中学受験算数の電球問題｜点灯と消灯の解き方

中学受験算数の「電球問題」とはどんな問題？

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の電球問題の考え方、規則の見つけ方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、「電球を1回目は○個おきに操作する」「スイッチを押すたびに点灯と消灯をくり返す」といった問題が出ることがあります。

一見すると複雑ですが、実際に問われているのは主に「規則性」と「周期」です。

つまり、電球そのものの知識が必要なのではなく、「同じ動きが何回ごとに繰り返されるか」を見抜く算数の問題です。

ポイントを一つずつ整理すれば、算数が苦手な子でも十分対応できます。

電球問題は規則性を見つける問題

中学受験算数でいう電球問題では、たとえば次のような設定があります。

Aの電球は2回ごとに点灯する。
Bの電球は3回ごとに点灯する。

「2つの電球が次に同時に点灯するのは何回目か」

という問題です。

この場合、Aは、

2、4、6、8、10、12……

の回で点灯します。

Bは、

3、6、9、12……

の回で点灯します。

最初に同時に点灯するのは6回目です。

これは2と3の最小公倍数を考えていることになります。

つまり、見た目は電球の問題でも、実際には倍数や規則性の知識を使っています。

「何回目」と「何個点灯」を区別する

電球問題で子どもが混乱しやすいのが、「何回目」と「何個」の違いです。

たとえば、

「10回目に点灯する電球は何個あるか」

という問題では、

10回目＝操作の回数
何個＝点灯している電球の数

です。

この2つを同時に考えようとすると、何を求めているのか分からなくなることがあります。

問題文を読んだら、

「求めるものは回数？」
「それとも個数？」

と最初に確認させてください。

これだけでも、ミスはかなり減ります。

最初に小さい回数を書き出すのが基本

電球問題では、最初から大きな数を計算しようとしないことが大切です。

たとえば、スイッチを押すたびに、

消灯→点灯→消灯→点灯……

と変化するなら、

1回目：点灯
2回目：消灯
3回目：点灯
4回目：消灯

と書いてみます。

ここから、

奇数回なら点灯
偶数回なら消灯

という規則が見えてきます。

このように、最初の4～6回程度を書き出すだけで、問題の構造が見えやすくなります。

電球の点灯・消灯問題の基本的な解き方

ステップ1｜電球ごとの変化を表にする

たとえば、AとBという2つの電球があり、

A：2回ごとに点灯
B：3回ごとに点灯

するとします。

次のように整理します。

1回目：A×　B×
2回目：A○　B×
3回目：A×　B○
4回目：A○　B×
5回目：A×　B×
6回目：A○　B○

○を点灯、×を消灯として書けば、6回目で2つが同時に点灯すると分かります。

頭の中だけで処理するより、表にした方が圧倒的に分かりやすくなります。

ステップ2｜何回ごとに元に戻るか調べる

次に注目したいのが「周期」です。

周期とは、同じ状態に戻るまでの間隔です。

たとえば、

点灯→消灯→点灯→消灯……

なら、2回で同じ動きが繰り返されます。

一方、

点灯→点灯→消灯→点灯→点灯→消灯……

なら、3回ごとに同じパターンが繰り返されています。

中学受験では、この周期を見つけられるかどうかが大きなポイントになります。

ステップ3｜余りを使って大きな回数を処理する

たとえば、3回ごとに同じ状態を繰り返す電球があるとします。

「100回目の状態」を求める場合、100回すべてを書き出す必要はありません。

100÷3＝33あまり1

となります。

つまり、100回目は周期の「1回目」と同じ状態です。

この「割った余りを見る」という方法は、電球問題だけでなく、曜日、じゃんけん、並び方、色の繰り返しなど多くの規則性問題で使えます。

中学受験で出る電球問題の典型パターン

一定の回数ごとに点灯する問題

代表的なのが、

Aは2回ごと
Bは3回ごと
Cは4回ごと

に点灯するような問題です。

「3つが同時に点灯する最初の回」を求めるなら、

2、3、4の最小公倍数を考えます。

最小公倍数は12ですから、

答えは12回目です。

ここでは、電球という設定に惑わされず、「何の算数を使う問題なのか」を見抜くことが重要です。

スイッチを押すたびに状態が変わる問題

次のような問題もあります。

