中学受験算数「影」の問題を攻略するコツ

中学受験算数の「影」が難しく感じる3つの理由

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の「影」で何を見ればよいのか、基本の考え方から動く影の解き方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

影の問題は、一見すると特殊な単元に見えます。

しかし実際には、相似・比・速さといった中学受験算数の重要テーマを組み合わせた問題です。

そのため、「影の公式」を暗記するだけでは安定して得点できません。

逆にいえば、問題文を図に整理して、

①どの三角形が同じ形なのか
②どことどこの長さを比べるのか
③何が動いているのか

を順番に確認できれば、かなり見通しがよくなります。

影の問題でつまずく子には、ある程度共通した原因があります。

単純に「相似が苦手だから」と決めつけるのではなく、どこで止まっているのかを見つけることが大切です。

影そのものではなく「三角形」を見る必要がある

子どもは「影の長さを求めなさい」と書いてあると、どうしても地面にできた影だけに注目します。

ところが、影の問題で本当に見るべきなのは、

物体の高さ・地面・光の線でできる三角形

です。

たとえば、高さ1mの棒の影が1.5mで、同じ時刻に木の影が6mだったとします。

このとき、

1：1.5＝木の高さ：6

という関係を使えます。

影だけを見るのではなく、「棒の高さと影」「木の高さと影」という2組を三角形として対応させることがポイントです。

太陽・光・影の位置関係を図にできない

影の問題は、問題文を読んだだけでは状況をつかみにくい単元です。

特に、

「太陽の光が平行に差している」
「電灯の真下から何m離れている」
「人が一定の速さで歩く」

といった条件が加わると、頭の中だけで処理するのは難しくなります。

算数が苦手な子ほど、文章を何度も読み返してしまいがちです。

家庭では「まず計算しよう」と促すより、

棒、人、電灯、地面、光の線を図に描いてみよう

と声をかけたほうが効果的です。

図が完成すれば、問題の半分近くは整理できたと考えてよいでしょう。

速さや時間と組み合わさると急に複雑になる

基本的な影の問題では、相似を使って長さを求めます。

ところが入試では、人が歩いたり、電灯との距離が変化したりする問題もよく扱われます。

すると、

「相似の問題なのか」
「速さの問題なのか」

が分からなくなる子が出てきます。

実際には両方です。

ただし、同時に考える必要はありません。

まず相似から人が1m動いたとき影の先端が何m動くのかを求め、そのあとに速さを考えると整理しやすくなります。

この「分けて考える」習慣が影の応用問題では非常に重要です。

影の問題で最初に覚えたい基本の考え方

影の単元では、細かなパターンを丸暗記するより、共通する考え方を身につけたほうが応用が利きます。

平行な光なら同じ形の三角形に注目する

太陽の光によってできる影では、基本的に光の線を平行と考えます。

そのため、同じ時刻に立っている棒や建物では、

高さと影の長さの比が同じ

になります。

たとえば、

高さ2mの棒 → 影3m
建物 → 影12m

なら、

2：3＝建物の高さ：12

です。

12÷3＝4なので、

2×4＝8

となり、建物の高さは8mです。

ここで重要なのは「公式を覚える」ことではありません。

影が4倍になっているから、高さも4倍になる

と説明できる状態を目指します。

この理解があれば、数字が変わっても対応できます。

高さと影の長さを比で考える

影の問題では、

高さ÷影

といった式を機械的に覚えるより、

「どの長さとどの長さが対応しているか」

を確認するほうが安全です。

先ほどの例なら、

棒の高さ：棒の影
＝建物の高さ：建物の影

です。

中学受験算数では、比例式を使わなくても解けます。

「影が3mから12mになり4倍だから、高さも2mの4倍」

という考え方でも十分です。

特に算数が苦手な子には、いきなり比例式を教えるより、何倍になったかを見る方法から始めると理解しやすくなります。

まず固定された影の問題を確実にする

いきなり「人が歩く」「影の先端が動く」といった応用問題に進む必要はありません。

最初は、

• 棒の高さを求める
• 建物の高さを求める
• 影の長さを求める

といった、物が動かない問題を練習します。

目安として、基本問題を5問程度解いたときに、4問以上を自力で解ける状態になってから動く影へ進むとスムーズです。

基礎が曖昧なまま応用問題を繰り返しても、「解説を見れば分かるのに一人では解けない」という状態になりやすいため注意しましょう。

中学受験算数で頻出の影の問題と解き方

ここからは、入試で出やすい3つのタイプを見ていきます。

棒や建物の高さを求める問題

