中学受験算数の円の面積｜図形問題の解き方とコツ

中学受験算数で円の面積が難しく感じる理由

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の円の面積でつまずく理由から、複合図形やおうぎ形を解くコツ、家庭でできる練習法まで順番に解説します。

円の面積は、中学受験算数の図形分野で頻繁に出題されます。

基本公式だけならそれほど難しくありません。しかし、実際の入試問題では、正方形の中に円があったり、半円が重なっていたり、おうぎ形の一部分だけを求めたりします。

そのため、円の面積が苦手な子に公式を何度覚えさせても、なかなか応用問題まで解けるようにならないことがあります。

大切なのは、円の面積を計算する力より、「どの図形を足して、どの図形を引けばよいか」を見抜く力です。

この考え方を身につけると、円だけでなく、複合図形全体への苦手意識も減らしやすくなります。

公式は覚えていても半径を見抜けない

円の面積の公式は、

半径×半径×3.14

です。

多くの子は、この公式自体は覚えています。

ところが、問題には必ずしも「半径5cm」と書かれているわけではありません。

「直径が10cm」
「正方形の一辺が12cmで、その中に円がぴったり入っている」

といった形で、半径を自分で見つけなければならないことがあります。

たとえば直径10cmなら、半径は、

10÷2＝5cm

です。

したがって面積は、

5×5×3.14＝78.5㎠

となります。

公式を使う前に、「この円の半径はいくつか」を確認する習慣が重要です。

円・おうぎ形・正方形が重なると混乱しやすい

中学受験では、円だけが単独で出題されるとは限りません。

よくあるのが、

• 正方形の中に円がある
• 円の中に正方形がある
• 4つのおうぎ形が重なっている
• 半円と三角形が組み合わされている

といった複合図形です。

算数が苦手な子は、図全体を見て「難しそう」と感じ、その時点で手が止まりやすくなります。

しかし、複雑な図形でも、実際に使うのは、

円
半円
4分の1円
正方形
長方形
三角形

など、すでに知っている形の組み合わせです。

図形問題では「知らない形」と見るのではなく、知っている形が何個組み合わされているかを見ることが大切です。

「足す・引く」の判断ができず式が立たない

円の面積問題でつまずくもう一つの原因が、どの面積を足し、どの面積を引くか分からないことです。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側の部分を求めるなら、

