中学受験算数の三角形を攻略｜解き方とコツ

中学受験算数の三角形でまず覚えたい基本

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の三角形で覚えるべき基本から、角度・面積・相似・補助線の考え方、家庭での練習法まで順番に解説します。

三角形は、中学受験算数の図形問題における土台ともいえる分野です。

最初は「内角の和は180度」「面積＝底辺×高さ÷2」といった基本から始まりますが、学年が上がると、二等辺三角形、相似、面積比、平行線、補助線などが組み合わされます。

そのため、

「公式は覚えたのに解けない」
「どこに補助線を引けばいいのか分からない」
「解説を見ると簡単なのに自分では気づけない」

という状態になりやすい単元です。

三角形問題を得意にするポイントは、公式を増やすことではありません。

図を見たときに、何をどの順番で確認するかを身につけることです。

三角形の内角の和は180度

三角形の角度問題で最初に使う基本が、

「3つの内角を合わせると180度」

という性質です。

たとえば三角形ABCで、

角A＝50度
角B＝70度

なら、

180－50－70＝60度

なので角Cは60度です。

簡単に見えますが、中学受験では三角形が複数組み合わされます。

そこで大切なのは、分からない角度をいきなり求めようとせず、

分かる三角形から一つずつ角度を書き込むこと

です。

また、一直線上の角度は180度、1周分の角度は360度という基本も組み合わせて使います。

二等辺三角形と正三角形の性質

三角形問題では、辺の長さを見た瞬間に角度へ結びつけることも重要です。

二等辺三角形は、

「2辺の長さが等しい」
↓
「その向かい側の2つの角も等しい」

という性質があります。

たとえば頂角が40度なら、残り2つの角は、

（180－40）÷2＝70度

です。

正三角形なら3辺が等しく、3つの角もすべて60度になります。

問題文に、

AB＝AC

と書かれていたら、長さだけを見るのではなく、

「二等辺三角形だから角B＝角C」

と図に書き込みましょう。

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」

三角形の面積の基本は、

底辺×高さ÷2

です。

ただし、中学受験で重要なのは公式そのものよりも、どこを底辺として見るかです。

たとえば同じ高さを持つ2つの三角形なら、面積の比は底辺の比と同じになります。

底辺が、

3cm：5cm

なら、面積比も、

3：5

です。

逆に底辺が同じなら、面積比は高さの比になります。

この考え方は、小5以降の面積比で非常によく使います。

中学受験の三角形問題で差がつく3つの考え方

分からない角度は分かる角度から埋める

角度問題で子どもが止まりやすいのは、

「求める角度をどう計算すればいい？」

と最初から答えを探してしまうからです。

まず図全体を見て、

・60度はないか
・二等辺三角形はないか
・一直線になっている場所はないか
・すでに2つの角が分かっている三角形はないか

を確認します。

たとえば求めたい角度がすぐ出なくても、その隣の三角形なら角度が出ることがあります。

その角度を使って次の角度を求める。

このように、分かる場所から順番に埋めるのが基本です。

家庭で教えるときも、

「答えは何度？」

ではなく、

「今すぐ分かる角度はどこ？」

と聞く方が考える力につながります。

面積は底辺と高さのどちらが共通かを見る

面積問題では、いきなり数値を計算しないことがポイントです。

まず、

「この2つの三角形は高さが同じ？」
「底辺が同じ？」

と確認します。

たとえば三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、

BD：DC＝2：3

だとします。

三角形ABDと三角形ACDは、AからBCへ下ろした高さが共通です。

したがって面積比は、

2：3

になります。

高さを実際に求める必要はありません。

中学受験の面積問題では、この共通する高さを見つける力が重要です。

相似では対応する辺を正しく見つける

小学5～6年生になると、三角形の相似が重要になります。

相似とは、形が同じで大きさだけが違う図形です。

相似な三角形では、対応する辺の比がすべて同じになります。

たとえば対応する辺の比が、

小さい三角形：大きい三角形＝2：3

なら、別の辺が小さい三角形で6cmなら、

6×3÷2＝9cm

と求められます。

ここで最も多いミスが、「どの辺とどの辺が対応しているか」の取り違えです。

相似を見つけたら、いきなり比例式を書かず、

「一番長い辺同士」
「同じ角の向かい側同士」

などを確認して対応をそろえましょう。

三角形の応用問題を解くための補助線のコツ

二等辺三角形や正三角形を作る

中学受験の難しい図形問題では、もとの図だけでは答えが見えないことがあります。

そこで使うのが補助線です。

角度問題では、線を1本加えることで、

