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中学受験の算数で、最も「家庭では教えにくい」と言われるのが立体図形です。
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- 切断・回転・展開図が頭に入らない
- 問題文と図が一致しない
- 点数が安定しない
こうした悩みは、“見て・触って・動かして理解できる教材”を使うと、驚くほど改善します。
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中学受験算数の三角形の面積で押さえる基本
三角形の面積公式は覚えているのに、うちの子が比や補助線の問題になると解けず私も困ります
この記事では、中学受験算数の三角形の面積について、基本公式から面積比・等積変形・補助線の考え方、家庭での教え方まで順を追って解説します。
中学受験算数の三角形の面積は、図形問題の土台になる重要単元です。
基本公式そのものは、
底辺×高さ÷2
ですが、入試では単純に数字を代入する問題より、
面積比
相似
平行線
補助線
等積変形
と組み合わされることが多くなります。
そのため、公式を暗記するだけでは足りません。
三角形の面積は「底辺×高さ÷2」
たとえば、
底辺8cm
高さ6cm
の三角形なら、
8×6÷2＝24
答えは、
24cm²
です。
ここで大切なのは、
8cmと6cmが「底辺と高さの組み合わせ」になっていることです。
高さは、底辺に対して垂直でなければなりません。
高さは底辺に垂直な長さを見る
算数が苦手な子は、
斜めの辺＝高さ
だと思ってしまうことがあります。
しかし高さは、
底辺に対して90度に交わる長さ
です。
三角形の外側に高さが出る場合もあります。
そのため、問題を見たら、
「どの辺を底辺にする？」
「その底辺に垂直なのはどこ？」
と確認しましょう。
底辺を変えても面積は求められる
三角形では、3つの辺のどれを底辺にしても構いません。
たとえば辺ABを底辺にしたら、その辺に対する高さを使います。
辺BCを底辺にしたら、今度はBCに対する高さを使います。
つまり、
底辺を変える
↓
対応する高さも変える
という関係です。
この感覚があると、複雑な図形でも「求めやすい底辺」を選べるようになります。
三角形の面積を例題で攻略
ここからは、中学受験でよく出る典型問題を確認します。
例題1｜基本の面積を求める
【問題】
底辺12cm、高さ7cmの三角形の面積を求めなさい。
【解き方】
12×7÷2
＝84÷2
＝42
答えは、
42cm²
です。
基本問題ではありますが、この公式が後の面積比の土台になります。
例題2｜同じ高さなら面積比は底辺比
【問題】
2つの三角形AとBがあります。
高さは同じで、底辺がそれぞれ4cmと6cmです。
面積比を求めなさい。
【解き方】
三角形の面積は、
底辺×高さ÷2
です。
高さが同じなら、
面積比＝底辺比
となります。
したがって、
4：6＝2：3
答えは、
2：3
です。
実際に面積を求める必要はありません。
例題3｜同じ底辺なら面積比は高さ比
今度は、底辺が同じ2つの三角形を考えます。
高さが、
3cm
5cm
なら、
面積比＝高さ比
なので、
3：5
です。
この関係は、中学受験で非常によく使います。
同じ高さ→底辺比
同じ底辺→高さ比
と整理して覚えましょう。
例題4｜平行線を使って等しい面積を見つける
同じ底辺を持つ2つの三角形があり、頂点がその底辺と平行な直線上にあるとします。
この場合、2つの三角形の高さは同じです。
底辺も同じ。
高さも同じ。
したがって、面積は等しくなります。
中学受験では、
平行線がある
↓
高さが同じ
↓
面積が等しい
という流れを見抜く問題がよく出ます。
中学受験で差がつく三角形の面積の考え方
基本が分かったら、次は入試で使う応用的な見方を身につけます。
面積比から長さの比を逆算する
同じ高さの2つの三角形で、
面積比が3：5
だとします。
高さが同じなら、
面積比＝底辺比
