中学受験算数の周期算｜余りを使う解き方

中学受験算数の周期算とは？

この記事では、中学受験算数の周期算について、周期の見つけ方、余りを使う基本の解き方、曜日や図形を使った応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

周期算とは、同じ並びや動きが一定の間隔で繰り返されることを利用して解く問題です。

たとえば、

赤、青、黄、赤、青、黄、赤……

という並びなら、

赤・青・黄

の3個が繰り返されています。

この「同じ状態に戻るまでのまとまり」を1周期と考えます。

中学受験では、

色や記号
曜日
数の並び
点の移動
図形の回転

など、さまざまな形で出題されます。

同じ並びが繰り返される問題

まず、簡単な例を見てみましょう。

○、△、□、○、△、□、○、△、□……

と並んでいるとします。

この場合、

○、△、□

の3個で同じ並びに戻ります。

したがって1周期は3個です。

もし「100番目は何ですか」と聞かれても、100個すべてを書く必要はありません。

100を3で割り、周期のどこに当たるかを調べます。

まず「1周期に何個あるか」を見つける

周期算では、計算より前に、

「どこからどこまでが1セット？」

を見つけることが重要です。

たとえば、

赤、赤、青、黄、赤、赤、青、黄……

なら、

赤・赤・青・黄

の4個が1周期です。

赤が2回続いているからといって、2個周期ではありません。

「次もまったく同じ並びになるところまで」を1周期と考えます。

家庭では、繰り返している部分へ線を引いたり囲んだりすると見つけやすくなります。

割り算の余りが周期内の位置を表す

先ほどの、

○、△、□

という3個周期で、100番目を求めます。

100÷3＝33あまり1

です。

33周期で99個まで終わっています。

その次の100番目は、新しい周期の1番目です。

したがって答えは○です。

このように、

商＝何周期終わったか
余り＝次の周期の何番目か

と考えます。

周期算では、余りの意味を理解することが最も重要です。

周期算の基本的な解き方を例題で解説

ここでは、中学受験でよく出る基本パターンを見ていきます。

色や記号が繰り返される問題

例題です。

「赤、青、青、黄、赤、青、青、黄……と色を並べます。73番目は何色ですか」

1周期は、

赤・青・青・黄

の4個です。

73÷4＝18あまり1

なので、72個で18周期が終わっています。

73番目は次の周期の1番目。

したがって答えは赤です。

ポイントは、

1周期を見つける
↓
求めたい番号を周期の個数で割る
↓
余りから位置を決める

という順番です。

余りが0になるときに注意する

周期算で特に多いミスが、余り0の扱いです。

先ほどと同じ4個周期で、

72番目

を求めてみます。

72÷4＝18あまり0

です。

ここで、

「余り0だから0番目」

とは考えません。

72番目は18周期目の最後です。

つまり1周期の4番目なので、答えは黄です。

4個周期なら、

余り1→1番目
余り2→2番目
余り3→3番目
余り0→4番目

となります。

曜日を求める周期算

曜日も周期算の代表例です。

曜日は、

月、火、水、木、金、土、日

の7日周期です。

たとえば、

「今日が月曜日のとき、100日後は何曜日ですか」

とします。

100÷7＝14あまり2

です。

7日進むと同じ曜日に戻るので、98日後は月曜日。

さらに2日進むと水曜日です。

答えは水曜日です。

ただし、

100日後
100日目

では数え方が異なる場合があります。

「今日を0日目とするのか、1日目とするのか」を確認することが重要です。

何回現れるかを求める問題

周期算では、「何番目」だけでなく「何回出てくるか」を問われることもあります。

たとえば、

赤、青、黄、赤、青、黄……

を100個並べたとき、赤は何個あるか考えます。

1周期3個の中に赤は1個です。

100÷3＝33あまり1

なので、33周期の中には赤が33個あります。

さらに余り1個は新しい周期の最初なので赤です。

したがって、

33＋1＝34個

答えは34個です。

このタイプでは、

1周期の中に目的のものが何個あるか

も確認しましょう。

中学受験で出る周期算の応用問題

入試では、単純な色の繰り返しだけではありません。

複数の周期や図形の動きを組み合わせることがあります。

複数の周期が重なる問題

たとえば、

Aは3日ごとにイベント
Bは4日ごとにイベント

があるとします。

2人が同じ日にイベントになるのは何日ごとかを考えるなら、

3と4の最小公倍数

を求めます。

3と4の最小公倍数は12なので、12日ごとに重なります。