最も基本的なのが、影の長さから高さを求める問題です。

例として、

高さ1.5mの棒の影が2m、同じ時刻の建物の影が10m

だったとします。

影は、

2m → 10m

と5倍です。

したがって高さも5倍なので、

1.5×5＝7.5m

となります。

このタイプは、

同じ時刻なら高さと影の比が同じ

ということを理解できれば解けます。

家庭で確認するときは、

「なぜ5倍していいの？」

と聞いてみてください。

「影が5倍だから」と答えるだけでなく、「同じ形の三角形だから高さも5倍」と言えれば、理解がかなり深まっています。

電灯によってできる影の長さを求める問題

電灯の問題は、太陽の影とは少し考え方が違います。

太陽の光は平行ですが、電灯から出る光は1点から広がります。

たとえば、

高さ6mの電灯があり、その近くに身長1.5mの人が立っている

とします。

この場合は、

電灯から影の先端までの大きな三角形

と、

人の頭から影の先端までの小さな三角形

を探します。

ここで相似を使います。

算数が苦手な子がよくする間違いは、人から影の先端までの距離だけに注目してしまうことです。

電灯の問題ではまず、

「大きい三角形はどこからどこまで？」

と確認するのが有効です。

相似を使う問題では、三角形を2つ見つけることが出発点になります。

人が動くと影も動く問題

難関校でもよく見られるのが、動く影です。

たとえば、人が電灯から離れる方向へ毎秒1mで歩くとします。

このとき、影の先端も動きます。

ここでいきなり、

「影の先端の速さは？」

と考えると難しく感じます。

先に相似を使って、

人が電灯から2mの場所にいるとき、影の先端は何mの場所にあるか

を考えます。

さらに人が3mの位置へ動いたときの影の先端も求めます。

たとえば、

人が1m動く間に影の先端が4m動く

と分かれば、人の速さが毎秒1mなら、影の先端は毎秒4mです。

つまり、

位置を求める → 動いた距離を求める → 速さを求める

という順番です。

「速さの問題だから速さの公式」と考えず、まず図形として整理することが重要です。

家庭でできる「影」の苦手克服法

影の問題は、家庭学習での教え方を少し変えるだけでも理解が安定しやすい単元です。

式を書く前に図を完成させる

影で伸び悩む子には、

「式を書く前に図を描こう」

というルールを決めるのがおすすめです。

図には最低限、

• 地面
• 棒や人
• 電灯または光
• 影の先端
• 分かっている長さ

を書き込みます。

数字を書き込んだあとに、

「同じ形の三角形はどれ？」

と探します。

この順番を毎回繰り返すことで、問題を見る視点が定着していきます。

親がきれいな図を描いてあげるより、多少ゆがんでも子ども自身に描かせたほうが効果的です。

相似・比・速さを分けて練習する

影が苦手だからといって、原因が影そのものにあるとは限りません。

相似が苦手なのか、比が苦手なのか、速さが苦手なのかで対策は変わります。

たとえば、

固定された棒の影は解ける
↓
電灯の影になると間違える

のであれば、相似の対応関係が弱い可能性があります。

一方、

長さは求められる
↓
動く影の速さだけ間違える

のであれば、速さの整理が課題です。

「影を全部復習しよう」と考えるのではなく、苦手部分を細かく分けると学習量を減らせます。

間違えた原因を3種類に分類する

間違い直しでは、答えを書き写すだけにしないことが大切です。

影の問題なら、ミスを次の3種類に分けてみてください。

①図のミス
影の先端や光の線を正しく描けなかった。

②比・相似のミス
対応する辺を間違えた。

③計算・速さのミス
考え方は合っていたが計算で失点した。

この分類をすると、「影が全部苦手」という漠然とした状態から抜け出せます。

実際の家庭学習でも、3問続けて間違えたとしても、原因がすべて計算ミスなら、影の考え方自体を最初からやり直す必要はありません。

逆に、毎回図の段階で間違えているなら、問題数を増やすより図を書く練習を優先したほうが効果的です。

まとめ｜影の問題は「図・比・動き」の順で考える

中学受験算数の「影」は、特殊な公式をたくさん暗記する単元ではありません。

大切なのは、

図を描く
↓
同じ形の三角形を見つける
↓
高さと影を比べる
↓
動く場合は最後に速さを考える

という順番です。

特に算数が苦手な子は、問題文を読んですぐ式を書こうとすると混乱しやすくなります。

まずは「どこに三角形があるかな？」と親子で確認するだけでも、問題の見え方は大きく変わります。

固定された影の基本問題が安定してから、電灯、動く影へと段階的に進めば十分です。

影の問題は、相似・比・速さをまとめて練習できる良い教材でもあります。

「影が苦手」と捉えるのではなく、図に整理する力を身につける単元として取り組んでみてください。