つを固定して残りを変える」という考え方を、別の問題でも使えるかどうかです。

条件が変わると整理方法を選べなくなる

場合の数では、書き出し、樹形図、表、計算など、複数の整理方法を使います。

授業では先生が使う方法を示してくれますが、テストでは子ども自身が選ばなければなりません。

上着とズボンの組み合わせなら樹形図、2個のさいころなら表、少ない数字の並べ方なら書き出しが使いやすいでしょう。

復習で答えと式だけを覚えていると、題材が変わったときに整理方法を選べません。

解き直す際には、「なぜ樹形図を使ったのか」「表にすると何が見やすいのか」まで説明させる必要があります。方法を選んだ理由が分かれば、初めて見る問題にも対応しやすくなります。

数え漏れと重複は同じ復習では直らない

場合の数の代表的な間違いは、数え漏れと重複です。

数え漏れは、本来数えるべき場合を一部書き忘れることです。重複は、同じ場合を二度以上数えることをいいます。

数え漏れが多い子には、一つを固定し、数字の小さい順など一定の規則で書く練習が必要です。

一方、重複が多い子には、順番を入れ替えたときに同じ結果になるかを確認させます。4人から2人を選ぶ問題では、A・BとB・Aは同じ組み合わせです。

どちらも「場合の数のミス」ですが、直す方法は異なります。復習前に原因を分けることで、必要な練習へ絞れます。

場合の数を復習するときの基本手順

最初に間違いの原因を分類する

復習を始める前に、なぜ間違えたのかを確認します。

主な原因は、「漏れ」「重複」「条件」「方法」「計算」の5つです。

正解より答えが少なければ漏れ、多ければ重複を疑います。「異なる数字を使う」「0は先頭に置けない」といった条件を使っていなければ、条件の見落としです。

何から書けばよいか分からなかった場合は方法、最後の足し算やかけ算だけを間違えた場合は計算に分類します。

解き直しノートには、長い反省文を書く必要はありません。問題番号の横に「漏れ」「条件」などと一言書くだけで十分です。

原因が分かれば、次の復習で注意する点が明確になります。

解説を閉じて白紙から解き直す

解説を見ながら同じ樹形図や式を書き写しても、自力で解けるようになったとはいえません。

解説を読んだ後は一度閉じ、何も書かれていない紙に最初から解き直します。

このとき、答えよりも最初の一手を確認してください。

「何を1通りとして数えるのか」
「順番を区別するのか」
「最初に何を固定するのか」

この3点を自分で決められれば、その後の書き出しも安定しやすくなります。

途中で止まった場合は、すぐに完成した解答を見せず、解説の最初の一段階だけ確認します。その後、再び閉じて続きを考えさせましょう。

数え方を言葉で説明する

正解した後は、数え方を短く説明させます。

例えば、0・1・2・3から異なる3枚を使って3けたの整数を作る問題なら、次のように説明できます。

「百の位には0を置けないので3通り。十の位は残り3通り、一の位は残り2通りだから、3×3×2で18通り」

式の数字が何を表しているか説明できれば、考え方を理解していると判断できます。

保護者は「どうして？」と漠然と聞くより、「3は何の数？」「最初にどの位を決めた？」と質問を分けるとよいでしょう。

説明できない場合は、答えが合っていても類題をもう1問解く必要があります。

数字を変えた類題で理解を確かめる

同じ問題を何度も解くと、答えや書き出しの形を覚えてしまいます。

そこで、復習の仕上げには数字や条件を少し変えた類題を使います。

1・2・3・4から2けたの整数を作る問題を復習したなら、0・1・2・3から3けたの整数を作る問題へ変えます。

4人を並べる問題を解いたなら、5人のうちAを端に置く問題へ進めます。

題材が変わっても、一つを固定する、順番を区別する、条件の強い場所から決めるという考え方は共通です。

類題で自力再現できて初めて、復習した内容が使える知識になったと判断できます。

場合の数で優先して復習したい問題

整数作りで一つを固定する練習

場合の数の復習では、数字カードから整数を作る問題を優先すると、固定する考え方を練習できます。

まずは異なる数字から2けたの整数を作り、十の位を順番に固定します。

次に3けた、0を含む問題、偶数や一定の数より大きい整数へ進みます。

偶数を作るなら一の位、300より大きいなら百の位というように、条件の強い位から考えます。

この問題群を通じて、「何となく書く」のではなく、「最初に決める場所を選ぶ」という習慣をつけられます。

並べ方と選び方を見分ける練習

並べ方と選び方の違いは、復習で繰り返し確認したいポイントです。

