中学受験算数の平行四辺形｜面積・比の解き方と教え方

中学受験算数の平行四辺形でつまずく3つの理由

この記事では、中学受験算数の平行四辺形でなぜつまずくのか、入試で必要な考え方と家庭でできる教え方を順を追って解説します。

平行四辺形は、小学校で「底辺×高さ」という面積公式を習うため、一見すると簡単な単元に見えます。

ところが中学受験になると、単純に面積を求めるだけではありません。

三角形との面積比、等積変形、補助線、相似などと組み合わされ、「どの長さを使えばよいのか」「どこを高さと考えればよいのか」を自分で判断する必要があります。

つまり、公式を暗記しているだけでは点につながりにくい単元なのです。

家庭学習では、計算方法だけでなく「なぜこの底辺と高さを使うのか」を説明できる状態を目標にすると、図形問題全体の力も伸びやすくなります。

面積公式を覚えただけでは対応できない

平行四辺形の基本公式は、

平行四辺形の面積＝底辺×高さ

です。

たとえば、底辺8cm、高さ5cmなら、

8×5＝40

となり、面積は40㎠です。

ここまでは多くの子が解けます。

しかし中学受験では、「底辺8cm、高さ5cm」と親切に書いてある問題ばかりではありません。

必要な長さが図の中に隠されていたり、別の三角形の面積から平行四辺形の面積を逆算したりします。

そのため、

「公式を知っている」

ことと、

「問題の中から底辺と高さを見つけられる」

ことは別の力だと考える必要があります。

塾の授業では理解できているのに、テストになると解けない子は、この「必要な情報を選ぶ力」がまだ十分に育っていないケースが少なくありません。

「高さ」がどこなのか分からなくなる

平行四辺形で特につまずきやすいのが高さです。

高さとは、底辺に対して垂直な長さです。

ところが子どもは、図に描かれた斜めの辺をそのまま高さだと思ってしまうことがあります。

たとえば、

底辺が10cm
斜めの辺が6cm
高さが4cm

という平行四辺形なら、面積は、

10×4＝40㎠

です。

10×6ではありません。

この間違いが多い場合は、「高さとはどこからどこまで？」と質問してみてください。

「底辺に直角になる長さ」と自分の言葉で説明できるようになると、理解が安定します。

三角形や面積比と組み合わされると難しくなる

中学受験では、平行四辺形単独よりも、三角形と組み合わせた問題が頻繁に登場します。

たとえば、平行四辺形の対角線を1本引くと、同じ面積の三角形が2つできます。

したがって、

平行四辺形の面積が60㎠なら、それぞれの三角形は30㎠

です。

この性質を知っていれば簡単ですが、知らないと毎回底辺と高さを探して計算することになります。

中学受験算数では、このように「図形の性質を利用して計算を減らす」発想が重要です。

公式をたくさん覚えるというより、図形同士の関係を見る習慣をつけることが得点力につながります。

中学受験の平行四辺形で必ず押さえたい基本

平行四辺形の面積は「底辺×高さ」

まず絶対に曖昧にしたくないのが、

面積＝底辺×高さ

です。

ただし、家庭学習では公式を暗唱するだけで終わらせないようにしてください。

たとえば平行四辺形を、端の三角形を切って反対側へ移動させるイメージで考えると、長方形になります。

長方形の面積が、

たて×横

で求められるため、平行四辺形も、

底辺×高さ

で求められるわけです。

この仕組みを理解している子は、図形が傾いたり逆さまになったりしても混乱しにくくなります。

斜めの辺は面積計算に使わない

子どもにありがちな間違いは、

底辺×斜めの辺

と計算してしまうことです。

そこで家庭では、問題を解く前に、

「底辺はどれ？」

「高さはどれ？」

と確認する習慣をつけると効果的です。

特に高さについては、図の中に線が引かれていないこともあります。

その場合は底辺を延長し、垂直な線をイメージする必要があります。

この感覚は、後に学ぶ三角形の面積や台形、面積比にもつながります。

平行四辺形だけの知識として終わらせず、「高さを見る練習」と位置付けることが大切です。

同じ底辺・同じ高さなら面積は等しい

中学受験で非常に重要なのが、

「同じ底辺と同じ高さを持つ図形は面積が等しい」

という考え方です。

たとえば、同じ底辺を共有し、頂点が底辺と平行な一直線上にある2つの三角形は、高さが同じです。

したがって面積も等しくなります。

これを利用すると、長さが書かれていない問題でも面積を求められます。

算数が苦手な子ほど、「長さが分からない＝解けない」と考えがちです。

しかし中学受験の図形では、長さを求めなくても面積が分かる問題がたくさんあります。

ここに気づけるかどうかが、平行四辺形の応用力を大きく左右します。

平行四辺形の応用問題を解く3つの考え方

