開成中学校1996年算数を解説｜相似の見抜き方

開成中学校1996年算数で注目したい問題

この記事では、開成中学校1996年算数の中でも広く知られる折り返し図形を取り上げ、相似の見つけ方から家庭での復習方法まで順を追って解説します。

開成中学校の1996年算数について調べると、長方形の紙を折り返してできる図形問題がよく紹介されています。

この問題は、単純に面積公式へ数字を当てはめるだけでは解けません。折り返しによって等しくなる辺を見つけ、図の中から相似な直角三角形を探し、辺の比をつないでいく必要があります。

現在の中学受験でも役立つ要素が詰まった、復習価値の高い問題です。

長方形を折り返した平面図形の問題

問題の題材は、長方形をある線で折り返してできた図形です。

図の中には複数の点や線があり、一見するとどの三角形に注目すればよいのか分かりにくくなっています。

しかし、整理すると使う考え方は特別なものではありません。

折り返しによって同じ長さになる辺、長方形の平行な辺から生まれる等しい角、直角三角形の相似、台形の面積という基本事項を順番に使います。

難しく見える理由は、公式が難しいからではなく、知っている基本事項が複雑な図の中に隠れているからです。

当時の難問が現在の標準問題になった理由

この1996年の問題は、当時は相似な直角三角形の見つけ方に工夫が必要な難問として受け止められたとされています。

一方、近年は同じような着眼点を使う問題が、難関校の小問として出題される例もあります。PRESIDENT Onlineでは、1996年の開成の問題と、2023年の洗足学園で出題された類似問題を比較し、かつての難問が現在では標準的な学習内容になっていると紹介しています。