「最初は消えている電球があります。スイッチを押すたびに点灯と消灯を交互に繰り返します。25回押したあとはどうなっていますか」

最初は消灯。

1回目：点灯
2回目：消灯
3回目：点灯

ですから、

奇数回目＝点灯
偶数回目＝消灯

となります。

25は奇数なので、答えは点灯です。

非常に単純に見えますが、問題文が長くなると同じ考え方に気づけない子も少なくありません。

複数の電球が同時に点灯する問題

たとえば、

Aは4秒ごと
Bは6秒ごと

に点灯するとします。

2つが同時に点灯するタイミングは、4と6の共通の倍数です。

4の倍数は、

4、8、12、16、20、24……

6の倍数は、

6、12、18、24……

なので、12秒ごとに同時点灯します。

「120秒間で何回同時に点灯するか」なら、

120÷12＝10

となります。

ただし、0秒の時点を「1回」と数える条件なら答えが変わります。

電球問題では、スタート時点を数えるのかどうかを必ず確認する必要があります。

最後に何個点灯しているかを求める問題

少し難しくなると、

1番から20番までの電球があり、一定のルールでスイッチを切り替えていく

という問題も登場します。

たとえば、

1回目：すべての電球を切り替える
2回目：2の倍数番の電球を切り替える
3回目：3の倍数番を切り替える

という形式です。

このタイプでは、「ある電球が何回操作されるか」に注目します。

6番の電球なら、

1、2、3、6

の回で操作されるため4回切り替わります。

最初が消灯で、偶数回切り替われば最後も消灯です。

ここでは約数の個数という考え方も関係します。

つまり、電球問題は、倍数・約数・規則性が組み合わさることもある単元です。

電球問題が苦手な子への家庭での教え方

頭の中で考えさせず○×を書かせる

電球問題が苦手な子ほど、頭の中だけで状態を追いかけようとします。

すると、

「今ついていたっけ？」
「何回切り替えた？」

と混乱します。

そこで、

点灯＝○
消灯＝×

と決めて、紙に書かせましょう。

たとえば、

×→○→×→○→×

と並べるだけでも、規則が見えやすくなります。

家庭学習では「書き出すのは遠回りではない」と伝えてあげることが大切です。

「周期」と「余り」をセットで練習する

周期が分かったら、次に余りを使う練習をします。

たとえば4回周期なら、

23÷4＝5あまり3

だから、

23回目＝周期の3番目

と考えます。

最初は、

7回目
11回目
15回目

のような小さい数から練習してください。

いきなり100回目、1000回目を扱うより、仕組みを理解しやすくなります。

問題文の条件を一つずつ整理する

電球問題は、条件が多くなるほど読解力も必要になります。

問題文に、

「2回ごと」
「3回ごと」
「最初は消えている」
「0秒のときは数えない」

などが書かれていたら、重要な条件に線を引かせます。

さらに、

A：2回ごと
B：3回ごと
初め：消灯

のように短く書き直すと、かなり整理しやすくなります。

算数が苦手な子にとっては、計算以前に「条件を整理する」ことが大切です。

間違えたら答えより表を見直す

電球問題を間違えたとき、すぐに正解だけを教えるのはおすすめできません。

まず、

「何回目まで正しく書けているか」
「周期を正しく見つけたか」
「余りの意味を理解しているか」

を確認してください。

たとえば100回目を間違えていても、6回目までは正しく表を書けているなら、つまずきは周期を大きな回数に当てはめる部分にあります。

このように、どこで間違えたかを細かく見ると、必要な復習が明確になります。

まとめ｜電球問題は規則を書き出せば怖くない

中学受験算数の電球問題では、電球そのものについて詳しい知識は必要ありません。

大切なのは、

「どんな順番で点灯・消灯するのか」

「何回ごとに同じ状態に戻るのか」

「大きな回数を周期で割ると余りはいくつか」

という3点です。

まずは小さい回数を書き出し、○と×で状態を整理しましょう。

そのうえで周期を見つけ、大きな回数では割り算の余りを使います。

また、複数の電球が同時に点灯する問題では最小公倍数、電球を何回切り替えるかを考える問題では約数が関係することもあります。

家庭で教えるときは、最初から公式やテクニックを覚えさせるより、

「まず6回くらいまで書いてみよう」

と声をかけるのがおすすめです。

電球問題は、規則を目で確認できるようになれば急に分かりやすくなる単元です。

焦って難しい問題へ進まず、「書き出す→周期を見つける→余りで処理する」という順番を定着させていきましょう。