A、B、Cを一列に並べる場合、ABCとBACは別の並びです。

一方、3人から2人を選ぶだけなら、A・BとB・Aは同じ組み合わせになります。

家庭では、並べる問題と選ぶ問題を1問ずつ続けて解かせると、違いが見えやすくなります。

「入れ替えたら結果は変わる？」と毎回確認させましょう。役割があれば別々、単に選ぶだけなら同じと判断できれば、重複による失点を減らせます。

樹形図と表を使い分ける練習

選択が順番に続く問題には樹形図、縦と横の2つの条件を組み合わせる問題には表が向いています。

上着2種類とズボン3種類なら、樹形図で6通りを確認できます。2個のさいころの目の和なら、縦横に1から6を書いた表で整理できます。

復習では、完成した図を写すのではなく、なぜその方法を選ぶのかを説明させてください。

また、樹形図の枝がすべて同じ順番になっているか、表に空欄がないかも確認します。

整理方法を正しく選べるようになると、数え漏れだけでなく、見直しにかかる時間も減らせます。

条件が一つ加わる標準問題

基本問題が安定したら、条件が一つ加わる問題を復習します。

代表的なのは、偶数を作る、Aを端に置く、必ずBを含む、特定の道を通らないといった問題です。

条件が一つなら、その条件に関わる場所や人を最初に固定できます。

偶数なら一の位、Aを端に置くならAの位置を先に決め、その後で残りを数えます。

複数条件の難問へ急ぐより、条件が一つの標準問題を5問中4問以上、自力で解ける状態にすることが大切です。

家庭で続けやすい場合の数の復習計画

当日は解説を理解して手順を確認する

問題を間違えた当日は、解説を読み、どこから自分の考え方と違ったのかを確認します。

すべてを書き写す必要はありません。「十の位を固定する」「順番を区別しない」など、解決に必要だった一手を短く記録します。

その後、解説を閉じて一度だけ白紙から解き直します。

当日の目的は完全な定着ではなく、正しい手順を理解することです。同じ問題を何度も続けて解くより、時間を空けた復習へつなげましょう。

翌日・3日後・1週間後に再演習する

場合の数を定着させるには、間隔を空けて思い出す機会を作ります。

翌日は、正しい手順を再現できるかを確認します。3日後は、解法を自分で選べるかを見ます。1週間後は、数字や条件を変えた類題へ取り組みます。

毎回、前のノートや解説を見ずに白紙から始めてください。

一度で完璧に覚えることを求めるより、忘れかけたときに思い出す練習を重ねる方が、テストで使える状態になりやすくなります。

1回15分で2～3問に絞る

場合の数の復習は、長時間まとめて行う必要はありません。

1回15分程度で、前回間違えた問題を1問、同じ型の類題を1～2問解けば十分です。

一日に異なる型を大量に扱うと、整理方法が混ざりやすくなります。整数作りの日、並べ方の日、樹形図の日というように、復習する型を絞りましょう。

短時間でも、白紙から自力で解くことを優先します。解説を眺めるだけの30分より、自分で2問を再現する15分の方が理解を確認できます。

3回連続で解けた問題は卒業させる

すべての間違いをいつまでも復習すると、対象が増え続けて負担になります。

翌日、3日後、1週間後の3回で連続して自力正解できた問題は、いったん復習対象から外しましょう。

ただし、答えだけでなく、数え方を説明できることも条件です。

再び模試や過去問で同じ型を間違えた場合は、復習対象へ戻します。

できない問題だけを残す仕組みにすると、子どもも成長を実感しやすくなります。「卒業」の印をつける方法も、復習への抵抗感を減らすのに役立ちます。

まとめ

中学受験算数「場合の数」の復習では、同じ問題をその場で繰り返すだけでは十分ではありません。

最初に、間違いを漏れ・重複・条件・方法・計算に分類します。その後、解説を閉じ、何を数えるのか、順番を区別するのか、何を固定するのかを白紙から考え直しましょう。

正解した後は、式の数字が何を表すのかを説明させます。さらに、数字や条件を変えた類題でも同じ方法を使えるか確認してください。

復習で優先したいのは、整数作り、並べ方と選び方、樹形図と表、条件が一つ加わる標準問題です。

当日に手順を理解し、翌日、3日後、1週間後に再演習します。1回15分、2～3問に絞れば、塾の宿題と並行しても続けやすいでしょう。

3回連続で自力正解し、考え方も説明できた問題は復習から卒業させます。

場合の数は、答えを覚える復習では定着しません。間違いの原因に合った方法で、時間を空けながら解き方を思い出すことが、数え漏れや重複を減らし、安定した得点につなげる近道です。