中学受験算数の得票数｜投票算の解き方をやさしく解説

中学受験算数の「得票数」の問題とは？

この記事では、中学受験算数の得票数を扱う「投票算」について、基本の考え方から確実に当選する票数、開票途中の問題、家庭での教え方まで順番に解説します。

中学受験算数では、選挙を題材にした問題が出ることがあります。

たとえば、

「300人が1人1票ずつ投票し、上位2人が当選します。確実に当選するには最低何票必要ですか。」

といった問題です。

このタイプは一般に「投票算」と呼ばれます。

実際の中学入試でも、得票数の上位から一定人数を選ぶ問題や、開票途中で「あと何票あれば確実に当選できるか」を問う問題が出題されています。

一見すると場合の数のように複雑に感じますが、ポイントは一つです。

「当選するには何票必要か」ではなく、「当選できない最大は何票か」を先に考えることです。

得票数を扱う問題は「投票算」と呼ばれる

中学受験算数では、得票数を使って当選・落選を考える問題を「投票算」と呼ぶことがあります。

代表的なのは、

全体で何票あるか
何人が立候補しているか
上位何人が当選するか
現在それぞれ何票持っているか
残り何票あるか

といった条件から、必要な得票数を求める問題です。

たとえば、

100人が投票
5人が立候補
上位2人が当選

という条件なら、ある候補者が確実に上位2人へ入るにはどうすればよいかを考えます。

ここで重要なのは、「たぶん当選できる」ではなく「どんな票の分かれ方をしても当選できる」状態を考えることです。

よく問われるのは「確実に当選する最小票数」

投票算で頻出する表現が、

「確実に当選するために必要な最小の得票数」

です。

この「確実に」が非常に重要です。

たとえば100票の選挙で上位1人だけが当選するとします。

51票取れば、残りは49票しかありません。

どれだけ残り49票が1人に集中しても、自分の51票を超えられません。

したがって、過半数を取れば確実です。

しかし複数人が当選する場合は、単純に半分を超えればよいわけではありません。

そこで「自分が落選できるギリギリの状態」を考えます。

投票算は条件を言い換える力が重要

投票算では、

「確実に当選する最小票数」

という条件を、そのまま考えると難しく感じます。

そこで、

1票少なければ落選する可能性がある票数

と言い換えます。

さらに、

当選できない場合の最大得票数＋1票

と考えます。

この考え方は、実際の中学受験指導でも重要なポイントとして扱われています。

算数が苦手な子には、この言い換えを丁寧に教えることが大切です。

得票数から確実に当選する票数を求める基本

「当選できない最大」を考える

例として、

300人が1票ずつ投票
5人が立候補
上位2人が当選

とします。

Aさんが当選できないためには、Aさん以上の票を持つ人が少なくとも2人必要です。

つまり、

A
B
C

の3人が同じ票数になっている状態を考えると、Aが落選する可能性が残ります。

300票を3人にできるだけ均等に分けると、

300÷3＝100票

です。

Aが100票でも、BとCも100票なら、Aが上位2人に入れるとは限りません。

したがって、

100＋1＝101票

あれば確実に上位2人へ入れます。

このように、

当選人数が2人なら「自分＋ライバル2人」の3人で考える

のがポイントです。

例題｜44人から4人を選ぶ場合

実際の入試でも似た形式が出題されています。

44人が1人1票ずつ投票し、得票数の多い順に4人が選ばれるとします。

確実に4位以内へ入るには何票必要でしょうか。

落選する可能性を残すには、自分以外に4人が自分以上の票を持てばよいことになります。

つまり、

自分＋4人＝5人

で票を分けます。

44÷5＝8あまり4

です。

8票では、自分を含め5人が8票以上になる可能性があります。

したがって、

8＋1＝9票

あれば確実に上位4人へ入れます。

答えは、

9票

です。

この形式では、

総得票数÷（当選人数＋1）

を基準に考えると整理しやすくなります。

なぜ「1票多くする」のかを理解する

投票算で子どもがつまずきやすいのが、

「なぜ最後に1を足すの？」

という部分です。

44票を5人で考えた場合、

44÷5＝8あまり4

でした。

8票では、

A＝8票
B＝9票
C＝9票
D＝9票
E＝9票

のような分かれ方が可能です。

Aは8票でも5位になってしまいます。

しかしAが9票持っていれば、Aより多い票を4人全員が取るためには、

少なくとも

10×4＋9＝49票

必要です。

44票しかないので不可能です。

したがって9票なら確実に4位以内に入れます。

