中学受験算数のトーナメント｜試合数の求め方

中学受験算数のトーナメント問題とは？

この記事では、中学受験算数のトーナメント問題について、試合数の基本的な求め方、リーグ戦との違い、応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、場合の数の一種として、

トーナメント戦
リーグ戦

を題材にした問題が出ることがあります。

特に大切なのが、

「参加チームが○チームのとき、優勝が決まるまで何試合必要ですか」

という問題です。

一見すると対戦表を書かなければ分からないように見えますが、トーナメント戦には非常にシンプルな考え方があります。

負けたチームが脱落する大会方式

トーナメント戦では、基本的に1試合するたびに負けた1チームが大会から脱落します。

たとえば4チーム、

A
B
C
D

が参加するとします。

最初に、

A対B
C対D

の2試合を行えば、2チームが脱落します。

残った2チームで決勝戦を1試合行い、さらに1チームが脱落します。

したがって全部で、

2＋1＝3試合

です。

最終的には優勝する1チームだけが残ります。

トーナメントの試合数は「チーム数－1」

ここで重要なのは、

1試合行う
↓
1チームが負ける
↓
1チームが脱落する

という関係です。

8チームから優勝1チームを決めるなら、

8－1＝7チーム

を脱落させる必要があります。

1試合につき1チームが脱落するので、

7試合

必要です。

つまり通常の勝ち抜きトーナメントでは、

試合数＝参加チーム数－1

と考えられます。

これは対戦表の形を暗記するより、ずっと応用しやすい考え方です。

リーグ戦との違いを整理する

ここで混同しやすいのがリーグ戦です。

トーナメント戦は、

負けたら脱落し、最後の1チームを決める

方式です。

一方のリーグ戦は、

参加チーム同士がそれぞれ対戦する

方式です。

たとえば4チームなら、

A－B
A－C
A－D
B－C
B－D
C－D

の6試合です。

トーナメントなら3試合なので、同じ4チームでも試合数は異なります。

中学受験算数でも、リーグ戦とトーナメント戦は場合の数のテーマとして並べて扱われています。

トーナメントの試合数を例題で解説

実際の問題を使って考えてみましょう。

8チームなら何試合必要？

例題です。

「8チームでトーナメント戦を行います。優勝チームが決まるまでに全部で何試合行われますか」

8チームのうち、最後に残るのは1チームです。

したがって負けるチームは、

8－1＝7チーム

です。

1試合で1チームずつ負けるので、

答えは7試合

となります。

対戦表を書くと、

1回戦：4試合
準決勝：2試合
決勝：1試合

なので、

4＋2＋1＝7試合

となり、同じ答えです。

10チームでも考え方は同じ

次は参加チーム数を10チームにしてみます。

「10チームでトーナメント戦をします。優勝が決まるまで全部で何試合必要ですか」

8チームや16チームなら、きれいな対戦表を想像しやすいのですが、10チームになると混乱する子がいます。

しかし考え方は変わりません。

優勝する1チーム以外の、

10－1＝9チーム

はどこかで1回負けます。

1試合につき1チームが負けるので、

9試合

です。

シードが入ったとしても、最終的に9チームを脱落させることには変わりません。

ここがトーナメント問題の大切なポイントです。

何回勝てば優勝できるかを求める

試合数ではなく、

「優勝チームは何回勝ちますか」

と聞かれることもあります。

たとえば16チームが全チーム同じラウンドから参加するトーナメントなら、

16チーム
↓
8チーム
↓
4チーム
↓
2チーム
↓
1チーム

となります。

したがって優勝チームは、

4回

勝ちます。

16は、

2×2×2×2

なので4回勝てば1チームになります。

同様に8チームなら、

8→4→2→1

なので3回です。

ただし、シードがあるトーナメントでは、チームによって必要な勝利数が異なるため、問題文の条件を確認しましょう。

参加人数を逆算する問題

逆向きの問題もあります。

「あるトーナメントでは全部で31試合行われました。参加チームは何チームですか」

通常の勝ち抜きトーナメントなら、

試合数＝参加チーム数－1

なので、

31＋1＝32

答えは32チームです。

公式として覚えるなら、

参加チーム数＝試合数＋1

となります。

ただし家庭では公式だけ暗記させず、

31試合で31チームが脱落した
↓
優勝した1チームを加える
↓
32チーム

と説明できるようにすると理解が安定します。

