中学受験算数の円周角｜中心角との関係を解説

中学受験算数で円周角はどう考える？

この記事では、中学受験算数の円周角について、中心角との関係、典型的な角度問題の解き方、補助線の考え方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

円を使った角度問題では、

中心角
円周上にできる角
二等辺三角形
直径

などが組み合わされます。

中学数学では「円周角の定理」として体系的に学びますが、中学受験では円の性質を利用した角度問題として出会うことがあります。

大切なのは、名前だけ覚えることではありません。

「この角は円のどの部分を見ているのか」

を図から読み取ることです。

円周角とは円周上の点にできる角

円の周りにA・B・Cという3点があるとします。

AとBをCから結んだときにできる、

∠ACB

のような角が円周上にある角です。

ここで重要なのが、

この角が弧ABを見ている

という考え方です。

角度問題では、

頂点だけ

を見ないようにしましょう。

「この2本の線の先は、円周のどの2点につながっている？」

と考えると、対応する弧が分かります。

同じ弧を見る円周角は同じ大きさ

円周上にCとDという2点があり、

∠ACB
∠ADB

がどちらもAとBを結んでいるとします。

2つの角は同じ弧ABを見ています。

そのため、

∠ACB＝∠ADB

となります。

複雑な図の中で角度が分からなくなったら、

「同じ2点を見ている角はない？」

と探してみましょう。

これだけで、分かっている角度を別の場所へ移せることがあります。

円周角は対応する中心角の半分

円の中心をOとします。

弧ABに対する中心角が、

∠AOB＝80度

だったとします。

同じ弧ABを見る円周角は、

80÷2＝40度

です。

逆に円周角が35度なら、同じ弧を見る中心角は、

35×2＝70度

になります。

中学受験では、

中心角
円周上の角

のどちらが分かっているかを確認し、2倍・半分の関係として利用できます。

中学受験では丸暗記より図で理解する

「円周角は中心角の半分」

だけ暗記しても、

どの中心角と対応しているのか

が分からなければ使えません。

そこで家庭では、円を描いて、

中心O
円周上のA・B・C

を取り、

OA・OB
CA・CB

を結んでみましょう。

中心角と円周上の角が、

同じAとB

を見ていることを確認します。

式より先に図の対応関係を理解することが大切です。

円周角の基本問題を例題で解説

ここからは中学受験で使いやすい典型問題を見ていきます。

中心角80度なら円周角は40度

中心Oをもつ円で、

∠AOB＝80度

とします。

円周上に点Cがあり、∠ACBが同じ弧ABを見るなら、

80÷2＝40度

なので、

∠ACB＝40度

です。

反対に、

∠ACB＝40度

が分かっている場合は、

中心角∠AOB＝80度

と求められます。

まず、

中心にある角か
円周上にある角か

を区別しましょう。

直径を見込む円周角は90度

ABが円の直径だとします。

直径に対応する中心角は、

180度

です。

その弧ABを見る円周角は、

180÷2＝90度

になります。

つまり、

直径の両端A・Bと、円周上の点Cを結ぶと、

∠ACB＝90度

です。

中学受験の円の角度問題では、

直径

という情報があれば非常に強い手がかりになります。

「直径を見つけたら90度」

と覚えるだけでなく、

180度の半分だから90度

と理由まで理解しておきましょう。

同じ弧を見る角を見つける

円周上にA・B・C・Dがあるとします。

∠ACBが45度で、∠ADBも同じ弧ABを見ているなら、

∠ADB＝45度

です。

ここでは計算は必要ありません。

重要なのは、

CからA・Bを見る
DからA・Bを見る

という対応を見つけることです。

図が複雑なほど、角度の数字より、

「角の両端はどこ？」

を確認しましょう。

二等辺三角形を作ると角度が求めやすい

円の中心Oから、円周上のA・Bへ半径を引くと、

OA＝OB

です。

したがって三角形OABは二等辺三角形になります。

たとえば、

∠AOB＝100度

なら、残りの2つの角は等しいため、

（180－100）÷2
＝40度

です。

つまり、

∠OAB＝∠OBA＝40度。

円の角度問題では、

中心から円周上の点へ補助線を引く
↓
半径が等しい
↓
二等辺三角形ができる

という流れも非常によく使います。

