中学受験算数のn進法｜考え方・変換・解き方をやさしく解説

中学受験算数のn進法とは？まず仕組みを理解しよう

この記事では、そんな悩みを抱える保護者の方に向けて、中学受験算数のn進法について、基本の仕組みから変換方法、頻出問題、家庭での教え方まで順番に解説します。

「2進法」「3進法」「5進法」などと聞くと、学校で習う算数とは別の難しい数学のように感じるかもしれません。

しかし、n進法の本質はそれほど難しくありません。

普段使っている10進法も、実は「10個集まると1つ上の位へ進む」という同じ仕組みでできています。

つまりn進法攻略のポイントは、新しい公式を大量に覚えることではなく、「位がどのように作られているのか」を理解することです。

私たちが普段使う数字は10進法

n進法を理解する前に、普段使っている10進法を確認してみましょう。

たとえば123という数字は、

100が1個
10が2個
1が3個

という意味です。

式で表せば、

123＝1×100＋2×10＋3×1

です。

100は10×10、つまり10の2乗なので、

123＝1×10²＋2×10¹＋3×10⁰

とも考えられます。

普段は意識していませんが、私たちは「10個集まると1つ上の位へ繰り上がる」という仕組みを毎日使っています。

1が10個集まると10。
10が10個集まると100。

これが10進法です。

n進法も、この「10」の部分が別の数字になるだけです。

n進法では「n個集まったら1つ上の位」

たとえば3進法なら、

3個集まると1つ上の位へ進む

という仕組みです。

10進法では、

1、10、100、1000……

と位が進みますが、3進法では、

1、3、9、27……

と進みます。

つまり3進法の「121」という数字は、10進法の121とは意味が違います。

3進法の121は、

1×9＋2×3＋1×1

なので、

9＋6＋1＝16

です。

したがって、

3進法の121＝10進法の16

となります。

ここで「121と書いてあるのだから百二十一では？」と思ってしまう子は少なくありません。

n進法では、見た目の数字ではなく「それぞれの位が何を表しているか」を確認することが大切です。

使える数字は0からn−1まで

もう一つ重要なルールがあります。

n進法で使える数字は、

0からn−1まで

です。

たとえば2進法で使えるのは、

0、1

だけです。

2が出てきたら繰り上がるので、「2」という数字は1つの位には現れません。

3進法なら、

0、1、2

まで。

5進法なら、

0、1、2、3、4

までです。

これは10進法で0～9までしか使わないのと同じです。

10個目になったら「10」と書きますよね。

この感覚をつかめると、「なぜ2進法には2が出てこないのか」といった疑問も自然に解消できます。

n進法の変換方法を例題で覚える

n進法から10進法へ直す方法

まずは、n進法で表された数字を、普段使っている10進法へ直す方法です。

例として、4進法の「132」を考えます。

4進法では右から順に、

1の位
4の位
16の位

となります。

したがって、

132＝1×16＋3×4＋2×1

です。

計算すると、

16＋12＋2＝30

となります。

つまり、

4進法の132＝10進法の30

です。

ポイントは、右端から

1、n、n×n、n×n×n……

と位の大きさを書いていくことです。

最初のうちは暗算せず、数字の下に位を書いて確認するとミスが減ります。

10進法からn進法へ直す方法

反対に、10進法の数字をn進法へ直す問題もよく出ます。

たとえば、10進法の20を3進法に直してみましょう。

3進法の位は、

1、3、9、27……

です。

20より大きくない最大の位は9なので、

20÷9＝2あまり2

です。

したがって9が2個あります。

残った2には3は入らないので、3の位は0個。

最後に1が2個です。

よって、

20＝2×9＋0×3＋2×1

となり、3進法では

202

と表されます。

つまり、

10進法の20＝3進法の202

です。

別の方法として、nで繰り返し割り、余りを下から読む方法もあります。

20÷3＝6あまり2
6÷3＝2あまり0
2÷3＝0あまり2

余りを下から読むと、

202

となります。

中学受験ではどちらの方法も理解しておくと安心です。

2進法・3進法・5進法でも考え方は同じ

「2進法なら解けるけれど、5進法になると分からない」という子もいます。

しかし、基本原理はすべて同じです。

2進法なら位は、

1、2、4、8、16……

3進法なら、

1、3、9、27……

5進法なら、

1、5、25、125……

となります。

たとえば5進法の243なら、

2×25＋4×5＋3×1

です。

50＋20＋3＝73なので、

5進法の243＝10進法の73

となります。

数字が変わっても、

「右から1、n、n²……」

というルールは変わりません。

n進法が苦手な子ほど、種類ごとに別の解法を覚えるのではなく、「同じ仕組みの数字が変わっているだけ」と捉えることが重要です。

中学受験で狙われやすいn進法の問題

n進法の足し算・引き算

n進法では、変換だけでなく計算問題も出題されます。

たとえば3進法で、