リーグ戦とトーナメント戦を見分ける方法

中学受験では、トーナメントだけでなくリーグ戦もよく比較されます。

ここを区別できると場合の数が安定します。

総当たり戦は組み合わせで数える

リーグ戦では、それぞれの2チームが1回ずつ対戦するとします。

4チームの場合、

AはB、C、Dと3試合
BはC、Dと2試合
CはDと1試合

なので、

3＋2＋1＝6試合

です。

5チームなら、

4＋3＋2＋1＝10試合

となります。

これは、

5チームから対戦する2チームを選ぶ

と考えても同じです。

8チームのリーグ戦は28試合

8チームなら、

7＋6＋5＋4＋3＋2＋1

を計算します。

答えは、

28試合

です。

一方、8チームのトーナメント戦なら、

8－1＝7試合

です。

同じ8チームでも、

トーナメント：7試合
リーグ戦：28試合

と大きく異なります。

この比較を一度しておくと、子どもも違いをイメージしやすくなります。

問題文の「全チームと対戦」に注目する

見分けるときは問題文に注目します。

「負けたチームは敗退する」
「勝者が次の試合へ進む」

ならトーナメントです。

一方、

「すべてのチームと1回ずつ対戦する」
「総当たり戦を行う」

ならリーグ戦です。

問題文を読んだら、いきなり計算せず、

「これは勝ち抜き？総当たり？」

と確認しましょう。

トーナメント問題が苦手な子への教え方

トーナメント問題が苦手な場合、公式を覚えさせる前に小さい数で確認すると理解しやすくなります。

4チームから実際に図を書く

まず4チームで対戦表を書きます。

A ─┐
　　├─ 勝者 ─┐
B ─┘　　　　│
　　　　　　├─ 優勝
C ─┐　　　　│
　　├─ 勝者 ─┘
D ─┘

この図なら、

最初に2試合
最後に1試合

で3試合だと分かります。

次に8チームでも書きます。

その後、

「毎回図を書かなくても求められない？」

と問いかけます。

試合数ではなく「負けた数」を考える

最も理解しやすい質問は、

「優勝するまで何チームが負ける？」

です。

8チームなら、

7チーム

が負けます。

10チームなら、

9チーム

です。

そして、

「1試合で何チーム負ける？」

と聞きます。

答えは1チームです。

だから試合数も、

チーム数－1

になります。

公式暗記より理由を説明させる

「トーナメントはn－1」

だけを暗記すると、少し形を変えられたときに迷います。

家庭では、

「どうして8チームなら7試合なの？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「優勝チーム以外の7チームが負けるから」

と言えれば、仕組みを理解しています。

中学受験では、このように理由から公式を作れる力が応用問題につながります。

リーグ戦とセットで練習する

最後は、

8チームでトーナメント
8チームでリーグ戦
10チームでトーナメント
6チームでリーグ戦

のように混ぜて出します。

先に、

「どの方式？」

と判断させることが大切です。

トーナメントだけ10問続けるより、リーグ戦と混ぜたほうが問題の種類を見抜く練習になります。

まとめ｜トーナメントは「1試合で1チーム脱落」が基本

中学受験算数のトーナメント問題では、

1試合すると1チームが負けて脱落する

という仕組みを理解することが最も大切です。

8チームなら、優勝する1チーム以外の、

8－1＝7チーム

が負けます。

したがって、

7試合

必要です。

10チームでも、

10－1＝9試合

です。

基本的な勝ち抜きトーナメントなら、

参加チーム数－1＝試合数

と考えられます。

一方、リーグ戦は全チーム同士が対戦するため考え方が異なります。

たとえば8チームなら、

トーナメント戦＝7試合
リーグ戦＝28試合

です。

問題文を読んだら、

勝ち抜きなのか
総当たりなのか

を最初に判断しましょう。

家庭で教えるときは、いきなり、

「人数から1を引く」

と公式を教える必要はありません。

4チーム程度のトーナメント表を書き、

「何チーム負けた？」
「1試合で何チーム負ける？」
「最後に何チーム残る？」

と順番に確認してください。

すると、

参加者から優勝者1人を除いた人数だけ敗者が出る
↓
敗者1人につき1試合必要
↓
試合数は参加人数－1

という意味が自然につながります。

トーナメント問題は、場合の数の中でも仕組みさえ分かれば計算はシンプルです。

公式だけを覚えるのではなく、「1試合で1チームが脱落する」という一点を理解しておけば、参加チーム数が変わる問題や逆算問題にも対応しやすくなります。