中学受験で差がつく円周角問題の解き方

応用問題では、円周角だけを見ていても解けないことがあります。

まず円の中心と半径を書き込む

中心Oが示されているなら、

OA＝OB＝OC…

と考えます。

どれも円の半径だからです。

たとえばOAとOBを結べば、二等辺三角形OABができます。

複雑な円の問題ほど、

同じ長さ

を図に書き込むと、使える角度が増えます。

直径があれば90度を疑う

図に直径があれば、

その直径の両端を円周上の別の点につないだ角

を探します。

たとえばABが直径なら、円周上のCについて、

∠ACB＝90度

です。

すると三角形ABCの残りの角は、

180度－90度－分かっている角

で求められます。

直径は、円問題の中でも特に見逃したくない条件です。

円周角だけに頼らず三角形の角度を使う

中学受験の円問題は、

円周角の性質だけで全部解く

とは限りません。

むしろ、

三角形の内角の和＝180度
二等辺三角形の底角は等しい
一直線＝180度

と組み合わせることが多いです。

たとえば円周角から40度を1つ求めたら、その40度を使って隣の三角形の角度を求めます。

一つ分かったら、

その角度がほかのどこで使えるか

を探しましょう。

補助線で中心角や二等辺三角形を作る

円の問題で手が止まったら、

中心と円周上の点を結ぶ

補助線が有効です。

半径が2本できれば二等辺三角形になります。

また、

円周上の角が分かっている
↓
同じ弧に対応する中心角を作る

という考え方もできます。

補助線は適当に引くのではなく、

「半径を作りたい」
「中心角を作りたい」

という目的を持って引くことが重要です。

円周角が苦手な子への家庭での教え方

円周角は、公式を何回唱えても図の対応関係が見えなければ定着しにくい単元です。

中心角と円周角をセットで描く

まず円を1つ描きます。

中心O。

円周上にA・B・C。

OA、OB、CA、CBを結びます。

そこで、

「∠AOBと∠ACBは、どの2点を見ている？」

と聞きます。

どちらもAとBです。

この対応が見えれば、

中心角と円周上の角の関係

を理解しやすくなります。

「どの弧を見ている？」と確認する

円周角問題では毎回、

「この角はどの弧を見ている？」

と聞いてみてください。

たとえば∠ACBなら、

CAの先はA
CBの先はB

なので弧ABです。

同じ弧ABを見る別の角があれば、同じ角度として利用できます。

公式を使ったあと理由を説明させる

子どもが、

80÷2＝40度

と答えたら、

「どうして2で割ったの？」

と聞きます。

「同じ弧を見る中心角が80度で、円周角はその半分だから」

と説明できれば理解しています。

単に、

円周角だから÷2

では不十分です。

何と何を比べているのかまで言えることが大切です。

角度だけを変えた類題で定着させる

中心角80度の問題ができたら、

翌日は、

中心角110度
中心角150度

など数字だけ変えて解きます。

さらに、

円周角35度から中心角を求める

逆向きの問題も入れます。

数字が変わっても、

同じ弧
2倍・半分

を自力で使えるか確認しましょう。

まとめ｜円周角は「同じ弧・中心角の半分」で整理しよう

中学受験算数の円周角問題では、まず、

どの弧を見ているか

を確認することが重要です。

基本となる考え方は、

同じ弧を見る円周上の角は同じ
円周角は対応する中心角の半分
直径を見込む円周角は90度

です。

たとえば中心角が80度なら、

同じ弧を見る円周角は40度。

円周角が35度なら、

対応する中心角は70度です。

さらに円の中心から円周上の点へ線を引けば、

半径＝半径

なので二等辺三角形ができます。

そこから、

底角が等しい
三角形の内角の和は180度

という基本性質も利用できます。

家庭で教えるときは、

「円周角の公式は？」

と聞くより、

「この角はどの2点を見ている？」
「同じ弧を見る角はない？」
「中心から線を引けない？」
「直径はない？」

と聞いてみてください。

中学受験の円の角度問題では、一つの特別な公式だけで解くのではありません。

円の性質
二等辺三角形
直径
三角形の角度

を組み合わせて解きます。

そして、円周角の考え方を使う場合も、

同じ弧を見る中心角と円周上の角を対応させる

ことが出発点です。

公式の数字だけを覚えず、図の中で「どこを見ている角なのか」を確認する習慣をつけることが、円周角を安定した得点源にする近道です。