なので、
底辺比も3：5
です。
逆に、
同じ底辺で面積比が2：7
なら、高さ比も、
2：7
です。
この「面積比から長さ比へ戻す」考え方は、図形の比問題でよく使います。
等積変形で複雑な図形を簡単にする
等積変形とは、
面積を変えずに形を変える
考え方です。
たとえば同じ底辺を持ち、頂点が平行線上を動く三角形は、高さが変わりません。
そのため面積も変わりません。
つまり、
斜めで見にくい三角形
を、
計算しやすい位置へ動かして考える
ことができます。
入試では、複雑な図形をそのまま計算するより、等積変形で見やすくするほうが速いことがあります。
補助線で「同じ高さ」を作る
図形問題で補助線を引く目的の一つが、
同じ高さの三角形を作ること
です。
たとえば四角形の中に対角線を引くと、2つの三角形に分かれます。
その2つが同じ高さを持つなら、
面積比＝底辺比
が使えます。
補助線は「なんとなく引く」のではなく、
同じ高さ・同じ底辺を作れないか
と考えて引くと意味が明確になります。
相似と組み合わせて面積比を求める
中学受験では、相似と三角形の面積比が組み合わされることがあります。
たとえば相似な三角形の対応する辺の比が、
2：3
なら、面積比は、
2×2：3×3
＝4：9
です。
つまり、
辺の比を2乗すると面積比
になります。
逆に面積比が、
9：16
なら、
辺の比は、
3：4
と考えられます。
三角形の面積が苦手な子への家庭での教え方
三角形の面積が苦手な子には、公式を書かせる前に図を見る習慣をつけましょう。
公式より先に底辺と高さへ印をつける
問題を見たら、
底辺に赤線
高さに青線
のように印をつけます。
そして、
「この2本は垂直？」
と確認します。
ここが合っていれば、公式は自然に使えます。
「同じ高さ」「同じ底辺」を探す習慣をつける
比の問題では、
「面積はいくつ？」
と聞く前に、
「同じ高さの三角形はある？」
「同じ底辺はある？」
と聞いてみてください。
例えば同じ高さなら、
底辺2：5
→面積2：5
とすぐに判断できます。
この見方が身につくと、計算量が一気に減ります。
面積比は実際の面積を出さずに考える
面積比問題で、
底辺4cmと6cm
高さ5cm
だから、
10cm²と15cm²
と毎回計算する必要はありません。
同じ高さなら、
4：6＝2：3
で終わります。
中学受験では、
実際の面積を出さなくても比だけで解ける
ことが多くあります。
ここに気づくと、図形問題のスピードが上がります。
翌日と1週間後に図を変えた類題を解く
同じ形の問題だけを続けると、解き方の暗記になりがちです。
おすすめは、
当日：基本面積
翌日：同じ高さ・同じ底辺
1週間後：補助線や相似を含む問題
という順番です。
1週間後に、
「ここは同じ高さだから面積比は底辺比」
と自分から言えれば、考え方が定着しています。
まとめ｜三角形の面積は「底辺と高さの関係」を見る
中学受験算数の三角形の面積では、
底辺×高さ÷2
という公式が出発点です。
しかし入試で本当に重要なのは、
底辺と高さの関係を見ること
です。
同じ高さなら、
面積比＝底辺比
同じ底辺なら、
面積比＝高さ比
です。
さらに、
平行線
補助線
等積変形
相似
と組み合わせることで、複雑な図形も整理できます。
家庭で子どもが止まったら、
「どこを底辺にする？」
「高さはどこ？」
「同じ高さの三角形はない？」
「同じ底辺はない？」
と順番に聞いてみてください。
三角形の面積問題は、毎回すべての長さを求める必要はありません。
むしろ、
高さが同じ
底辺が同じ
相似になっている
といった関係を見つけることが大切です。
そして補助線も、
「同じ高さを作るため」
「同じ底辺を作るため」
と目的を持って引きます。
三角形の面積は、公式を計算する単元ではなく、底辺・高さ・比の関係を見抜く単元です。
この視点が身につけば、面積比・相似・等積変形など、中学受験らしい図形問題にも対応しやすくなります。
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