中学受験算数の合同｜見分け方と解き方を解説

中学受験算数の「合同」とは何か

この記事では、中学受験算数の「合同」について、基本の意味から入試問題での使い方、家庭での教え方まで順を追って分かりやすく解説します。

合同とは、形も大きさも同じで、向きを変えたり裏返したりするとぴったり重なる図形のことです。

中学受験では、単に「合同な図形を選ぶ」だけでなく、合同を利用して辺の長さ、角度、面積などを求める問題が多く出ます。

合同とは重ねるとぴったり一致する図形

たとえば、三角形Aと三角形Bがあるとします。

三角形Bを回転させたり、裏返したりして三角形Aにぴったり重なるなら、この2つは合同です。

ここで大切なのは、

同じ向きに置かれている必要はない

ということです。

図形問題では、片方が逆さまになっていたり、90度回転していたりすることがあります。

算数が苦手な子は、向きが違うだけで「別の形」と感じることがあるため、まずは重ねるイメージを持たせることが重要です。

対応する辺と角をそろえて見る

合同な図形では、対応する辺の長さと角の大きさがそれぞれ等しくなります。

たとえば、

△ABCと△DEFが合同

で、

AとD
BとE
CとF

が対応しているなら、

AB＝DE
BC＝EF
CA＝FD

となります。

角も同じように、

∠A＝∠D
∠B＝∠E
∠C＝∠F

です。

中学受験で特に大切なのは、「どこがどこと対応しているのか」を間違えないことです。

相似との違いを理解する

合同とよく混同されるのが相似です。

合同は、

形も大きさも同じ

です。

一方、相似は、

形は同じだが大きさは違ってもよい

という関係です。

たとえば一辺3cmの正三角形と、一辺6cmの正三角形は相似ですが合同ではありません。

一辺がすべて同じなら合同です。

簡単に言えば、

合同＝コピー
相似＝拡大・縮小したコピー

と考えると分かりやすいでしょう。

合同を使う中学受験算数の基本問題

中学受験では、合同そのものを答えさせるより、「合同を使って別の量を求める」問題が中心です。

例題1｜三角形の合同から辺の長さを求める

【問題】

△ABCと△DEFが合同で、AとD、BとE、CとFがそれぞれ対応しています。

AB＝5cm、BC＝7cm、CA＝8cmのとき、EFの長さを求めなさい。

【解き方】

BとE、CとFが対応しているので、

BCとEF

が対応します。

BC＝7cmなので、

EF＝7cm

です。

答えは、

7cm

です。

この問題では、図形を計算する必要はありません。

「どことどこが対応するか」を見るだけです。

例題2｜折り返しでできる合同を見つける

折り紙や図形の折り返し問題では、合同がよく使われます。

たとえば、ある三角形を線に沿って折り返したとします。

折る前と折った後の三角形は、形も大きさも変わりません。

つまり合同です。

折り返しの線を軸として、

元の点と移った点までの距離が等しい

という性質を使うこともあります。

このため、折り返し問題では、

「折る前と折った後は合同」

と考えるのが基本です。

例題3｜補助線を引いて合同な三角形を作る

中学受験らしいのが、自分で補助線を引いて合同を作る問題です。

たとえば正方形やひし形の中に斜線が引かれている問題で、

「この2つの三角形が合同になるように補助線を引く」

と考えることがあります。

このとき、

共通する辺
等しい辺
等しい角

に注目します。

算数が苦手な子は、補助線を「思いつき」で引こうとします。

そうではなく、

「同じ長さを作れないか」
「同じ三角形を2つ見つけられないか」

と考えると補助線の候補が見えてきます。

例題4｜合同を使って面積を求める

合同な図形は面積も等しくなります。

たとえば大きな長方形の中がいくつかの三角形に分けられ、合同な三角形が2つある場合、

一方の面積が12cm²なら、もう一方も12cm²です。

そのため、

全体の面積－合同な部分の面積

という形で残りの面積を求めることもできます。

入試では「合同だから長さが等しい」だけでなく、

合同だから面積も等しい

という使い方も覚えておきましょう。

合同問題でつまずきやすいポイント

合同は考え方自体は難しくありませんが、図形の見方でミスしやすい単元です。

