中学受験算数の平均問題｜基本と応用の解き方

中学受験算数の平均問題で最初に覚える基本

この記事では、中学受験算数の平均問題について、基本公式から逆算、人数が違うグループの平均、面積図を使う応用問題まで、家庭で教えやすい順番で解説します。

平均は、小学校算数でも学ぶ基本的な内容です。

しかし中学受験では、

「平均を求めるだけ」

では終わりません。

一部の点数が分からない、人数の違うグループを合わせる、途中から人数が変わるなど、平均を使って別の数量を逆算する問題が増えます。

そこでまず重要なのが、

平均
合計
個数

の3つの関係です。

平均は「合計÷個数」で求める

たとえば4回のテストの点数が、

70点
80点
90点
100点

だったとします。

合計は、

70＋80＋90＋100＝340点

です。

4回分なので、

340÷4＝85点

平均は85点です。

基本となる考え方は、

平均＝合計÷個数

です。

平均問題が苦手な子は、この式だけを覚えていることがあります。

しかし中学受験では、平均そのものより「合計を戻す」問題のほうが重要です。

合計は「平均×個数」で逆算できる

平均が75点で、テストを6回受けたなら、合計点は、

75×6＝450点

です。

つまり、

合計＝平均×個数

となります。

中学受験の平均問題では、この考え方を頻繁に使います。

たとえば、

「5人の平均点が82点です」

と書かれていたら、すぐに、

82×5＝410点

と合計へ戻せるようにしておくと便利です。

家庭では平均の問題を見たら、

「全部でいくつになる？」

と最初に聞いてみてください。

平均は「真ん中の数」とは限らない

平均について誤解しやすいのが、

「並べたときの真ん中の数」

だと思ってしまうことです。

たとえば、

10、10、10、10、60

という5つの数があります。

真ん中の数は10ですが、平均は、

（10＋10＋10＋10＋60）÷5
＝100÷5
＝20

です。

平均は、全体を均等にならしたときの1個分の大きさです。

このイメージを持っておくと、応用問題も理解しやすくなります。

中学受験でよく出る平均問題のパターン

中学受験では、平均の公式を直接使うより、条件から合計を作って考える問題が多く出ます。

代表的なパターンを確認しましょう。

1人分だけ分からない問題

たとえば、

「5人のテストの平均点は78点です。4人の点数が70点、75点、80点、85点のとき、残り1人は何点ですか」

という問題です。

まず5人分の合計は、

78×5＝390点

です。

分かっている4人の合計は、

70＋75＋80＋85＝310点

なので、

390－310＝80点

答えは80点です。

このタイプは、

平均から合計を出す
↓
分かっている合計を引く

という順番で解きます。

人数の違う2つのグループを合わせる問題

ここは中学受験で特につまずきやすいところです。

たとえば、

A組20人の平均が70点
B組30人の平均が80点

だったとします。

全体の平均を、

（70＋80）÷2＝75点

としてはいけません。

人数が違うからです。

A組の合計は、

70×20＝1400点

B組の合計は、

80×30＝2400点

全体では、

1400＋2400＝3800点

人数は、

20＋30＝50人

なので、

3800÷50＝76点

となります。

平均同士を単純に平均できるのは、人数が同じ場合です。

平均が途中で変わる問題

たとえば、

「4人の平均点は72点でした。そこへ1人加わると5人の平均が74点になりました。加わった人は何点ですか」

という問題です。

最初の4人の合計は、

72×4＝288点

5人になったあとの合計は、

74×5＝370点

したがって新しく加わった1人は、

370－288＝82点

です。

人数が増えたり減ったりする平均問題では、

変化の前後それぞれの合計

を求めることがポイントです。

平均より上・下の差を使う問題

平均を基準に考える問題もよく出ます。

たとえば5人の平均が60点なら、全員が60点だったと考えれば合計は300点です。

実際には、

70点の人は平均より10点上
50点の人は平均より10点下

となります。

平均からの「上」と「下」が全体でつり合えば、平均は変わりません。

この考え方は、後で紹介する面積図ともつながります。

平均の応用問題を例題で解く

ここからは、中学受験らしい問題を実際に解いてみます。

合計を先に求める問題

例題です。

「6回のテストの平均は76点でした。7回目に90点を取ると、7回の平均は何点ですか」

