中学受験算数の六角形｜角度と面積の解き方

中学受験算数で覚えたい六角形の基本

この記事では、中学受験算数の六角形について、内角・正六角形の基本から角度、面積、補助線を使う応用問題まで、家庭で教えやすい順番で解説します。

中学受験算数の図形問題では、三角形や四角形だけでなく六角形もよく登場します。

特に重要なのが「正六角形」です。

正六角形には、角度や辺の長さに使いやすい性質があるため、その特徴を知っているだけで複雑に見える問題が一気に簡単になることがあります。

ただし、公式だけを丸暗記するのではなく、「三角形に分けて考える」という基本を身につけることが大切です。

六角形の内角の和は720度

六角形の内角の和は720度です。

多角形の内角の和は、

（辺の数－2）×180度

で求められます。

六角形なら辺が6本なので、

（6－2）×180
＝4×180
＝720度

となります。

なぜ「6－2」になるのでしょうか。

六角形の1つの頂点から対角線を引くと、六角形を4つの三角形に分けられます。

三角形1つの内角の和は180度なので、

180×4＝720度

になるわけです。

子どもには公式だけを覚えさせるより、紙に六角形を描いて実際に三角形へ分けると理解しやすくなります。

正六角形の1つの内角は120度

正六角形とは、

6本の辺の長さがすべて等しい
6つの角の大きさがすべて等しい

六角形です。

内角の和が720度で、6つの角がすべて同じなので、

720÷6＝120度

となります。

つまり、正六角形の1つの内角は120度です。

中学受験では、

「正六角形だから120度」

とすぐ使えるようにしておくと便利です。

ただし、「六角形ならすべて120度」ではありません。

120度になるのは正六角形の場合です。

この違いは必ず確認しておきましょう。

正六角形は正三角形6個に分けられる

正六角形で最も重要な性質の一つです。

正六角形の中心と6つの頂点を結ぶと、同じ形の三角形が6個できます。

中心のまわりは360度なので、

360÷6＝60度

です。

さらに正六角形では、中心から頂点までの長さと六角形の1辺の長さが等しくなります。

そのため、できる三角形はすべて正三角形です。

つまり、

正六角形＝正三角形6個

と見ることができます。

この見方は、角度だけでなく面積や辺の長さを求める問題でも非常に役立ちます。

中学受験でよく出る六角形の角度問題

六角形の角度問題では、内角の和をそのまま使う問題から、正六角形と三角形を組み合わせた応用問題まで出題されます。

難しく見えたら、まず「三角形にできないか」と考えてみましょう。

内角の和を使って未知の角を求める

たとえば、ある六角形の5つの内角が、

100度
120度
130度
140度
110度

だったとします。

残り1つの角を求める問題です。

六角形の内角の和は720度なので、

100＋120＋130＋140＋110＝600度

です。

したがって残りの角は、

720－600＝120度

となります。

このタイプでは、

六角形だから内角の和は720度

と判断できることが第一歩です。

問題の数字だけを見て足したり引いたりするのではなく、最初に「図形全体の決まり」を確認しましょう。

正六角形の中心角は60度

正六角形の中心と隣り合う2つの頂点を結ぶと、中心角は60度になります。

理由は、

360÷6＝60度

だからです。

さらに先ほど説明したように、中心から頂点までの長さと六角形の1辺は等しくなるため、その三角形は正三角形になります。

したがって3つの角はすべて60度です。

中学受験では、

正六角形
円
正三角形

を組み合わせた問題がよくあります。

正六角形を見た瞬間に、

「中心から頂点へ線を引くと正三角形ができるかもしれない」

と考えられるようになると、応用問題への対応力が上がります。

対角線を引いて三角形に分ける

六角形の角度問題で行き詰まったら、補助線を引いて三角形を作るのが基本です。

たとえば六角形の1つの頂点から、隣り合っていない頂点へ対角線を引くと、複数の三角形に分けられます。

三角形になれば、

内角の和＝180度

という使い慣れたルールへ戻れます。

図形問題が苦手な子は、複雑な図を複雑なまま見続けてしまいがちです。

六角形を見たら、

「三角形をいくつ作れるかな？」

と声をかけるだけでも、考える方向が見えやすくなります。

六角形の面積問題を解く3つの考え方

中学受験では、六角形の面積そのものを求めるだけでなく、六角形の一部を塗った面積や、ほかの図形と組み合わせた問題も出題されます。

