中学受験算数の速さ・旅人算｜解き方を解説

中学受験算数の旅人算でまず押さえたい基本

この記事では、中学受験算数の速さ・旅人算について、基本の考え方から出会い・追いつき・時間差・往復問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

旅人算は、中学受験算数の速さの中でも頻出の単元です。

しかし、

向かい合ったら足す
追いつくなら引く

とだけ覚えると、少し条件が変わっただけで混乱します。

大切なのは、

2人の間の距離が、1分ごとにどれだけ変わるか

を見ることです。

距離・速さ・時間の3つを整理する

まず土台となるのは、

距離＝速さ×時間
速さ＝距離÷時間
時間＝距離÷速さ

の3つです。

たとえば分速60mで5分進めば、

60×5＝300m

です。

旅人算でも、最終的にはこの関係を使います。

問題文を読んだら、

何m離れているのか
それぞれ何m/分なのか
何分後を求めるのか

を整理しましょう。

向かい合うときは速さを足す

A君とB君が600m離れた場所から向かい合って進むとします。

A君は分速70m。
B君は分速50m。

1分後には、

A君が70m
B君が50m

進むので、2人の間の距離は、

70＋50＝120m

縮まります。

したがって出会うまでの時間は、

600÷120＝5分

です。

「向かい合うから足す」のではなく、

2人とも間の距離を縮めているから足す

と理解することが大切です。

追いかけるときは速さの差を見る

今度はA君がB君を追いかけます。

A君は分速80m。
B君は分速60m。

1分ごとにA君が縮められる距離は、

80－60＝20m

です。

2人の間が200m離れているなら、

200÷20＝10分

で追いつきます。

追いつき算では、

速い人が1分で何mずつ差を縮めるか

を見ると理解しやすくなります。

旅人算の基本問題を例題で攻略

ここからは、中学受験でよく出る典型問題を見ていきます。

例題1｜向かい合って出会う問題

【問題】

A君とB君が900m離れた地点から同時に向かい合って歩きます。

A君は分速80m、B君は分速70mです。

何分後に出会いますか。

【解き方】

1分間に縮まる距離は、

80＋70＝150m

です。

したがって、

900÷150＝6

答えは、

6分後

です。

確認すると、

A君は、

80×6＝480m

B君は、

70×6＝420m

進み、

480＋420＝900m

となります。

例題2｜後から出発して追いつく問題

【問題】

B君が分速60mで先に歩き始めました。

5分後、A君が同じ場所から分速90mで追いかけます。

A君は何分後にB君へ追いつきますか。

【解き方】

まずB君の先行距離を求めます。

60×5＝300m

です。

A君とB君の速さの差は、

90－60＝30m/分

です。

したがって、

300÷30＝10分

答えは、

A君が出発して10分後

です。

ここでは、

先行距離÷速さの差

と考えます。

例題3｜時間差がある旅人算

【問題】

A地点とB地点は1200m離れています。

A君はA地点から分速80mで出発しました。

5分後、B君がB地点から分速70mでA君に向かって出発します。

B君が出発してから何分後に出会いますか。

【解き方】

まずA君が5分間で進んだ距離は、

80×5＝400m

です。

残りの距離は、

1200－400＝800m

です。

そこから2人は向かい合うので、

80＋70＝150m/分

で距離が縮まります。

したがって、

800÷150
＝16/3分

つまり、

5分20秒後

です。

時間差がある問題では、

「2人が同時に動き始める瞬間」

まで状況を進めてから考えると整理しやすくなります。

例題4｜往復する旅人算

【問題】

A地点とB地点は600m離れています。

A君がA地点からB地点へ分速100mで進み、B地点に着いたらすぐ折り返します。

出発から8分後、A君はA地点から何mの場所にいますか。

【解き方】

A地点からB地点までは、

600÷100＝6分

かかります。

8分後なので、B地点に着いてから、

8－6＝2分

戻っています。

戻った距離は、

100×2＝200m

です。

したがってA地点からの距離は、

600－200＝400m

答えは、

400m

です。

往復問題では、まず折り返す時刻を求めましょう。

中学受験の旅人算で差がつく考え方

基本問題が解けたら、次は複雑な問題を整理する見方を身につけます。