これは1996年の問題が古くなって価値を失ったという意味ではありません。

むしろ、現在の難関校受験で必要な「相似を見つけて長さや面積比を求める力」の原型として、基本を確認するのに適しています。

答えより相似を見つける過程が重要

この問題で最も大切なのは、最終的な数値を覚えることではありません。

「なぜこの二つの三角形が相似なのか」「どの辺とどの辺が対応するのか」を説明できることが重要です。

図形が苦手な子は、解説の比例式だけを写して終わる傾向があります。しかし、対応関係を理解しないまま数字だけを入れると、図の向きが変わった類題には対応できません。

家庭では、式を書かせる前に、相似な三角形を指で示し、等しい角を一つずつ説明させましょう。

1996年算数の図形問題を順番に解説

ここからは、公開されている解説で示されている数値をもとに、考える順番を整理します。

元の問題図を手元に置き、点の位置を確認しながら読むと理解しやすくなります。

最初に折り返しで等しくなる長さを確認する

紙を折り返す問題では、最初に「折る前の点が、折った後にどこへ移ったか」を確認します。

折り目から対応する点までの距離は等しくなります。また、折り返された辺の長さそのものも変わりません。

図を見るときは、頭の中だけで処理せず、同じ長さになる辺に同じ印を付けます。

次に、長方形の向かい合う辺が平行であることから、錯角や同位角が等しくなる場所を探します。

折り返しによる等しい辺と、平行線による等しい角がそろうと、相似な直角三角形が見えてきます。

（1）は相似比からBEを求める

公開されている解説では、（1）のBEは次の式で求められています。

（21－3）×4÷9＝8cm

まず、全体の長さ21cmから3cmを引き、対応する部分の長さ18cmを求めます。

次に、図の中にある相似な直角三角形から、対応する辺の比が4対9になることを使います。

したがって、

18×4／9＝8

となり、BEは8cmです。

ここで注意したいのは、「4と9が書いてあるから掛けたり割ったりする」のではないことです。

小さい三角形のどの辺が4に対応し、大きい三角形のどの辺が9に対応するのかを確認する必要があります。

対応する辺を、

小さい三角形：大きい三角形

の順にそろえて書くと、比例式の逆転を防げます。

（2）は対応する辺をそろえてIKを求める

（2）では、まずICの長さを求めます。

公開解説では、

IC＝30－5－6＝19cm

と整理されています。

次に、相似な三角形の対応する辺の比を使い、

IK＝19×5／4＝95／4cm

と求めます。

95／4cmは、帯分数なら23と3／4cmです。

ここで子どもがつまずきやすいのは、比の4と5を反対に使うことです。

図形の向きが異なると、上にある辺同士、横にある辺同士が対応するとは限りません。直角の位置と、同じ印を付けた角を基準にして対応関係を決めます。

家庭では、三角形の頂点を対応する順番に読み上げる方法がおすすめです。

「直角の頂点と直角の頂点」「同じ角の頂点と同じ角の頂点」という順に確認すると、辺の対応も見つけやすくなります。

（3）は台形の面積比に置き換える

（3）では、いきなり二つの図形の面積を計算する必要はありません。

公開されている解説では、相似関係からKJを9／4、さらにFJを3cmと求めています。FJとDFがともに3cmになるため、CFは18cmと整理できます。

そのうえで、比較する二つの台形が同じ高さをもつことに注目します。

台形の面積は、

（上底＋下底）×高さ÷2

です。

二つの台形で高さが同じなら、面積比は「上底と下底の和」の比だけで求められます。

公開解説では、

台形EGJF：台形EBCF
＝（13＋3）：（8＋18）
＝16：26
＝8：13

となります。

ここがこの問題の大きなポイントです。

すべての面積を一つずつ計算するのではなく、共通する高さと「÷2」を消し、上底と下底の和だけを比べています。

複雑な図形問題ほど、共通するものを消して比だけで考えると、計算を短くできます。

開成の図形問題でつまずきやすいポイント

この問題を解き直すときは、正解できたかだけでなく、どこで迷ったかを確認してください。

つまずき方が分かれば、次に復習すべき内容も明確になります。

見た目の向きだけで相似を判断する

相似な三角形は、同じ向きに並んでいるとは限りません。

回転していたり、裏返したような位置にあったりするため、見た目だけで対応する辺を決めると間違えます。

まず、直角に印を付けます。次に、平行線や折り返しによって等しくなる角へ同じ印を付けます。

二組の角がそれぞれ等しければ、三角形は相似です。

辺の比を書くのは、その後です。

「辺を見てから角を探す」のではなく、「角をそろえてから辺を対応させる」という順番を守りましょう。

長さをすべて求めようとする

図形問題が苦手な子は、図に書かれた辺を端からすべて求めようとすることがあります。

しかし、（3）の面積比では、二つの台形の高さを求める必要はありません。高さが共通していると分かれば、面積比の計算から消せるためです。

求める前に、「この長さは本当に必要か」を考えさせてください。

比を問われている問題では、実際の長さや面積を求めず、比のまま進められる場合が多くあります。

開成算数では、計算量を増やすより、不要な計算を省く判断が重要です。

解説を読んで分かったつもりになる

解説に沿って式を追えば、多くの子が「分かった」と感じます。

しかし、翌日に白紙の図を見て相似な三角形を見つけられなければ、まだ自力で使える理解にはなっていません。

解説を読んだ後は、本やノートを閉じて、次の三点を説明させましょう。

どの三角形が相似か。

なぜ相似といえるか。

相似を使うと何が求められるか。

式を完全に再現できなくても、この三点を言えれば、考え方は定着し始めています。

1996年算数を家庭学習に生かす方法

1996年の過去問を解く目的は、古い年度の答えを覚えることではありません。

相似、比、台形の面積という基本を、複雑な図の中で使う練習として活用しましょう。

図に同じ印を付けながら解き直す

一回目の解き直しでは、図をきれいに写す必要はありません。

等しい辺には同じ本数の短い線、等しい角には同じ形の印を付けます。平行な辺には矢印を付けます。

色を使う場合も、三色程度に絞りましょう。色が多すぎると、何を表しているのか分からなくなります。

大切なのは、相似の根拠が図を見ただけで分かる状態にすることです。

式ではなく着眼点を説明させる

保護者が「どうやって解いたの？」と聞くと、子どもは計算式を読み上げがちです。

代わりに、「最初にどこを見た？」「どの二つの三角形を比べた？」「なぜ台形の高さを求めなくてよいの？」と質問します。

たとえば（3）なら、

「二つの台形は高さが同じなので、上底と下底の和だけを比べた」

と説明できれば十分です。

自分の言葉で着眼点を説明する学習は、図の形や数字が変わった問題への対応力につながります。

数字や図の向きを変えた類題に取り組む

同じ問題を何度も解くと、途中式を覚えて正解できるようになります。

そこで、相似比を4対9から3対5へ変えた問題や、図を左右反転させた類題にも取り組みます。

類題で確認したいのは計算速度ではありません。

図の向きが変わっても等しい角を探せるか、対応する辺の順番をそろえられるか、共通する高さを消して面積比を求められるかを見ます。

過去の開成の難問と似た着眼点が、現在では他校の標準的な問題にも見られると紹介されています。1996年の一問を深く理解することは、開成だけでなく難関校全体の図形対策にもつながります。

学年に合わせて到達目標を変える

小学4年生は、問題を完答する必要はありません。折り返すと長さや角が等しくなること、長方形の向かい合う辺が平行であることを確認できれば十分です。

小学5年生は、相似な三角形を見つけ、対応する辺の比から（1）を求めるところまでを目標にします。

小学6年生は、（1）から（3）まで解き、面積を実際に計算せず比で処理するところまで理解したい段階です。

過去問だからといって、全学年で同じ完成度を求める必要はありません。現在習っている内容に合わせて、一部分だけを教材として使う方法も効果的です。

まとめ｜開成中学校1996年算数は相似の基本を磨ける

開成中学校1996年算数で知られる折り返し図形は、相似、辺の比、台形の面積比を組み合わせた問題です。

（1）では相似比からBE＝8cm、（2）では対応する辺の比からIK＝95／4cmを求めます。（3）では必要な辺の長さを整理し、高さが共通する台形の面積比を、上底と下底の和の比に置き換えて8対13と求めます。

この問題で身につけたいのは、答えそのものではありません。

折り返しで等しくなる辺を見つけ、等しい角に印を付け、相似な三角形の対応を正しく判断する力です。

家庭学習では、解説を書き写すより、「なぜ相似なのか」「なぜ高さを求めなくてよいのか」を子どもに説明させましょう。

1996年当時に難問とされた着眼点は、現在の難関校受験では重要な基本技術の一つになっています。古い過去問を一問ずつ丁寧に学ぶことで、複雑な図から知っている形を見つける力を育てられます。