正方形の面積－円の面積

です。

反対に、2つの半円を合わせた部分を求めるなら、

半円＋半円

になります。

計算より前に、

「求めたい部分は、何から何を引けば作れる？」
「どの形とどの形を足せば同じになる？」

と考えましょう。

この「面積を作る」という感覚が、複合図形では非常に重要です。

円の面積を解く基本｜まず押さえたい3つのポイント

円の面積は「半径×半径×円周率」

円の面積の基本は、

半径×半径×3.14

です。

半径が6cmなら、

6×6×3.14
＝36×3.14
＝113.04㎠

となります。

ここで注意したいのは、

「半径×直径×3.14」

ではないことです。

円周の公式である、

直径×3.14

と混同する子は少なくありません。

家庭では、

円周＝外側の長さ
面積＝中の広さ

と区別し、

円周→直径×3.14
面積→半径×半径×3.14

をセットで整理しておくとよいでしょう。

直径が分かっているときは半径に直す

円の面積では、直径のまま計算しないことが基本です。

直径が14cmなら、

14÷2＝7cm

としてから、

7×7×3.14

と計算します。

この1ステップを飛ばしてしまうと、大きな計算ミスにつながります。

問題用紙に、

直径14cm
→半径7cm

と書き込ませるだけでもミスは減ります。

特に複合図形では、正方形の一辺がそのまま円の直径になっているケースが多いため、「直径を見つけたら半径にする」という習慣を早めにつけておきましょう。

おうぎ形は円全体の何分のいくつかで考える

おうぎ形の面積は、円全体に対して中心角がどのくらいかを考えます。

たとえば中心角90度なら、

90÷360＝4分の1

です。

半径8cmのおうぎ形なら、

8×8×3.14×1/4

と計算します。

中心角180度なら半円なので2分の1、中心角60度なら6分の1です。

公式を丸暗記するより、

「360度が円1個分」

と理解させるほうが応用しやすくなります。

家庭で説明するときは、ピザをイメージさせると分かりやすいでしょう。

90度のおうぎ形なら、「同じ大きさを4枚集めると円1個になる」と考えます。

中学受験の図形で円の面積を求めるコツ

複雑な図形は知っている形に分ける

円を含む複合図形では、一度に全体を求めようとしないことが大切です。

たとえば、正方形の4つの角に4分の1円が描かれている場合、それぞれを別々に計算してもよいですが、

4分の1円×4＝円1個分

とまとめられることがあります。

半径が5cmなら、

5×5×3.14＝78.5㎠

と円1個分として計算できます。

図形問題が得意な子は、このような「まとめる工夫」が自然にできます。

苦手な子には、

「同じ形はいくつある？」
「合わせると円何個分になる？」

と聞いてみてください。

計算量が減るだけでなく、図形を見る力も育ちます。

色のついた部分は「全体－不要部分」で考える

色のついた部分の面積を直接求めようとすると、難しく感じることがあります。

そんなときは、

全体－いらない部分

で考えます。

たとえば、一辺10cmの正方形の中に直径10cmの円があり、円の外側部分を求めるとします。

正方形の面積は、

10×10＝100㎠

円の半径は5cmなので、

5×5×3.14＝78.5㎠

したがって、

100－78.5＝21.5㎠

です。

複雑な色付き図形でも、

「色の部分だけを見る」のではなく、

「大きな分かりやすい形から何を引けば残るか」

と考えると式を立てやすくなります。

半円や4分の1円を見つけてまとめる

中学受験では、円の一部だけが複数配置される問題がよくあります。

たとえば、

4分の1円が2つなら半円
4分の1円が4つなら円1個
半円が2つなら円1個

です。

こうした関係に気づくと、3.14を使う計算を何度も繰り返す必要がなくなります。

特に円周率3.14を使う問題では、計算が複雑になりやすいため、先に図形をまとめてから計算するのがコツです。

また、

3.14×25－3.14×9

のような式なら、

3.14×（25－9）

として、

3.14×16

と計算するほうが簡単です。

図形の工夫と計算の工夫を組み合わせることが、中学受験算数では大切です。

円の面積問題を家庭で得意にする練習法

図に半径と中心を書き込む

円の問題を解くときは、何も書き込まずに眺めないようにしましょう。

まず、

中心はどこか
半径はどこか
直径はどこか

を書き込みます。

たとえば直径12cmなら、図の半分に「6cm」と書いておきます。

おうぎ形なら、中心角にも印をつけます。

このように必要な情報を図へ集めるだけで、何を計算すればよいか見えやすくなります。

算数が苦手な子ほど、頭の中だけで処理させないことが大切です。

式を書く前に「何を足す・引くか」を言葉にする

家庭で教えるときは、いきなり式を書かせるより、

「この色の部分は、どうやったら作れる？」

と聞いてみましょう。

子どもが、

「正方形から円を引く」
「半円を2つ足す」
「大きい円から小さい円を引く」

と言えれば、式はほぼ完成しています。

逆に、この説明ができないまま計算を始めると、式を丸暗記している可能性があります。

図形問題では、式より先に日本語で解き方を説明する練習が非常に有効です。

同じ基本図形を数字を変えて解き直す

一度解けた問題でも、数字を少し変えてもう一度解いてみましょう。

たとえば、

一辺10cmの正方形と内接する円

を解いたら、次は、

一辺12cm
一辺16cm

と変えます。

数字が変わっても、

正方形の一辺＝円の直径
半径＝その半分
色部分＝正方形－円

と考えられれば、解法が定着しています。

逆に、同じ図なのに数字が変わると解けなくなる場合は、まだ式を覚えているだけかもしれません。

家庭学習では大量の問題を解かせるより、基本パターンを数字や向きを変えて再現させるほうが効果的です。

まとめ｜円の面積は公式より図形の分解が重要

中学受験算数の「図形・面積・円」の問題で大切なのは、円の面積公式を覚えることだけではありません。

まず、

半径を見つける
円やおうぎ形が何個分あるか考える
図形を知っている形に分ける
全体から不要な部分を引く

という順番で整理しましょう。

特に複雑な図形では、「色の部分を直接求める」より、

全体－不要部分

で考えると解きやすくなるケースが多くあります。

また、4分の1円を4つ合わせて円1個にするなど、図形をまとめることで計算も簡単になります。

家庭では、答えが合っているかだけでなく、

「どの図形を足したの？」
「何から何を引いたの？」
「半径はどこから分かった？」

と説明させてみてください。

自分の言葉で答えられるようになれば、円の面積の考え方が定着してきたサインです。

中学受験の円の面積は、公式暗記だけでは応用に対応しにくい単元です。だからこそ、基本図形を分ける・まとめる・引くという操作を丁寧に練習することが、図形問題全体を得点源にする近道になります。