＼【中学受験】立体図形が “伸び悩みの壁” になっていませんか？／
中学受験の算数で、最も「家庭では教えにくい」と言われるのが立体図形です。
- 平面図だけではイメージできない
- 切断・回転・展開図が頭に入らない
- 問題文と図が一致しない
- 点数が安定しない
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中学受験算数の円でまず覚えたい基本
円の公式は覚えているのに、うちの子が入試問題になるとどこを使えばいいのか分からず私も不安です
この記事では、中学受験算数の円について、基本公式からおうぎ形・複合図形・円の移動まで、入試で使える考え方を順を追って解説します。
中学受験算数の円は、公式そのものは難しくありません。
しかし実際の入試では、
円周を求める
面積を求める
おうぎ形を考える
正方形や三角形と組み合わせる
など、複数の考え方が組み合わされます。
そのため、「公式を覚えた＝円が得意」とは限りません。
まずは基本となる言葉と公式を正確に整理しましょう。
半径・直径・円周の関係を整理する
円の中心から円周までの長さを、
半径
といいます。
中心を通り、円の端から反対側の端まで結んだ長さが、
直径
です。
したがって、
直径＝半径×2
となります。
たとえば半径4cmなら、
直径は8cm
です。
中学受験では、問題文に直径しか書かれていないのに、面積を求めるケースがあります。
その場合は最初に、
直径÷2＝半径
へ直すことが大切です。
円周と円の面積の公式を区別する
円では、よく使う公式が2つあります。
円周は、
直径×3.14
または、
半径×2×3.14
です。
円の面積は、
半径×半径×3.14
です。
例えば半径5cmなら、
円周
5×2×3.14＝31.4cm
面積
5×5×3.14＝78.5cm²
となります。
算数が苦手な子は、
「3.14が出るから同じような公式」
と混同しがちです。
家庭では、
「長さを求めるの？」
「広さを求めるの？」
と確認すると整理しやすくなります。
円周率3.14は最後までまとめて計算する
中学受験では、3.14を含む計算が多く出ます。
ここで毎回3.14を計算すると、数字が大きくなりミスが増えます。
たとえば、
8×8×3.14－4×4×3.14
なら、
64×3.14－16×3.14
と別々に計算するより、
（64－16）×3.14
＝48×3.14
とまとめたほうが簡単です。
3.14はできるだけ最後まで残す
という習慣をつけると、計算量を減らせます。
円の典型問題を例題で攻略する
ここからは、中学受験でよく出る円の問題を具体的に確認します。
例題1｜円周の長さを求める
【問題】
半径6cmの円の円周を求めなさい。
【解き方】
直径は、
6×2＝12cm
です。
円周は、
12×3.14＝37.68
答えは、
37.68cm
です。
この問題では、
半径をそのまま3.14倍しない
ことがポイントです。
例題2｜円の面積を求める
【問題】
直径10cmの円の面積を求めなさい。
【解き方】
まず半径を求めます。
10÷2＝5cm
円の面積は、
5×5×3.14
＝25×3.14
＝78.5
答えは、
78.5cm²
です。
面積問題では、
「直径のまま計算しない」
ことを習慣にしましょう。
例題3｜おうぎ形の面積を求める
【問題】
半径6cm、中心角90度のおうぎ形の面積を求めなさい。
【解き方】
円全体の面積は、
6×6×3.14
です。
90度は360度の4分の1なので、
6×6×3.14÷4
となります。
36÷4＝9
なので、
9×3.14＝28.26
答えは、
28.26cm²
です。
おうぎ形は、
「円全体の何分のいくつか」
と考えるのが基本です。
例題4｜正方形と円を組み合わせた面積問題
【問題】
一辺10cmの正方形の中に、直径10cmの円があります。正方形のうち、円以外の部分の面積を求めなさい。
【解き方】
正方形の面積は、
10×10＝100cm²
円の半径は、
10÷2＝5cm
なので、円の面積は、
5×5×3.14＝78.5cm²
したがって、
100－78.5＝21.5cm²
答えは、
21.5cm²
です。
複合図形では、
求めたい部分＝全体－不要な部分
と考えると簡単になることがあります。
中学受験の円で差がつく考え方
基本公式を覚えたら、次は入試で使う「関係」に注目します。
