開成中学算数「円の面積」の解き方と入試対策

開成中学入試の円の面積問題は何が難しいのか

この記事では、開成中学入試の算数で円の面積を問われたときに、どこを見て、どのような順番で考えればよいのかを家庭学習の進め方とともに解説します。

開成中学の円の面積問題では、単に「半径×半径×3.14」を計算するだけではありません。

円の中心や半径が直接示されず、正方形、三角形、おうぎ形などとの関係から必要な長さや面積を見つける問題が中心です。

そのため、公式を知っている子でも、図を読み解く段階で手が止まることがあります。

公式をそのまま使う問題ではない

一般的な基本問題では、半径が5cmなら、

5×5×3.14＝78.5

と計算すれば円の面積を求められます。

ところが開成中学の問題では、半径がそのまま書かれているとは限りません。斜線部分だけを求めたり、複数の円を組み合わせたり、正方形や三角形の一部として円が描かれたりします。

たとえば2008年度の開成中学校では、面積が27平方センチメートル、9平方センチメートル、3平方センチメートル、1平方センチメートルである4個の円を使った問題が出題されています。半径を一つずつ求めるだけでなく、円の面積の比と半径の関係を利用して考える問題です。

このように、円の公式は「答えを出す道具」であり、最初に使う道具とは限りません。

半径や中心が隠されている

円の面積を求めるには半径が必要です。しかし、入試問題では中心が示されていなかったり、半径となる線が引かれていなかったりします。

子どもが図を見たまま考えていると、「長さが書いていないから解けない」と感じます。

そこで最初に確認するのが、次の三つです。

「円の中心はどこか」「中心から円周へ引ける線はどれか」「同じ円の半径になっている線はないか」です。

円の中心から円周までの長さは、向きが違ってもすべて等しくなります。図の中に隠れている半径を書き足すだけで、二等辺三角形や正三角形が現れることもあります。

開成・筑駒・灘の円とおうぎ形を扱う解説でも、円の中心が分かりにくい問題では、円どうしの交点を結ぶ補助線が重要だと説明されています。

円以外の図形との関係を見抜く必要がある

円の面積問題であっても、実際に使う知識は円だけではありません。

よく組み合わされるのは、次のような図形です。

• 正方形
• 長方形
• 正三角形
• 二等辺三角形
• 30度・60度・90度の三角形
• おうぎ形
• 正多角形

2015年度の開成算数では、同じ大きさの正方形を直線や円で区切り、それぞれの部分の面積関係を考える問題が出題されました。円周で囲まれた部分を個別に計算するのではなく、形を組み合わせておうぎ形として捉えることが着眼点になります。

円の問題を解いているのに三角形を見る、という視点の切り替えが必要なのです。

開成中学の算数で使う円の面積の基本

難しい問題へ進む前に、円とおうぎ形の基本を確実にしておきましょう。

公式を暗唱できるだけでなく、「なぜその計算になるのか」を説明できる状態が理想です。

円とおうぎ形の公式を意味から理解する

円の面積は、次の式で求めます。

半径×半径×3.14

半径をrとすると、r×r×3.14です。

おうぎ形の面積は、

円の面積×中心角÷360

となります。

たとえば半径6cm、中心角60度のおうぎ形なら、

6×6×3.14×60÷360
＝36×3.14×6分の1
＝18.84平方センチメートル

です。

ここで大切なのは、60度のおうぎ形が円全体の6分の1だと理解することです。

子どもが公式の数字を取り違える場合は、「360度のうち何度分なのか」と言葉で確認させてください。

半径の二乗が分かれば面積を求められる

円の面積を求めるために、半径そのものを必ず求めなければならないわけではありません。

必要なのは「半径×半径」です。

たとえば、ある図形の関係から半径をrとして、

r×r＝18

と分かったなら、半径を小数や平方根で表さなくても、

円の面積＝18×3.14

と計算できます。

中学受験では平方根を正式には使いません。そのため、半径を無理に求めようとせず、面積に必要な「半径×半径」を三角形の面積などから直接出す考え方が有効です。

開成レベルの図形問題では、このように求めたい長さではなく、最終計算に必要な積に注目する場面があります。

全体から引く方法と移動する方法を使い分ける

斜線部分の面積を求める方法は、大きく三つあります。

一つ目は、部分を足す方法です。

二つ目は、大きな図形の面積から不要部分を引く方法です。

三つ目は、同じ形の部分を移動したり交換したりする方法です。

複雑な曲線部分を一つずつ計算しようとすると、式が長くなります。そこで、「正方形全体－四隅のおうぎ形」のように全体から引く方法を検討します。

また、左右にある同じ形を動かすと、一つの半円や長方形になる場合もあります。

保護者が教えるときは、「この部分の面積はいくつ？」とすぐ聞くより、「同じ形はどこにある？」「合わせると何になる？」と問いかけるほうが、図形を見る力を育てられます。