線分図で「距離の減り方」を見る

旅人算では線分図が非常に有効です。

例えば、

A────────B

と書き、

A君→
←B君

と矢印を書きます。

すると、

2人とも間を縮めている
→速さを足す

と視覚的に分かります。

追いつきなら、

A君→　　 B君→

と同じ方向に矢印を書きます。

速いA君が差を縮めるので、

速さの差

を使います。

速さの比と進んだ距離の比を使う

同じ時間だけ進んだ場合、

距離の比＝速さの比

です。

例えばA君が分速80m、B君が分速60mなら、

速さの比は、

80：60＝4：3

です。

同じ時間進めば、距離の比も、

4：3

になります。

2人が出会う問題では、全体の距離を4：3に分けることで解ける場合があります。

同じ時間なら距離の比＝速さの比

例えば2人が向かい合って出会い、

A君が400m
B君が300m

進んでいたなら、

速さの比は、

400：300＝4：3

です。

時間は同じなので、

進んだ距離の比がそのまま速さの比になります。

逆に速さの比が分かっていれば、出会った場所も求められます。

旅人算では、

同じ時間

という条件を見つけたら比を使えないか考えましょう。

ダイヤグラムに直すと複雑な問題が整理できる

出発時刻が違う
途中で休む
折り返す
何度も出会う

といった問題では、線分図だけでは整理しにくいことがあります。

その場合は、

横軸＝時間
縦軸＝距離

のダイヤグラムを使います。

線が交わる場所は、

同じ時刻に同じ場所にいる

ことを表します。

つまり、

出会い
追いつき

をグラフ上の交点として確認できます。

難しい旅人算ほど、文章だけで考えず図に置き換えることが重要です。

旅人算が苦手な子への家庭での教え方

旅人算が苦手な子には、公式を追加するより状況をイメージさせることが大切です。

「足す・引く」を暗記させない

家庭では、

「向かい合うから足すでしょ」

と教えるより、

「1分後、2人の間は何m縮む？」

と聞いてみてください。

A君70m
B君50m

なら、

120m縮む

と理解できます。

追いつきでも、

「1分で何m差が縮む？」

と聞けば、

80－60＝20m

と自然につながります。

人形や指を動かして距離の変化を見せる

低学年から算数に苦手意識がある子には、実際に手を動かす方法も有効です。

机の左右に消しゴムを置き、

右へ動かす
左へ動かす

ことで、

向かい合う
同じ方向へ進む

の違いを見せます。

「2人の間がどうなった？」

と確認すると、足し算と引き算の意味がつかみやすくなります。

最初に単位をそろえる習慣をつける

旅人算では、

時速
分速
秒速

が混ざる問題があります。

例えば、

時速6km
分速80m

をそのまま足してはいけません。

時速6kmは、

6000m÷60＝100m/分

なので、

分速100m

です。

問題を解く前に、

「単位はそろっている？」

と確認する習慣をつけましょう。

翌日と1週間後に条件を変えた類題を解く

旅人算は、同じ形の問題だけを続けると解法を暗記しやすくなります。

おすすめは、

当日：出会い
翌日：追いつき
1週間後：時間差・往復

と条件を変えることです。

1週間後に、

「まず2人の間の距離がどう変わるか考える」

と自分から言えれば、旅人算の本質が定着しています。

まとめ｜旅人算は「2人の間の距離がどう変わるか」を見る

中学受験算数の速さ・旅人算では、

「向かい合うなら足す」
「追いかけるなら引く」

という覚え方だけでは応用問題に対応しにくくなります。

重要なのは、

2人の間の距離が1分ごとにどれだけ変化するか

です。

向かい合う場合は、

両方が距離を縮める
→速さを足す

追いかける場合は、

速い人だけが差を縮める
→速さの差を使う

と考えます。

さらに時間差があるなら、

先に進んだ距離を求める
↓
2人が動いている状態を作る
↓
速さの和または差を使う

という順番です。

家庭で子どもが迷ったら、

「今、2人はどっち向き？」
「1分後に間は何m変わる？」
「同じ時間進んでいる？」
「単位はそろっている？」

と聞いてみてください。

また、複雑になったら線分図やダイヤグラムを書きます。

旅人算は公式を大量に覚える単元ではありません。

距離・速さ・時間の基本を使いながら、2人の位置関係の変化を図で整理する単元です。

この考え方が身につけば、出会い・追いつきだけでなく、時間差、往復、何度も出会う問題など、中学受験らしい応用問題にも対応しやすくなります。