複数の周期が同時に元の状態へ戻る問題では、

最小公倍数

を使うことが多くなります。

途中から周期が始まる問題

少し難しくなると、

最初の2個だけ特別
3個目から同じ並びを繰り返す

という問題があります。

たとえば、

A、B、赤、青、黄、赤、青、黄……

なら、最初のA・Bは周期に含めません。

「50番目」を求める場合は、まず最初の2個を除きます。

50－2＝48

その後、

48÷3＝16

なので、50番目は周期の最後、黄です。

周期算では、

「最初から周期が始まっているとは限らない」

ことに注意しましょう。

図形の移動や点の位置を求める問題

点Pが正方形の頂点を、

A→B→C→D→A→……

と移動するとします。

4回で元の位置へ戻るので、周期は4です。

「103回移動した後、どこにいますか」

なら、

103÷4＝25あまり3

です。

Aから3回進むので、

A→B
B→C
C→D

となり、答えはDです。

このタイプでは、

最初の位置を0回目

として考えることが重要です。

数列・規則性と組み合わせた問題

周期算は数列とも組み合わせられます。

たとえば、

1、2、3、2、1、2、3、2、1……

と並ぶ数列です。

1周期は、

1、2、3、2

の4個です。

50番目なら、

50÷4＝12あまり2

なので、1周期の2番目。

答えは2です。

入試では、このように単純な色ではなく、数の並びとして周期が隠れていることがあります。

「数字が増えているように見える」だけで判断せず、同じ並びが戻っていないか確認しましょう。

周期算が苦手な子への家庭での教え方

周期算が苦手な子には、最初から割り算を教えるより、実際の並びを見せることが大切です。

最初は10個程度を書き出す

たとえば、

赤、青、黄、赤、青、黄……

なら、最初の10個くらいを書かせます。

すると、

赤・青・黄
赤・青・黄
赤・青・黄

と繰り返していることが見えます。

いきなり、

「3で割ればいい」

と教えると、なぜ割るのか分からないまま公式化してしまいます。

まず周期を目で見つけることが大切です。

1周期を囲んで見える化する

家庭では、

赤・青・黄｜赤・青・黄｜赤・青・黄

のように区切らせてください。

すると、

「3個で1セット」

という意味が視覚的に分かります。

算数が苦手な子ほど、

周期＝割る数

を結びつけることが重要です。

3個周期なら3で割る。

4個周期なら4で割る。

この意味を図で理解させましょう。

「商」と「余り」の意味を言葉にする

たとえば、

50÷4＝12あまり2

と計算したら、

「12は何？」
「余り2は何？」

と聞きます。

答えは、

12＝12周期終わった
2＝次の周期の2番目

です。

この説明ができれば、余りを機械的に使っているのではなく、周期算の仕組みを理解できています。

あまり0の扱いを繰り返し確認する

周期算で最も間違いやすいのは、

あまり0

です。

3個周期なら、

3番目
6番目
9番目
12番目

はすべて周期の最後です。

たとえば、

12÷3＝4あまり0

なので、12番目は1周期の3番目です。

家庭では、

「余り0なら周期の何番目？」

と繰り返し確認するとよいでしょう。

ただ暗記するのではなく、実際に並べて確かめると定着しやすくなります。

まとめ｜周期算は「周期を見つけて余りを見る」が基本

中学受験算数の周期算では、

同じ並びが何個で繰り返されるか

を見つけることが最初のポイントです。

たとえば、

赤、青、黄、赤、青、黄……

なら1周期は3個です。

100番目を求めるなら、

100÷3＝33あまり1

なので、100番目は新しい周期の1番目です。

周期算の基本は、

1周期を見つける
↓
求めたい番号を周期の個数で割る
↓
余りを見る
↓
周期内の位置を決める

という流れです。

また、

あまり0→周期の最後

になることも忘れないようにしましょう。

入試では、

曜日
図形の移動
複数周期
途中から始まる周期
数列・規則性

などへ発展します。

複数の周期が同時に重なる問題では最小公倍数を使うこともあります。

家庭で教えるときは、

「何で割るの？」

ではなく、

「どこまでが1セット？」
「何セット終わった？」
「余った分はセットの何番目？」

と順番に聞いてみてください。

周期算は、余りの公式を覚える単元ではありません。

繰り返しを見つけ、長い並びを短い1周期に置き換えて考える単元です。

最初は実際に書き出し、1周期を囲み、商と余りの意味を説明する。

この流れを身につければ、基本的な「何番目」問題から曜日・図形・規則性を組み合わせた中学受験の応用問題まで、安定して対応できるようになります。