半径が2倍になると面積は4倍になる
円の面積は、
半径×半径×3.14
です。
半径が2倍になると、
2×2＝4
なので、面積は4倍になります。
半径が3倍なら、
3×3＝9倍
です。
つまり円の面積比は、
半径の比を2乗した比
になります。
例えば半径の比が、
2：3
なら、面積比は、
4：9
です。
実際に面積を計算しなくても答えられる問題があります。
おうぎ形は「円の何分のいくつ」で考える
中心角60度のおうぎ形なら、
60÷360＝1/6
なので、円全体の6分の1です。
中心角120度なら、
120÷360＝1/3
です。
面積だけでなく弧の長さも同じ考え方です。
つまり、
おうぎ形の面積
円全体の面積×中心角÷360
弧の長さ
円周×中心角÷360
となります。
「角度の割合」を見ることがポイントです。
複合図形は足すより引くほうが簡単なこともある
中学受験では、円が重なった図形や正方形の中に円が入った問題が出ます。
複雑な部分を細かく足すより、
大きな図形－不要な部分
としたほうが簡単な場合があります。
例えば、
正方形の中の円以外
なら、
正方形－円
です。
図形問題では、
「どう足すか？」
だけでなく、
「全体から何を引けばいい？」
と考えてみましょう。
円の移動では中心が進む道のりを見る
中学受験では、円が正方形や多角形の周りを転がったり移動したりする問題もあります。
このとき重要になるのが、
円の中心がどの道を通るか
です。
円の中心は、壁や辺から常に半径分だけ離れた場所を進みます。
したがって、外側を回る場合は角の部分で円弧ができることがあります。
円の移動問題で迷ったら、
「中心はどこを通る？」
と考えるのが基本です。
円の問題が苦手な子への家庭での教え方
円が苦手な子には、新しい公式を増やすより、問題を見たときの手順を決めてあげることが有効です。
公式を書く前に半径へ印をつける
円の問題を見たら、最初に半径を確認します。
直径しか書かれていなければ、
÷2
して半径を図に書き込みます。
例えば直径12cmなら、
半径6cm
と図に書きます。
これだけで、面積公式への代入ミスが減ります。
3.14をすぐ計算しない
計算ミスが多い子には、
3.14は最後
というルールを決めるのがおすすめです。
例えば、
7×7×3.14＋3×3×3.14
なら、
（49＋9）×3.14
＝58×3.14
までまとめます。
3.14の掛け算を1回にできるため、計算が楽になります。
図形を「円・半円・4分の1円」に分ける
複雑な図形を見たら、
これは円？
半円？
4分の1円？
と分けて考えます。
例えば半円なら、
円の面積÷2
です。
4分の1円なら、
円の面積÷4
です。
最初から全体を一つの難しい図形だと思わず、知っている形へ分解しましょう。
翌日と1週間後に類題を解き直す
円の問題は、公式を覚えた直後は解けても、条件が変わると迷うことがあります。
おすすめは、
当日：円周・面積
翌日：おうぎ形
1週間後：複合図形
という順番です。
1週間後に、
「まず半径を見る」
と自分から始められれば、解き方が定着しています。
まとめ｜中学受験算数の円は「半径」と「割合」を見る
中学受験算数の円では、まず基本公式を正確に使えることが重要です。
円周は、
直径×3.14
円の面積は、
半径×半径×3.14
です。
そのうえで入試問題では、
半径
中心角
面積比
複合図形
円の移動
へ考え方を広げていきます。
特に意識したいのは、
円の問題では最初に半径を見ること
です。
そしておうぎ形なら、
「円全体の何分のいくつ？」
と考えます。
複合図形なら、
「足すより、全体から引けない？」
と考えます。
さらに3.14はできるだけ最後まで残せば、計算ミスも減らせます。
家庭で子どもが止まったら、
「半径はいくつ？」
「円全体の何分のいくつ？」
「知っている形に分けられない？」
「全体から引けない？」
と順番に聞いてみてください。
円の問題は、公式をたくさん暗記する単元ではありません。
半径を基準にして、円全体と部分の関係を見ること。
この考え方が身につけば、円周・面積・おうぎ形だけでなく、面積比や複合図形、円の移動といった中学受験らしい応用問題にも対応しやすくなります。
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