二等辺三角形
正三角形

を作れる場合があります。

たとえば60度が多く登場する問題なら、

「正三角形を作れないか」

と考えることがあります。

正三角形を作れば、新しく60度や等しい辺が生まれ、解くための条件が増えます。

同じ高さの三角形を見つける

面積比では、頂点と底辺を結ぶ補助線が有効です。

たとえば四角形の内部に点があり、複数の三角形の面積を比べる場合、頂点から線を引いて三角形に分けます。

すると、

「この2つは高さが同じ」

という関係が見えてくることがあります。

面積問題で補助線を引く目的は、図を細かくすることではありません。

同じ高さ・同じ底辺を作ることだと覚えておくと判断しやすくなります。

平行線があれば相似を疑う

図の中に平行な線がある場合は、相似な三角形が隠れている可能性があります。

平行線があると同じ大きさの角ができるため、2つの三角形の形が同じになることがあります。

問題文に、

「DEとBCは平行」

とあれば、その情報を読み飛ばさないようにしましょう。

「平行」
↓
「同じ角ができる」
↓
「相似がないか探す」

という流れを習慣にすると、相似問題を発見しやすくなります。

補助線は「目的」を考えて引く

算数が苦手な子ほど、

「補助線はセンスだから無理」

と思いがちです。

しかし、やみくもに線を引く必要はありません。

補助線には目的があります。

角度を求めたい
→二等辺三角形・正三角形を作れないか

面積を比べたい
→同じ高さ・同じ底辺を作れないか

辺の長さを求めたい
→相似を作れないか

というように考えます。

「どこに線を引く？」より先に、

「何を作りたい？」

と考えるのがコツです。

三角形が苦手な子の家庭学習法

公式暗記より図に条件を書き込む

三角形が苦手な子に、公式を何度も暗記させるだけでは応用問題への対応力は伸びにくいものです。

まず図へ、

60°
AB＝AC
平行
2：3

など、分かっている条件を書き込みます。

問題文を読むだけでなく、情報を図へ移すことが重要です。

情報を書き込むと、二等辺三角形や相似などの関係にも気づきやすくなります。

1日3問程度を解法別に反復する

図形が苦手だからと、1日に20問も解く必要はありません。

たとえば、

月曜：角度3問
火曜：面積比3問
水曜：相似3問

のように、考え方をそろえて練習します。

同じ考え方の問題を続けることで、

「この形なら二等辺三角形」
「この形なら高さが共通」

という見方が身につきやすくなります。

量よりも、同じ解法を自分で再現できるかを重視してください。

間違いは「どこに気づけなかったか」を確認する

三角形問題を間違えたら、答えを写して終わらせないことが重要です。

たとえば、

「二等辺三角形に気づかなかった」
「平行線を見落とした」
「高さが共通だと気づかなかった」
「相似な三角形は見つけたが対応を間違えた」

と原因を一言で確認します。

次の問題で、

「今回は平行線を最初に探そう」

と意識できれば、解き直しの意味があります。

難問より基本～標準問題を優先する

三角形は難問を作りやすい分野です。

そのため、中学入試には大人でもすぐには解けないような図形問題もあります。

しかし、算数が苦手な子が最初から難問に挑戦する必要はありません。

まず、

・角度の基本
・二等辺三角形
・面積と面積比
・相似の基本
・平行線と相似

を確実にします。

たとえば基本問題10問中6問しか取れないなら、難問へ進むより8～9問正解できる状態を目指します。

基本の形が定着すると、複雑な問題でも、

「ここだけを見ると、前にやった形と同じだ」

と気づけるようになります。

まとめ｜中学受験算数の三角形は「図を見る順番」が重要

中学受験算数の三角形では、公式をたくさん覚えること以上に、図から使える条件を見つける力が重要です。

まず押さえたいのは、

・三角形の内角の和は180度
・二等辺三角形では2つの角が等しい
・正三角形の角はすべて60度
・面積は底辺×高さ÷2
・同じ高さなら面積比は底辺の比
・相似なら対応する辺の比が等しい

という基本です。

そのうえで問題を見るときは、

角度
→等しい辺
→平行線
→同じ高さ
→相似

のように、使える情報がないか順番に確認してみてください。

補助線が必要な問題でも、

「何となく線を引く」

のではなく、

「二等辺三角形を作りたい」
「同じ高さにしたい」
「相似を作りたい」

と目的から考えます。

家庭学習では、難しい三角形問題を何十分も考え続けさせるより、まず基本～標準問題でこの「見る順番」を繰り返す方が効果的です。

そして間違えたときは、

「この問題が解けなかった」

ではなく、

「どの条件に気づけなかったのか」

まで確認してください。

三角形問題は、一見すると問題ごとに形が違います。

しかし丁寧に分解すると、二等辺三角形、同じ高さ、相似など、何度も登場する基本パターンの組み合わせです。

基本となる形を一つずつ見つけられるようになることが、中学受験算数の三角形を得点源へ変える近道です。