中学受験算数の外角｜三角形・多角形の解き方

中学受験算数の外角でまず知っておきたい基本

この記事では、中学受験算数の外角について、基本の意味から三角形・多角形の典型問題、間違えやすいポイント、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数の角度問題では、「外角」が頻繁に登場します。

外角そのものは難しい考え方ではありません。

ただし、

内角と外角の関係
三角形の外角の性質
多角形の外角の和

を混同すると、途端に解けなくなります。

まずは3つを分けて整理しましょう。

外角は辺をのばしたときにできる角

多角形の1つの辺を、そのまままっすぐのばしたときにできる外側の角を外角と考えます。

例えば三角形ABCで、辺BCをCの先までのばしたとします。

すると、三角形の内側にある角Cと、その隣にできる外側の角が一直線になります。

この外側の角が外角です。

外角という言葉だけを覚えるより、

「辺をのばしてできる角」

と理解すると見つけやすくなります。

内角と外角の和は180度

内角と、その隣の外角は一直線上にあります。

したがって、

内角＋外角＝180度

です。

例えば内角が70度なら、

外角＝180－70
＝110度

です。

反対に外角が120度なら、

内角＝180－120
＝60度

です。

この関係は、三角形だけでなく多角形でも使います。

三角形の外角は離れた2つの内角の和

三角形では、さらに重要な性質があります。

1つの外角は、

その外角と隣り合わない2つの内角の和

になります。

例えば三角形の2つの内角が、

50度
60度

なら、残りの頂点につくられた外角は、

50＋60＝110度

です。

なぜなら、三角形の内角の和は180度だからです。

残りの内角は、

180－50－60＝70度

その隣の外角は、

180－70＝110度

となります。

つまり、

50＋60＝110度

です。

この性質を使うと、わざわざ残りの内角を出さずに一度で求められます。

外角の典型問題を例題で攻略

ここからは、中学受験でよく出る外角の問題を見ていきます。

例題1｜三角形の外角を求める

【問題】

三角形の2つの内角が45度と65度です。残りの頂点にある外角を求めなさい。

【解き方】

外角は、離れた2つの内角の和なので、

45＋65＝110

答えは、

110度

です。

もちろん、

180－45－65＝70度
180－70＝110度

でも求められます。

ただし入試では、前者のほうが速く処理できます。

例題2｜外角から内角を逆算する

【問題】

三角形の外角が130度で、その外角と離れた内角の1つが55度です。もう1つの内角を求めなさい。

【解き方】

外角は、離れた2つの内角の和です。

したがって、

130－55＝75

答えは、

75度

です。

この問題では、

外角＝2つの内角の和

を逆向きに使っています。

例題3｜二等辺三角形と外角を組み合わせる

【問題】

二等辺三角形ABCで、AB＝ACです。頂点Bの外角が110度のとき、角Aを求めなさい。

【解き方】

頂点Bの内角は、

180－110＝70度

です。

二等辺三角形なので、

角B＝角C＝70度

です。

したがって、

角A＝180－70－70
＝40度

答えは、

40度

です。

このように中学受験では、外角だけで終わらず、

二等辺三角形
平行線
正多角形

などと組み合わせて出題されます。

例題4｜複数の三角形がある図形で外角を使う

複雑な図形では、三角形がいくつも重なって見えることがあります。

このとき毎回、

三角形の内角の和180度

を使って一つずつ求めると、式が長くなります。

そこで、外角を見つけます。

例えばある三角形の外角が、

30度＋50度

で求められるなら、

80度

と一度で出せます。

角度問題では、

「この角は三角形の外角になっていないか？」

と見る癖をつけると、計算量を減らせます。

多角形の外角で差がつく考え方

外角は三角形だけでなく、多角形でも重要です。

特に正多角形では非常に便利です。

多角形の外角の和は360度

多角形の各頂点で、同じ向きに1つずつ外角を取ります。

すると外角の和は、

360度

になります。

三角形でも四角形でも五角形でも、

外角の和は360度

です。

これは図形の周りを一周すると、向きがちょうど一回転するからです。

正多角形は360度÷角の数で求める

正多角形では、すべての外角が等しくなります。

例えば正六角形なら、

360÷6＝60度

です。

したがって外角は、

60度

です。

正八角形なら、

360÷8＝45度

となります。

正多角形の外角は、

360度÷頂点の数

で求められます。

外角から正多角形の角数を逆算する

逆に、

「1つの外角が30度の正多角形は何角形か」

という問題も出ます。

この場合、

360÷30＝12

なので、

正十二角形

です。

外角が小さくなるほど、角の数は増えます。

この逆算は中学受験でよく出る形です。

内角の和を使うより外角が早い問題もある

例えば正十五角形の1つの内角を求めるとします。

内角の和を使うなら、

（15－2）×180÷15

と計算します。

しかし外角を使えば、

360÷15＝24度

なので、

180－24＝156度

です。

こちらのほうが簡単な場合があります。

多角形の角度問題では、

内角の和
外角の和360度

のどちらを使うと計算が短いか考えましょう。

外角が苦手な子への家庭での教え方

外角が苦手な子は、「外角」という言葉だけで覚えていることがあります。

図を動かしながら理解すると定着しやすくなります。

辺を実際にのばして外角を作る

紙に三角形を書き、1つの辺を定規でまっすぐのばします。

そして、

「三角形の外にできたこの角が外角だよ」

と確認します。

最初から完成した図を見せるより、自分で辺をのばすほうが位置関係を理解しやすくなります。

「180度になる2つの角」を探す

外角の問題で止まったら、

「この外角と足して180度になる角はどれ？」

と聞きます。

内角と外角が一直線になっていることを確認できれば、

180－内角

という基本へ戻れます。

公式を忘れても、一直線＝180度が分かれば解けます。

三角形では遠い2つの角に印をつける

三角形の外角では、

どの2つを足すのか

を間違える子がいます。

そこで外角を丸で囲み、

その角と隣り合わない2つの内角に○印をつけます。

「外角から離れている2つを足す」

と視覚的に確認すると間違いが減ります。

翌日と1週間後に向きを変えた類題を解く

外角は図の向きが変わるだけで、別の問題に見えることがあります。

おすすめは、

当日：基本三角形
翌日：逆向きの三角形
1週間後：二等辺三角形や多角形

という順番です。

図を回転させても、

内角＋外角＝180度
三角形の外角＝離れた2つの内角の和

を使えれば理解が定着しています。

まとめ｜外角は「180度」と「360度」を使い分ける

中学受験算数の外角では、まず3つの基本を押さえましょう。

1つ目は、

内角＋外角＝180度

です。

2つ目は、

三角形の外角＝離れた2つの内角の和

です。

3つ目は、

多角形の外角の和＝360度

です。

例えば三角形なら、

50度＋60度＝110度

で外角を求められます。

正六角形なら、

360÷6＝60度

で1つの外角を求められます。

そして1つの外角が30度の正多角形なら、

360÷30＝12

なので正十二角形です。

家庭で子どもが迷ったら、

「一直線で180度になる角はどれ？」
「この外角から離れた2つの角はどれ？」
「多角形を一周すると何度？」

と順番に聞いてみてください。

中学受験の角度問題では、すべての角を一つずつ求める必要はありません。

外角を見つけると、途中の計算を飛ばして一気に答えへ近づけることがあります。

「外角」という新しい公式を暗記するのではなく、

一直線なら180度
一周なら360度

という基本から理解することが大切です。

この視点が身につけば、三角形だけでなく、二等辺三角形・平行線・正多角形などが組み合わさった中学受験らしい角度問題にも対応しやすくなります。