中学受験算数「場合の数」苦手克服｜解き方とコツ

中学受験算数「場合の数」が難しい3つの理由

この記事では、中学受験算数の「場合の数」が難しい理由から、樹形図・表を使った基本的な解き方、家庭で苦手を克服する方法まで順を追って解説します。

場合の数は、中学受験算数の中でも苦手意識を持ちやすい単元です。

「○通り×○通り」と計算すれば簡単に見える問題がある一方、条件が一つ加わるだけで急に分からなくなることがあります。

しかし、場合の数で最初から難しい公式を覚える必要はありません。

基本は「漏れなく、重ならないように整理して数える」ことです。

場合の数でつまずいたとき、「頭が固い」「センスがない」と考える必要はありません。

苦手になりやすい理由があります。

公式だけでは解ける問題が限られる

場合の数では、

3×2＝6通り

のような計算がよく登場します。

そのため子どもは、

「場合の数なら掛け算」

と覚えてしまうことがあります。

ところが、

「同じ数字を何度使ってもよい」
「同じ数字は使えない」
「0は一番左に置けない」

など条件が変わると、同じ掛け算では解けません。

大切なのは公式ではなく、

「最初に何通り選べる？」
「次は何通り？」

と一段ずつ考えることです。

場合の数では、式を覚えるより式が表している意味を理解する必要があります。

数え漏れと重複が起こりやすい

たとえば、1・2・3の数字から2つを選んで2桁の整数を作る問題を考えます。

同じ数字を使わないなら、

12、13、21、23、31、32

の6通りです。

ところが思いついた順に書くと、

12、21、13、31……

となり、「23を書いたかな？」と分からなくなることがあります。

場合の数では、思いついたものを数えるのではなく、一定のルールで並べることが重要です。

1から始まる数
2から始まる数
3から始まる数

と順番を決めれば、漏れにくくなります。

問題によって整理方法を変える必要がある

場合の数では、すべてを樹形図で解けばよいわけでも、すべてを掛け算で処理すればよいわけでもありません。

問題によって、

樹形図
表
書き出し
掛け算
逆に数える

などを使い分けます。

これが、算数が苦手な子にとって難しいところです。

最初から最短の解法を求めず、「まず書いて確認する」ことを許してあげると理解しやすくなります。

中学受験の「場合の数」で覚えたい基本の解き方

場合の数にはさまざまな問題がありますが、小学生の段階では4つの基本を押さえると整理しやすくなります。

樹形図で順番に書き出す

樹形図は、場合の数を初めて学ぶ子に特におすすめです。

たとえば、A・B・Cの3人から班長と副班長を1人ずつ選ぶとします。

班長A → 副班長B、C
班長B → 副班長A、C
班長C → 副班長A、B

と枝分かれさせます。

すると、

2＋2＋2＝6通り

だと分かります。

「Aが班長でBが副班長」と「Bが班長でAが副班長」は別の場合です。

樹形図なら、こうした順番の違いも目で確認できます。

表を使って条件を整理する

2つのものの組み合わせを考える場合は、表が便利です。

たとえば上着が赤・青・白の3種類、ズボンが黒・茶の2種類あるとします。

赤×黒
赤×茶
青×黒
青×茶
白×黒
白×茶

で6通りです。

表を作れば、縦に上着3種類、横にズボン2種類を書いて、3×2＝6通りと確認できます。

場合の数が苦手な子には、いきなり掛け算を教えるのではなく、表を埋めてから、

「3種類それぞれに2種類ずつあるね」

と気づかせると理解しやすくなります。

「○通り×○通り」で数える

選択が段階的に続くときは掛け算が使えます。

たとえば、

家から駅まで3通り
駅から学校まで4通り

の道があるなら、

3×4＝12通り

です。

家から駅までの道を1つ選ぶたびに、その先に学校までの4通りがあるからです。

家庭では、

「最初の1通りに対して、その次は何通りある？」

と聞いてみてください。

掛け算の意味まで説明できれば、条件が変わった問題にも対応しやすくなります。

順番を考える場合と考えない場合を区別する

場合の数で非常に重要なのが「順番」です。

A・B・Cの3人から、

班長と副班長を選ぶ

なら、A・BとB・Aは別なので6通りです。

一方、

3人から2人の掃除当番を選ぶ

なら、A・BとB・Aは同じ組なので3通りです。

子どもが迷ったら、

「入れ替えたら別の答えになる？」

と聞いてください。

別になるなら順番を考える。

同じなら重複して数えない。

この判断が組み合わせ問題の基本になります。

場合の数を例題で理解しよう

ここからは、中学受験でよく見られる形を簡単な例題で確認します。

例題1｜数字を並べて整数を作る問題

【問題】

1・2・3・4から異なる2つの数字を使って、2桁の整数を作ります。何通りできますか。

【解き方】

十の位には、

1・2・3・4

の4通りがあります。

1を選んだら、一の位には残り3つの数字が使えます。

2、3、4を選んだ場合もそれぞれ3通りです。

したがって、

4×3＝12通り

です。

ここでは「同じ数字は使えない」という条件が重要です。