12＋2

を考えてみます。

一の位では、

2＋2＝4

です。

しかし3進法では3個集まると繰り上がるため、

4＝3＋1

と考えます。

一の位に1を書き、1つ繰り上げます。

十進法でいう「十の位」にあたる3の位では、

1＋1＝2

となるので、答えは

21

です。

実際に確認すると、

3進法の12＝5
3進法の2＝2
5＋2＝7

そして、

3進法の21＝7

なので正しいことが分かります。

最初のうちは、計算後に10進法へ直して検算すると理解が深まります。

何進法かを逆算する問題

難関校では、「この数字は何進法で表されているか」を考えさせる問題もあります。

たとえば、

あるn進法の「21」が10進法の11を表す

とします。

「21」は、

2×n＋1

という意味です。

したがって、

2n＋1＝11

となり、

2n＝10
n＝5

です。

つまり5進法です。

中学受験では文字式を本格的に習わなくても、

「2つ分の位＋1＝11」

と考えれば解けます。

ここでも重要なのは、「左の2は2個のnを表している」と理解することです。

位取りや規則性と組み合わせた問題

n進法は、単独で出題されるだけではありません。

規則性や場合の数と組み合わされることがあります。

たとえば、

0と1だけを使って数字を順に並べる

という問題は、実質的に2進法と同じ構造になっている場合があります。

1
10
11
100
101……

という並びを見たとき、普通の整数の並びとは考えず、「2個集まったら次の位へ進んでいる」と気づけるかがポイントです。

中学受験算数では、問題文に「2進法」という言葉が書かれていなくても、n進法の考え方を使わせる問題があります。

そのため、公式だけではなく「位が一定の数ごとに繰り上がる」という仕組みそのものを理解しておく必要があります。

n進法が苦手な子への家庭での教え方

最初は「箱に何個入ったら繰り上がるか」で説明する

n進法をいきなり「nの0乗、1乗、2乗」と説明すると、算数が苦手な子には難しく感じられることがあります。

最初は箱をイメージすると分かりやすいでしょう。

3進法なら、

「1の箱に3個たまったら、3の箱へ1個移す」

と説明します。

3の箱にも3個たまったら、

3×3＝9

なので、9の箱へ1個移します。

つまり、

1の箱
3の箱
9の箱
27の箱

と増えていきます。

おはじきや硬貨など身近な物を使って、「3個たまったら交換する」という遊びにすると、小学生でも仕組みを理解しやすくなります。

変換表を書いて目で確認する

家庭学習では、変換表を作るのもおすすめです。

たとえば3進法なら、

10進法1＝3進法1
10進法2＝3進法2
10進法3＝3進法10
10進法4＝3進法11
10進法5＝3進法12
10進法6＝3進法20

と並べてみます。

すると、

2の次が10
12の次が20

になる理由が視覚的に分かります。

「数字が急に飛んだ」のではなく、「3個たまったので繰り上がった」と理解できれば、n進法への抵抗感はかなり小さくなります。

表を全部暗記する必要はありません。

自分で0から10程度まで書いてみること自体が、良い練習になります。

公式暗記より小さな数字で確かめる

n進法では、「割って余りを逆から読む」という方法だけを暗記すると、なぜそうするのか分からなくなることがあります。

特に算数が苦手な子は、手順を一つ忘れただけで問題全体が解けなくなりがちです。

そこでおすすめなのが、小さな数字で確かめる習慣です。

たとえば、

「3進法の12って本当に5？」

と思ったら、

1×3＋2＝5

と確認します。

10進法の8を2進法に直して1000になったなら、

1×8＋0×4＋0×2＋0×1＝8

と戻してみます。

自分で確かめられるようになると、単なる暗記から理解へ変わります。

家庭では正解・不正解だけを見るのではなく、

「この1は何個分？」
「次の位はいくつ？」
「なぜここで繰り上がったの？」

と質問してみてください。

答えを説明できれば、n進法の仕組みを理解できている証拠です。

まとめ｜n進法は「位の仕組み」が分かれば怖くない

中学受験算数のn進法は、初めて見ると難しく感じますが、基本となる考え方は普段使っている10進法と同じです。

10進法では10個集まると次の位へ進みます。

2進法なら2個、3進法なら3個、5進法なら5個集まったら次の位へ進む。

まずは、この仕組みを理解することが最優先です。

n進法から10進法へ直すときは、それぞれの位が

1、n、n²、n³……

の何個分なのかを考えます。

反対に10進法からn進法へ直すときは、どの位が何個必要なのかを考えるか、nで順番に割って余りを確認します。

入試では変換だけでなく、足し算・引き算、何進法かを求める問題、規則性と組み合わせた問題などにも発展します。

だからこそ、手順だけを丸暗記しないことが大切です。

家庭で教える場合は、いきなり難しい問題へ進まず、「3個たまったら次の箱へ移す」といった具体的なイメージから始めてください。

n進法は、仕組みさえ見抜ければ決して特殊な単元ではありません。

「何個集まると繰り上がるのか」「それぞれの位はいくつを表しているのか」を一つずつ確認することが、中学受験のn進法を得点源に変える近道です。