見た目だけで合同だと決めてしまう

最も多いのが、

「形が似ているから合同」

と判断してしまうミスです。

合同では、

形だけでなく大きさも同じ

でなければなりません。

たとえば正三角形同士でも、一辺3cmと一辺5cmなら合同ではありません。

図を見た印象ではなく、辺や角の情報を確認することが大切です。

対応する頂点を取り違える

合同な三角形でよくあるミスが、頂点の対応間違いです。

たとえば、

△ABCと△DEFが合同

でも、

AとD
BとF
CとE

が対応している場合もあります。

名前の順番だけで決めず、実際の図で確認しましょう。

家庭では、

「Aはどこに重なる？」
「Bはどこ？」

と一つずつ確認させると間違いが減ります。

合同と相似を混同する

相似を学んだ後は、合同との区別があいまいになりやすくなります。

相似では、

対応する辺の比が同じ

です。

合同では、

対応する辺そのものが同じ長さ

です。

たとえば辺の比が1：1なら、相似な図形は結果として合同になります。

逆に2：3なら相似ですが合同ではありません。

合同を見つけても次の一手が分からない

「この2つが合同だ」と気づいても、そこで止まる子もいます。

大切なのは、

合同だから何が分かるのか

を続けて考えることです。

合同なら、

対応する辺が等しい
対応する角が等しい
面積が等しい

という情報が使えます。

問題で求めたいものが長さなら対応する辺、角度なら対応する角、面積なら合同部分の面積に注目します。

家庭でできる合同問題の教え方

合同は、紙に書かれた図だけで考えるより、実際に動かすイメージを持つと理解しやすくなります。

図形を回転・裏返しして重ねるイメージを持たせる

家庭では、紙に同じ三角形を2つ描いて切り取ってみるのもおすすめです。

一方を回転したり裏返したりして重ねると、

「向きが違っても合同」

という意味が分かります。

特に小4・小5では、実際に手を動かす経験が理解につながります。

同じ長さ・同じ角に印をつける

問題を解くときは、同じ長さの辺に同じ印をつけます。

たとえば、

AB＝DE

なら、それぞれに同じ本数の線をつけます。

同じ角には同じ印をつけます。

こうすると、図が複雑でも対応関係が見えやすくなります。

頭の中だけで覚えないことがポイントです。

「合同だから何が分かる？」まで言わせる

子どもが、

「この三角形とこの三角形は合同」

と答えたら、そこで終わらせません。

続けて、

「合同だから何が分かる？」

と聞いてください。

たとえば、

「この辺とこの辺が同じ」
「この角とこの角が同じ」
「面積も同じ」

と言えれば理解できています。

図形問題では、この一歩先が得点につながります。

翌日と1週間後に類題を解き直す

合同問題は、解説を見た直後は簡単に感じます。

しかし、図の向きが変わると急に分からなくなることがあります。

そこで、

当日：例題を理解
翌日：向きを変えた類題
1週間後：補助線を使う問題

という順番で復習します。

同じ考え方を別の図で使えるようになれば、入試問題への対応力が上がります。

まとめ｜中学受験算数の合同は「対応関係」を見る

中学受験算数の合同で大切なのは、

どの辺とどの辺、どの角とどの角が対応しているかを見ること

です。

合同な図形は、

形が同じ
大きさが同じ
対応する辺が等しい
対応する角が等しい
面積も等しい

という特徴があります。

一方、相似は形は同じでも大きさが違ってよいので、ここは区別しておきましょう。

中学受験では、

「合同な図形を選びなさい」

という単純な問題だけでなく、

合同を使って辺の長さを求める
角度を求める
面積を求める
補助線を引く

といった形で出題されます。

家庭で子どもが止まったら、

「どこが同じ？」
「回転させたら重なる？」
「合同なら何が分かる？」

と順番に聞いてみてください。

特に図形が苦手な子ほど、すぐに計算を始めるより、

同じ長さ
同じ角
共通する辺

に印をつけることが有効です。

合同は、それ単独で終わる単元ではありません。

相似、面積比、補助線、折り返し、回転移動など、さまざまな図形問題の土台になります。

だからこそ、「合同の条件を暗記する」だけでなく、合同を見つけた後に何が分かるのかまで考える習慣を身につけておきましょう。