もし同じ数字を何度使ってもよければ、

4×4＝16通り

になります。

条件を一言読み落とすだけで答えが変わるため、場合の数では問題文への印付けも有効です。

例題2｜道順を数える問題

【問題】

家から駅へ行く道が3本、駅から図書館へ行く道が2本あります。家から駅を通って図書館へ行く道順は何通りですか。

【解き方】

家から駅までの1本を選ぶごとに、駅から図書館まで2通りあります。

したがって、

3×2＝6通り

です。

この問題は掛け算で簡単に解けますが、苦手な子は実際に、

A→①
A→②
B→①
B→②
C→①
C→②

と書いて構いません。

6通りを書き出した後に「3つそれぞれに2つずつある」と確認すると、掛け算の意味が見えてきます。

例題3｜何人かを選ぶ組み合わせ

【問題】

A・B・C・Dの4人から2人を選びます。選び方は何通りありますか。

【解き方】

Aを含む組は、

AB、AC、AD

の3通り。

次にBを含む組で、すでに数えたABを除くと、

BC、BD

の2通り。

残りは、

CD

の1通りです。

したがって、

3＋2＋1＝6通り

です。

ここでABとBAを別に数えないことがポイントです。

「2人を選ぶだけなので、順番を入れ替えても同じ組」と考えます。

例題4｜条件がある場合の数

【問題】

1・2・3・4の4枚のカードから2枚を選んで2桁の偶数を作ります。同じカードは1回しか使えません。何通りできますか。

【解き方】

偶数になるためには、一の位が2または4でなければなりません。

一の位が2の場合、十の位には、

1、3、4

の3通り。

一の位が4の場合、十の位には、

1、2、3

の3通り。

したがって、

3＋3＝6通り

です。

このような問題では、最初から十の位を考えるより、

「偶数になるために一の位は何？」

と条件の強いところから考えるのがコツです。

場合の数が苦手な子を家庭で伸ばす方法

場合の数は、親が効率的な解法を教えすぎるとかえって苦手になることがあります。

まず「自分で整理して数える」経験を増やしましょう。

最初から式だけで解かせない

子どもが樹形図を一生懸命書いていると、

「掛け算ならすぐ出るのに」

と思うかもしれません。

しかし、最初の段階では書き出すことに意味があります。

具体的な6通りを確認できて初めて、

「3×2で一気に数えられる」

という抽象的な考え方が理解できます。

書き出し→規則を見つける→式にする、という順番を大切にしてください。

「漏れなく数えるルール」を子どもに決めさせる

場合の数では、答えより並べ方が重要です。

たとえば2桁の整数なら、

「十の位が1から順番に調べる」

2人組なら、

「まずAと組む人から調べる」

というルールを決めます。

家庭では、

「どういう順番なら抜けなく数えられそう？」

と聞いてみましょう。

自分で整理する方法を決められるようになると、初めて見る問題でも粘れるようになります。

間違えたら答えではなく数え方を確認する

12通りが正解なのに11通りだった場合、

「1個足りないよ」

だけでは改善しません。

どこで漏れたのかを確認します。

逆に13通りなら、同じ場合を2回数えている可能性があります。

場合の数の間違いは、

数え漏れ
重複
条件の見落とし
順番を区別するかの判断ミス

などに分けられます。

間違い方を分類すると、次に注意すべきことが分かります。

基本問題を翌日と1週間後に解き直す

解説を読んだ直後に同じ問題を解けても、それだけでは定着したとは言えません。

おすすめは、

当日：解き方を理解
翌日：何も見ずに解く
1週間後：もう一度解く

という復習です。

さらに数字だけを変えた類題も解かせてみます。

「3人から2人」ができたら「5人から2人」、「3種類×2種類」ができたら「4種類×3種類」に変えるなど、少しずつ広げましょう。

基本的な考え方を自力で再現できるようになれば、複雑な入試問題へ進みやすくなります。

まとめ｜中学受験算数の「場合の数」は整理して数える力が重要

中学受験算数の「場合の数」で大切なのは、難しい公式をたくさん暗記することではありません。

基本となるのは、

樹形図で書く
表で整理する
一定の順番で数える
何通りずつあるか考える
順番を区別するか確認する
条件に合わないものを除く

という考え方です。

場合の数が苦手な子は、頭の中だけで数えようとしていることが少なくありません。

そんなときは、まず紙に書き出してください。

少し遠回りに見えても、6通り、12通りと実際に書いて確認する経験が、その後の「掛け算で一気に数える力」につながります。

家庭でも、

「何を最初に決める？」
「どんな順番で数える？」
「同じものを2回数えていない？」
「入れ替えたら別の場合になる？」

と質問すると、自分で整理する習慣がつきます。

中学受験の難しい場合の数も、基本は「漏れなく、重ならないように数える」の積み重ねです。

速く解くことを急がず、まずは基本問題を自分で書き出し、なぜその数になるのか説明できる状態を目指しましょう。

その土台ができれば、順列・組み合わせ・道順・カード・図形など、さまざまな場合の数の問題にも対応できるようになります。