「商に1を足す」という操作だけを暗記するのではなく、1票少ないと落選する例を実際に作ると理解しやすくなります。

開票途中の得票数問題の解き方

まず残り票数を確認する

応用問題では、開票途中の得票数が示されます。

たとえば、

全体200票
150票まで開票済み
残り50票

という状況です。

まず確認するのは、

200－150＝50票

です。

この50票が誰に入るかによって順位が変わります。

開票途中の問題では、現在の票数だけを見るのではなく、

これから動く可能性のある票数

を必ず確認します。

ライバルに最も不利な票の入り方を考える

「Aさんが確実に当選するにはあと何票必要か」という問題では、Aさんにとって最悪の票の入り方を考えます。

たとえば残り30票あり、

A＝40票
B＝38票
C＝35票

とします。

今はAが1位ですが、残り票がすべてBやCへ入れば順位は変わります。

したがって、

「現在1位だから大丈夫」

とは言えません。

Aが確実に当選するためには、

残り票がライバルへできるだけ多く入った場合でも順位が逆転しない

ことを確認する必要があります。

これが投票算の応用で最も重要な考え方です。

同票になる場合の扱いに注意する

投票算では、「同票」が重要になることがあります。

問題文に、

同票の場合は決選投票
同票の場合はくじ引き
同票でも当選できる

などの条件が書かれている場合は、その条件に従います。

何も書かれていない場合も、

「確実に当選」

と問われているなら、同票で当選できない可能性まで考える必要があります。

だからこそ、

「ギリギリ同じ票数」

ではなく、

「必ず上回る票数」

まで取ることが重要です。

投票算が苦手な子への家庭での教え方

いきなり式ではなく「最悪の場合」を言葉にする

家庭で投票算を教えるとき、最初から、

総票数÷（当選人数＋1）

と公式のように覚えさせるのはおすすめしません。

まず、

「この人が落選するとしたら、他に何人が同じか、それ以上の票を取ればいい？」

と聞いてみてください。

上位3人が当選なら、

自分より上に3人いれば落選

です。

すると、

自分＋3人＝4人

で票を分けるという考え方が自然に出てきます。

少人数の具体例で実際に票を配る

抽象的な数字が苦手な子には、小さい数字から練習します。

たとえば、

10票
3人立候補
1人当選

とします。

5票なら、

5対5

になる可能性があります。

6票なら、残りは4票なので必ず勝てます。

つまり6票が確実に当選するための最小得票数です。

このように実際に票を配ると、

「半分ではまだ確実ではない」
「1票多ければ決まる」

という感覚がつかめます。

「確実に」と「可能性がある」を区別する

投票算では、この2つを区別することが非常に重要です。

たとえば4人が当選する選挙で8票持っていたとして、

「当選する可能性」はあるかもしれません。

しかし、

「確実に当選できる」

とは限りません。

家庭では、

「この票数で当選する例を作れる？」
「逆に落選する例も作れる？」

と聞いてみてください。

両方作れるなら、まだ「確実」ではありません。

落選する例が作れなくなったところが、確実に当選できる票数です。

表を書いて得票数を整理する

開票途中の問題では、頭の中だけで票を動かすと混乱します。

そこで、

A　40票
B　37票
C　32票
D　28票
残り　25票

のように表を書きます。

さらに、

「残り票が全部Bに入ったら？」
「Cに集中したら？」

と書き足します。

投票算は場合分けの要素もあるため、情報を目に見える形にするだけでミスが減ります。

特に算数が苦手な子には、暗算より表を使わせるほうが効果的です。

まとめ｜得票数問題は「当選できない最大＋1」で考える

中学受験算数で得票数を扱う問題は、一般に「投票算」と呼ばれます。

代表的なのは、

確実に当選するための最小得票数
開票途中であと何票必要か
残り票によって順位がどう変わるか

を求める問題です。

基本となる考え方は、

「確実に当選する票数」を直接求めるのではなく、「当選できない最大の票数」を先に考えること

です。

上位4人が当選するなら、

自分＋自分以上の票を取る可能性がある4人

の5人で考えます。

そして、落選する可能性がある最大票数より1票多く取れば、確実に当選できます。

家庭では公式を暗記させるより、

「この票数なら落選する例を作れる？」
「あと1票増えたらどうなる？」

と実際に票を配らせてみてください。

投票算は、一見すると複雑な特殊算ですが、本質は条件整理です。

最悪の場合を考える→落選できる最大を求める→そこから1票増やす。

この流れが分かれば、得票数を扱う中学受験算数の問題にも落ち着いて対応できるようになります。