中学受験算数の平面図形と比｜解き方を解説

中学受験算数の平面図形と比で押さえる基本

この記事では、中学受験算数の平面図形と比について、基本の関係から面積比・相似・平行線・補助線の使い方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、平面図形と比が組み合わさった問題が頻繁に出ます。

特に重要なのが、

同じ高さ
同じ底辺
相似
平行線

です。

図形問題というと、長さや面積をすべて計算したくなります。

しかし中学受験では、

実際の長さや面積を出さず、比だけで解く

ほうが速い問題も多くあります。

同じ高さなら面積比は底辺比

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

です。

2つの三角形で高さが同じなら、

高さ
÷2

の部分は共通です。

したがって、

面積比＝底辺比

になります。

例えば底辺が、

4cmと6cm

なら、

面積比は、

4：6＝2：3

です。

実際の面積を求める必要はありません。

同じ底辺なら面積比は高さ比

反対に、底辺が同じ2つの三角形では、

面積比＝高さ比

になります。

例えば同じ底辺を持ち、高さが、

3cmと5cm

なら、

面積比は、

3：5

です。

この2つは中学受験算数の図形問題で非常によく使います。

同じ高さなら底辺比
同じ底辺なら高さ比

と整理しておきましょう。

相似では辺の比と面積比を分けて考える

相似な図形では、対応する辺の比がすべて等しくなります。

例えば相似比が、

2：3

なら、長さの比は、

2：3

です。

一方、面積比は、

2×2：3×3
＝4：9

です。

ここを混同しないことが大切です。

辺の比が2：3だから面積比も2：3、としてしまうミスはよくあります。

平面図形と比の基本問題を例題で攻略

ここからは、中学受験でよく出る代表的な問題を確認します。

例題1｜同じ高さの三角形の面積比

【問題】

同じ高さを持つ2つの三角形があります。

底辺の長さが、

6cm
9cm

のとき、面積比を求めなさい。

【解き方】

高さが同じなので、

面積比＝底辺比

です。

したがって、

6：9＝2：3

答えは、

2：3

です。

ここで面積そのものを求める必要はありません。

例題2｜面積比から底辺比を逆算する

【問題】

同じ高さを持つ2つの三角形の面積比が、

3：7

です。

底辺の比を求めなさい。

【解き方】

同じ高さなら、

面積比＝底辺比

です。

したがって、

底辺比も、

3：7

です。

中学受験では、このように面積比から長さの比を戻す問題もよく出ます。

例題3｜相似比から面積比を求める

【問題】

相似な2つの三角形があり、対応する辺の比が、

3：5

です。

面積比を求めなさい。

【解き方】

相似な図形では、

面積比＝相似比の2乗

です。

したがって、

3×3：5×5
＝9：25

答えは、

9：25

です。

これは図形と比の基本中の基本です。

例題4｜平行線を使って比を求める

三角形ABCで、辺AB上にD、辺AC上にEがあり、

DE∥BC

とします。

このとき、

△ADEと△ABC

は相似になります。

例えば、

AD：AB＝2：3

なら、

AE：AC＝2：3

DE：BC＝2：3

です。

さらに面積比は、

△ADE：△ABC
＝4：9

となります。

平行線を見つけたら、

「相似な三角形はないか」

を確認しましょう。

中学受験で差がつく平面図形と比の考え方

基本問題が解けたら、次は複雑な図形を整理する見方を身につけます。

補助線で同じ高さを作る

図形問題で補助線を引く目的の一つは、

同じ高さの三角形を作ること

です。

例えば四角形に対角線を引くと、

2つの三角形

に分けられます。

その2つが同じ高さを持つなら、

面積比＝底辺比

が使えます。

補助線は何となく引くのではなく、

同じ高さを作れないか

と考えて引くと意味が明確になります。

面積を出さず比だけで処理する

算数が苦手な子は、

底辺を求める
高さを求める
面積を計算する

と全部出そうとします。

しかし比の問題では、

底辺比2：3
高さが同じ
だから面積比2：3

で終わる場合があります。

中学受験では、

実際の値を出さずに比だけで進める

ことが重要です。

計算量が減るため、ミスも減ります。

相似な三角形を図の中から見つける

相似問題では、

「相似です」

と書いてあるとは限りません。

例えば、

平行線
共通の角
対頂角

などから相似を見つけます。

特に、

小さい三角形
大きい三角形

が重なっている図では、対応する頂点を見つけることが重要です。

家庭では、

「どの角とどの角が同じ？」

と聞いてみてください。

比を連続してつなげる問題に慣れる

応用問題では、

AB：BC＝2：3
BC：CD＝4：5

のように、複数の比をつなげることがあります。

この場合、

2：3
4：5

では、BCの値がそろっていません。

3と4の最小公倍数は12なので、

AB：BC＝8：12
BC：CD＝12：15

となります。

したがって、

AB：BC：CD＝8：12：15

です。

平面図形では、このように複数の比をそろえて使う場面があります。

平面図形と比が苦手な子への家庭での教え方

平面図形と比が苦手な子には、数字を計算する前に図を見る習慣をつけることが大切です。

数字より先に「同じ」を探す

問題を見たら、すぐ計算するのではなく、

同じ高さ
同じ底辺
同じ角
平行な線

を探します。

例えば、

「この2つの三角形は高さが同じだね」

と気づければ、面積比はすぐに出せます。

図形と比の問題では、

同じ条件を見つけること

が最初の一歩です。

同じ高さ・同じ底辺に印をつける

子どもが図を見ても分からない場合は、

同じ高さに○
同じ底辺に△

など、印をつけます。

視覚的に整理すると、

どの比が使えるか

が見えやすくなります。

頭の中だけで処理しないことが大切です。

辺の比と面積比を混同しない

相似比が、

2：3

なら、

辺の比＝2：3
面積比＝4：9

です。

ここを間違える子は多いので、

「長さ？面積？」

と毎回確認しましょう。

面積は縦と横の2方向が変わるため、

比が2回かかる

と説明すると理解しやすくなります。

翌日と1週間後に図を変えた類題を解く

同じ図ばかり解くと、形を覚えてしまいます。

おすすめは、

当日：同じ高さの面積比
翌日：相似比と面積比
1週間後：補助線を含む問題

という流れです。

図が変わっても、

「まず同じ高さを探す」

と自分から言えれば理解が定着しています。

まとめ｜平面図形と比は「同じ条件」を見つける

中学受験算数の平面図形と比では、公式をたくさん覚える必要はありません。

重要なのは、

同じ高さ
同じ底辺
相似
平行線

を見つけることです。

基本となる関係は、

同じ高さ
→面積比＝底辺比

同じ底辺
→面積比＝高さ比

相似比2：3
→面積比4：9

です。

さらに複雑な問題では、

補助線を引く
↓
同じ高さを作る
↓
面積比を出す
↓
相似比へつなげる
↓
複数の比をそろえる

という流れを使います。

家庭で子どもが止まったら、

「同じ高さはある？」
「同じ底辺はある？」
「平行線はない？」
「相似な三角形はどれ？」

と聞いてみてください。

平面図形と比は、一見すると難しい単元ですが、

図の中にある「同じ条件」を見つけ、そこから比をつなげる問題

と考えると整理しやすくなります。

実際の長さや面積をすべて求めるのではなく、比だけで処理する感覚を身につけることが、中学受験算数の図形問題を安定させる大きなポイントです。