開成の円の面積問題を解く5つの手順

円の問題で手が止まる子には、考える順番を固定する方法が効果的です。

次の5段階で図を確認させましょう。

円の中心と半径を図に書き込む

最初に円の中心を探し、中心から円周へ線を引きます。

すでに描かれている線の中にも、半径に当たるものがないか確認してください。

同じ円の半径には、同じ印を付けます。たとえば半径が4本見つかったら、それぞれに同じ記号を書きます。

この作業だけで、二等辺三角形が見える場合があります。

図形が苦手な子ほど、図を眺めるだけになりがちです。線や印を書き加え、目に見える情報を増やすことが重要です。

等しい長さと角度を探す

次に、半径以外の等しい長さを探します。

正方形なら4辺が等しく、角はすべて90度です。正三角形なら3辺が等しく、角は60度です。

円が正方形の辺や別の円に接している場合、中心と接点を結ぶ線は重要な手がかりになります。

等しい長さが見つかったら、二等辺三角形の底角が等しくなることも確認します。

「長さを求める問題」と考えるより、「同じものを見つける問題」と考えると、最初の一歩を踏み出しやすくなります。

補助線で知っている図形を作る

補助線は、思いつきで何本も引くものではありません。

目的は、知っている図形を作ることです。

代表的な補助線は次のとおりです。

• 円の中心と接点を結ぶ
• 二つの円の中心を結ぶ
• 円どうしの交点を結ぶ
• 正方形の対角線を引く
• 頂点から垂線を下ろす
• おうぎ形の中心と弧の端を結ぶ

補助線を引いた後に、正三角形、二等辺三角形、長方形などができているかを確認します。

何も新しい性質が見つからない線は、解答につながらない可能性があります。

同じ部分を移動・交換して考える

曲線で囲まれた部分は、そのままでは面積を求めにくいことがあります。

そこで、同じ形の部分を別の場所へ移動できないかを考えます。

たとえば、正方形の中に円弧が複数描かれている問題では、離れた場所にある二つの部分を合わせると、中心角60度のおうぎ形になることがあります。2015年度の開成の図形問題を扱った解説でも、離れた部分を組み合わせて一つのおうぎ形として捉える方法が紹介されています。

切って移動するイメージが難しい子には、同じ図を2枚用意し、色鉛筆で対応する部分を塗らせると理解しやすくなります。

最後に3.14を掛ける

円の問題を見ると、すぐに3.14を使いたくなります。

しかし、途中から3.14を含む小数計算を始めると、式が複雑になり、計算ミスが増えます。

できる限り、

半径×半径に当たる数
おうぎ形が円全体の何分の一か
円何個分に相当するか

を先に整理します。

最後にまとめて3.14を掛ければ、計算量を減らせます。

たとえば円の面積3個分から円の面積1個分を引くなら、

27×3.14－9×3.14

と別々に計算せず、

（27－9）×3.14
＝18×3.14

とまとめます。

家庭でできる円の面積の入試対策

開成の過去問は、円の公式を覚えた直後に解く教材ではありません。

基本から段階を踏み、図形を読み替える経験を積んでから取り組みます。

基本問題から開成の過去問へ段階的に進む

学習は次の順番がおすすめです。

まず、円とおうぎ形の面積を直接求める問題です。

次に、正方形や長方形からおうぎ形を引く問題へ進みます。

その後、半円や4分の1円を移動して考える問題、円どうしが重なる問題に取り組みます。

最後に開成の過去問を解きます。

目安として、小学5年生までは基本から標準問題を中心にし、小学6年生で複合図形と過去問へ進むと無理がありません。

難問を早く解くことより、図を見たときに中心、半径、角度を書き込める習慣を優先してください。

解説を写さず着眼点を説明させる

過去問の解説をノートに写しても、同じ問題を解けるようになるとは限りません。

重要なのは、最初の着眼点を自分の言葉で説明できることです。

復習後に、次のように質問します。

「最初にどこを見たの？」
「なぜその補助線を引いたの？」
「どの形とどの形が同じなの？」
「全体から何を引いたの？」

子どもが説明に詰まったところが、理解の浅い部分です。

保護者が美しい解説をするより、子どもの不完全な説明を聞き、足りない言葉を一つずつ補うほうが定着します。

間違いを公式・図・方針に分類する

円の面積問題で不正解だったときは、「図形が苦手」で終わらせず、原因を分けます。

公式を忘れた、中心角の割合を間違えた場合は「公式の問題」です。

中心や半径を見つけられなかった場合は「図の読み取りの問題」です。

全体から引くか、移動するかを選べなかった場合は「方針の問題」です。

計算だけを間違えた場合は「実行の問題」です。

原因ごとに復習方法を変えます。

公式の問題なら基本問題へ戻り、図の問題なら中心と半径を書き込む練習をします。方針の問題なら、同じ図を使って別解を比べます。

解き直しは、解説を読んだ当日だけでなく、翌日と1週間後にも行いましょう。翌日は答えまで出さなくても、「最初に引く補助線」を再現できれば効果があります。

まとめ｜開成の円の面積は図を読み替える力が重要

開成中学入試の円の面積問題は、公式に数字を入れるだけでは解けません。

中心や半径を探し、等しい長さと角度を書き込み、補助線によって正方形や三角形、おうぎ形との関係を見つける必要があります。

解く順番は、「中心と半径を確認する」「等しい部分を探す」「知っている図形を作る」「移動または全体からの引き算を考える」「最後に3.14を掛ける」です。

2008年度には面積の異なる複数の円を使う問題、2015年度には正方形と円で分けられた部分の面積関係を考える問題が出題されました。どちらも、円の公式を知っているだけでなく、面積どうしの関係や図形の組み合わせを捉える力が求められます。

家庭学習では、難しい解法を親が先に説明しすぎないことが大切です。

「中心はどこ？」「同じ長さはどれ？」「合わせると何の形になる？」と問いかけ、子ども自身に図へ書き込ませましょう。

円の面積が苦手な子に必要なのは、難問を大量に解くことではありません。基本図形へ読み替える手順を繰り返し、初めて見る図でも自分から線を引けるようにすることです。

その積み重ねが、開成中学の複雑な平面図形に対応する力につながります。