最初の6回の合計は、

76×6＝456点

です。

7回目を加えると、

456＋90＝546点

となります。

7回分なので、

546÷7＝78点

答えは78点です。

ここで最初から、

76と90を平均する

のは誤りです。

76点は1回分の点数ではなく、6回分の平均だからです。

男女で人数が違う平均問題

「男子12人の平均点は70点、女子8人の平均点は80点です。全体の平均は何点ですか」

男子の合計は、

70×12＝840点

女子の合計は、

80×8＝640点

全体の合計は、

840＋640＝1480点

人数は、

12＋8＝20人

です。

したがって、

1480÷20＝74点

答えは74点です。

人数が多い男子の平均70点に、全体平均がやや近くなることも確認できます。

面積図を使う平均問題

平均問題では、面積図が役立つことがあります。

たとえば、

Aグループ20人の平均が70点
Bグループ30人の平均が80点

なら、

縦を平均点
横を人数

と考えます。

Aグループは、

70×20＝1400

Bグループは、

80×30＝2400

となり、この「面積」が合計点を表します。

全体では、

3800÷50＝76点

です。

面積図を使うと、

平均×人数＝合計

という関係を目で見て理解できます。

算数が苦手な子には、数字だけで処理するより分かりやすいことがあります。

平均問題が苦手な子への家庭での教え方

平均問題が解けないときは、新しい公式を増やすのではなく、平均・合計・個数の関係を何度も確認することが大切です。

平均・合計・個数の3つをセットで整理する

家庭では、問題文を読んだら、

平均
個数
合計

の3項目を書き出してみてください。

たとえば、

平均　80点
人数　5人
合計　？

なら、

80×5＝400点

とすぐ分かります。

逆に、

合計　400点
人数　5人
平均　？

なら、

400÷5＝80点

です。

この3つを自由に行き来できれば、平均問題の多くに対応できます。

単純に平均同士を足して2で割らない

平均問題で特に多いミスです。

Aグループ70点、Bグループ80点だから、

75点

と考えてしまいます。

まず、

「人数は同じ？」

と確認してください。

人数が違うなら、それぞれの合計を出してから全体を平均します。

家庭では、

「平均を合体させる前に、いったん全部の量に戻そう」

と教えると分かりやすいでしょう。

文章題は表や面積図で見える化する

条件が増えると頭の中だけでは混乱します。

たとえば、

グループ｜人数｜平均｜合計
A｜20人｜70点｜1400点
B｜30人｜80点｜2400点

のように表を作ります。

空いている欄を埋める感覚で解けば、何を計算すべきか見えやすくなります。

特に人数が増減する問題では、

変更前
変更後

の2行を作ると整理しやすくなります。

基本から応用へ1段ずつ進める

平均が苦手な子に、いきなり複数グループの難問を解かせる必要はありません。

おすすめは、

平均を求める
↓
合計を求める
↓
1人分を逆算する
↓
2グループを合わせる
↓
人数が変化する問題
↓
面積図を使う応用

の順です。

1つ前の段階が安定してから次へ進みましょう。

基本問題を10問中8～9問程度自力で解けるようになってから応用へ進むと、理解が崩れにくくなります。

まとめ｜平均問題は「まず合計に戻す」が基本

中学受験算数の平均問題では、

平均＝合計÷個数

という基本が出発点です。

さらに、

合計＝平均×個数

へ戻せることが非常に重要です。

入試では、

・1人分が分からない
・2つのグループを合わせる
・人数が途中で増減する
・男女など人数の違う集団を合わせる
・平均との差を利用する

といった問題へ発展します。

こうした問題で迷ったら、

「まず全部でいくつある？」

と考えてください。

平均だけを見て計算しようとするより、

平均
↓
合計
↓
必要な量を計算
↓
必要なら再び平均

という順番で考えると整理しやすくなります。

家庭では、

「公式は何？」

と聞くより、

「この平均は何人分？」
「全部の合計はいくら？」
「人数は同じ？」

と問いかけてみてください。

特に、人数の違う2つの平均をそのまま足して2で割るミスには注意が必要です。

平均問題は公式をたくさん覚える単元ではありません。

平均・合計・個数という3つの関係を正しく行き来する単元です。

「迷ったら合計に戻す」。

この習慣が身につけば、基本問題から中学受験らしい応用問題まで安定して解けるようになります。