等積変形で複雑な図形を簡単にする

等積変形とは、面積を変えずに図形の形を変える考え方です。

難しそうな言葉ですが、実際にやっていることはシンプルです。

平行四辺形の端にある三角形を反対側へ移動させると、同じ面積の長方形を作れます。

中学受験では、この考えをさらに発展させ、

「この三角形をこちらへ移せば簡単な図形になる」

と考える問題が出題されます。

家庭で教えるときには、いきなり「等積変形を使いなさい」と言うより、

「この部分をこっちに移したら、どんな形になる？」

と問いかける方が理解しやすいでしょう。

面積比は底辺と高さに注目する

平行四辺形は面積比の問題でも重要です。

基本ルールは、

高さが同じなら、面積比＝底辺の比

です。

たとえば、高さが共通する2つの三角形の底辺が、

2：3

なら、面積比も、

2：3

になります。

逆に、底辺が同じで高さが、

3：5

なら、面積比は、

3：5

です。

この考え方を使えるようになると、いちいち実際の面積を計算しなくても答えにたどり着けます。

中学受験では比を使った図形問題が多いため、小5以降では特に重要になります。

「底辺が同じか」「高さが同じか」を探す癖をつけておきましょう。

補助線を引いて三角形に分ける

平行四辺形の問題で手が止まったら、補助線を引くことも有効です。

代表的なのが対角線です。

平行四辺形に対角線を1本引くと、面積の等しい三角形が2つできます。

さらに交点まで含めて複数の三角形に分けると、面積比を利用できる問題もあります。

ただし、補助線は適当に引けばよいわけではありません。

まずは、

「同じ底辺を作れないか」

「同じ高さの三角形を作れないか」

「平行四辺形を三角形に分けられないか」

という3点を意識すると、意味のある補助線を引きやすくなります。

平行四辺形が苦手な子への家庭での教え方

公式を言わせるより「高さ」を探させる

平行四辺形が苦手な子に、

「公式は？」

と何度も確認しても、応用力はなかなか伸びません。

公式を言える子には、その次として、

「この図の高さはどこ？」

と聞いてみてください。

高さを指で示せるかどうかを見るだけでも、理解度がかなり分かります。

できれば、

「なぜそこが高さなの？」

まで聞き、

「底辺と直角だから」

と説明できれば理想的です。

教える側がすぐ答えを言わず、子ども自身に図を見せて判断させることが大切です。

図に数字を書き込みながら考える

算数が苦手な子は、頭の中だけで情報を整理しようとして混乱しがちです。

平行四辺形の問題では、

底辺に数字を書く
高さに数字を書く
同じ長さに印をつける
平行な辺に印をつける

といった書き込みをさせましょう。

たとえば「底辺12cm、高さはその半分」と書いてあれば、

12cm
6cm

と図に直接書き込みます。

すると、

12×6＝72㎠

と処理しやすくなります。

図形問題では、頭の良さよりも「情報を図に整理する習慣」が結果を左右する場面が多くあります。

同じ問題を時間を空けて解き直す

平行四辺形の応用問題は、解説を読んだ直後には解けても、数日後にもう一度出すと解けなくなることがあります。

これは珍しいことではありません。

大切なのは、「一度分かった」で終わらせないことです。

おすすめは、

当日
2～3日後
1～2週間後

のように間隔を空けて解き直す方法です。

特に間違えた問題では、答えそのものではなく、

「なぜ高さがここなのか」

「なぜ面積が等しくなるのか」

を口で説明させてください。

自分で説明できるようになると、初めて本当に理解したと言えます。

また、家庭で全部を教えようとする必要はありません。

分からない問題が続くときは、基本問題に戻り、「底辺と高さを見つける」「同じ面積の図形を探す」といった1つ前の段階から確認する方が、結果的には早く定着します。

まとめ｜平行四辺形は「高さ」と「面積の関係」が攻略のカギ

中学受験算数の平行四辺形は、単に「底辺×高さ」を覚えるだけでは十分ではありません。

入試で必要になるのは、

・底辺と高さを正しく見つける
・同じ底辺、同じ高さの図形を見抜く
・等積変形を利用する
・面積比を底辺や高さの比から考える
・必要に応じて補助線を引く

といった力です。

特に算数が苦手な子の場合、難しい問題を何題も解かせるよりも、「高さはどこ？」「この2つの三角形はなぜ同じ面積？」と一つひとつ確認する方が効果的です。

平行四辺形は、三角形、台形、面積比、相似へとつながる中学受験図形の重要な土台です。

ここで「公式を使う勉強」から「図形の関係を見る勉強」へ切り替えられると、その後の図形問題にも強くなります。

まずは今日の家庭学習で、平行四辺形を見た瞬間に計算を始めるのではなく、「底辺はどこ？」「高さはどこ？」と確認するところから始めてみてください。