基本となる方法は3つです。

三角形に分割して面積を求める

最も基本的なのが、六角形を三角形に分ける方法です。

たとえば正六角形なら、中心と6つの頂点を結ぶことで6個の合同な三角形に分けられます。

三角形1個の面積が8cm²なら、

8×6＝48cm²

となります。

複雑な六角形でも、

三角形
長方形
台形

など、面積を求められる形に分ければ計算できます。

面積問題では「六角形の公式を探す」のではなく、「知っている図形に分ける」ことが重要です。

大きな図形から不要な部分を引く

六角形を分割するより、外側に大きな長方形や正方形を作ったほうが簡単な場合もあります。

たとえば六角形が長方形の四隅を一部切り取った形なら、

大きな長方形の面積
－
四隅の三角形の面積

で求められます。

この方法を「全体から引く」と考えておくとよいでしょう。

図形問題では、

細かく足す
大きく見て引く

の両方を比較します。

計算回数が少なくなる方法を選べるようになると、入試での時間短縮にもつながります。

正六角形では正三角形の性質を利用する

正六角形の場合は、正三角形6個という性質が特に重要です。

たとえば正六角形の一部だけが色付けされていても、

全体の6分の1
全体の3分の1
全体の2分の1

といった割合で考えられる場合があります。

面積を直接計算しなくても、

合同な三角形が全部で6個
そのうち色付きが2個

なら、

2÷6＝1/3

と判断できます。

中学受験では、面積そのものより「面積比」を聞かれる問題も多いため、同じ高さ・同じ底辺・合同な図形に注目する習慣をつけましょう。

六角形が苦手な子への家庭での教え方

六角形の問題が苦手だからといって、難しい図形問題を大量に解く必要はありません。

まず「図をどう見るか」を練習することが大切です。

公式より先に図へ分かる情報を書き込む

問題を読んだら、すぐ式を立てずに、

同じ長さ
同じ角度
平行
直角

などを図へ書き込みます。

正六角形なら、

6辺が等しい
内角は120度
中心角は60度

という情報があります。

問題文に書かれていなくても「正六角形」という言葉から分かる情報です。

家庭では、

「何が分かっている？」

と聞き、図に印を付けさせてみてください。

図形問題では、情報を目で見える形にするだけで解き方に気づくことがあります。

補助線は「三角形を作る」意識で引く

子どもから、

「補助線をどこに引けばいいの？」

と聞かれることがあります。

補助線には絶対的な決まりがあるわけではありませんが、六角形では、

三角形を作る
正三角形を見つける
知っている角度を増やす

という目的で引くことが多くあります。

特に正六角形なら、

中心と頂点を結ぶ

のが有力です。

いきなり正しい補助線を当てることを目指すのではなく、

「この線を引いたら何が分かる？」

と試す習慣をつけることが大切です。

難問より基本パターンの解き直しを優先する

六角形問題で間違えたときは、

内角の和を忘れた
正六角形の角度を忘れた
正三角形に気づかなかった
面積の分け方が分からなかった
計算を間違えた

のどれなのかを確認しましょう。

たとえば正六角形の中心角で間違えたなら、さらに難しい問題を解くより、

360÷6＝60度

となる理由をもう一度確認するほうが効果的です。

基本問題を自力で説明できるようになってから応用へ進みましょう。

「一度正解した」ではなく、数日後にも同じ考え方を使えることが定着の目安です。

まとめ｜六角形は三角形に分けると見通しがよくなる

中学受験算数の六角形では、まず次の基本を押さえましょう。

六角形の内角の和は720度。

正六角形の1つの内角は120度。

正六角形の中心角は60度。

そして正六角形は、中心から各頂点へ線を引くと6個の正三角形に分けられます。

この性質を理解していると、

・角度問題
・面積問題
・面積比
・円との複合問題
・補助線を使う問題

にも対応しやすくなります。

家庭で教えるときは、公式をすぐ答えさせるより、

「三角形に分けられない？」
「同じ長さはどこ？」
「正六角形だから分かる角度は？」

と問いかけてみてください。

六角形を見たまま考えると複雑でも、三角形や四角形など知っている形へ分解すれば、使える知識が増えていきます。

中学受験の図形問題で大切なのは、新しい公式をたくさん覚えることではありません。

複雑な形を、すでに知っている簡単な形へ置き換えることです。

六角形を見たら、まず三角形に分ける。

この習慣を身につけることが、角度・面積・応用問題を安定して解けるようになる第一歩です。