中学受験算数の場合の数｜問題の解き方を解説

中学受験算数の「場合の数」とは？

この記事では、中学受験算数の「場合の数」問題について、基本の考え方、典型問題の解き方、数え漏れを防ぐコツ、家庭での教え方まで順を追って解説します。

場合の数は、

「条件に合うものが何通りあるか」

を数える単元です。

見た目は単純ですが、中学受験では、

並べ方
選び方
道順
サイコロ
整数づくり
色の塗り分け

など、さまざまな形で出題されます。

難しく感じる理由は、計算よりも、

何を数えるか
どう整理するか

を自分で決めなければならないからです。

全部のパターンを漏れなく数える問題

場合の数で最も大切なのは、

漏れなく
重ならず

数えることです。

たとえば、

赤・青・黄の3色から2色を選ぶ

とします。

赤と青
赤と黄
青と黄

の3通りです。

ここで、

赤と青
青と赤

を別として数えてしまうと、二重に数えることになります。

場合の数では、

「何を同じとみなすか」

を最初に確認する必要があります。

順番が関係するかしないかを見分ける

たとえばA・B・Cの3人から2人を選びます。

「委員長と副委員長を決める」

なら、

Aが委員長、Bが副委員長

と、

Bが委員長、Aが副委員長

は別です。

順番が関係します。

一方、

「代表2人を選ぶ」

なら、

AとB
BとA

は同じ組み合わせです。

ここを見分けられないと、場合の数は大きくずれます。

家庭では、

「順番を入れ替えたら別の答えになる？」

と聞くと理解しやすくなります。

いきなり計算式を作らない

場合の数が苦手な子ほど、

3×2＝6かな？

と、すぐ式を作ろうとします。

しかし、まずは小さい問題で、

実際に書き出す

ことが大切です。

書き出して規則が見えてから、

かけ算
足し算

へつなげます。

中学受験では、公式暗記より、

整理して数える力

のほうが重要です。

場合の数の基本問題を例題で解説

代表的な問題を見ていきましょう。

樹形図で並べ方を数える

A・B・Cの3人が1列に並ぶ場合を考えます。

まずAを先頭にすると、

ABC
ACB

の2通り。

Bを先頭にすると、

BAC
BCA

の2通り。

Cを先頭にすると、

CAB
CBA

の2通りです。

したがって、

2＋2＋2＝6通り

です。

樹形図なら、

A → B → C
　→ C → B

のように枝分かれさせます。

並べ方では、

最初に何を選ぶか

を固定すると整理しやすくなります。

表で組み合わせを整理する

4人A・B・C・Dから2人を選ぶとします。

Aと組む相手は、

B
C
D

の3通り。

Bと組む相手は、

C
D

の2通り。

Cと組む相手は、

D

の1通りです。

合計は、

3＋2＋1＝6通り。

ここで、

ABとBA

を両方数えないようにすることが大切です。

組み合わせでは、

「一度数えた組はもう数えない」

というルールを決めると重複を防げます。

道順問題は右と上の動きを整理する

格子状の道を、

右に2回
上に2回

進んで目的地へ行くとします。

全部で4回動き、そのうち右2回、上2回です。

実際に並べると、

右右上上
右上右上
右上上右
上右右上
上右上右
上上右右

の6通りです。

小学生にはいきなり組み合わせの公式を教えるより、

4回のうち、右へ進む2回をどこに入れるか

と考えさせるほうが理解しやすくなります。

サイコロ問題は和ごとに分類する

2個のサイコロを投げて、

出た目の和が7

になる場合を考えます。

1と6
2と5
3と4
4と3
5と2
6と1

の6通りです。

ここでは、

1個目のサイコロ
2個目のサイコロ

を区別するため、

1と6
6と1

は別です。

サイコロでは、

順番を区別するか

を意識することが重要です。

中学受験で差がつく場合の数の考え方

基本問題の次は、少し難しい問題で使う考え方です。

1つを固定して考える

場合の数では、

1つ決めてから残りを考える

と整理しやすくなります。

たとえば5人から3人を選ぶとき、

Aを含む場合
Aを含まない場合

と分けます。

または、

最初の人をAに固定する

方法もあります。

全部を一度に考えるより、条件を1つ固定したほうが漏れにくくなります。

同じものを二重に数えない

円形に並ぶ問題や組み合わせ問題では、同じものを重複して数えやすくなります。

たとえば3人が円卓に座る場合、

ABC
BCA
CAB

は、全員が同じだけ回転しただけなので同じ並びです。

このように、

見た目は違うが同じ場合

を見抜く必要があります。

家庭では、

「これ、回しただけじゃない？」

と確認するとよいでしょう。

余事象を使うと簡単になることがある

「少なくとも1回は赤が出る」

のような問題では、直接数えるより、

全部の場合－一度も赤が出ない場合

と考えるほうが簡単なことがあります。

たとえばコインを3回投げて、

少なくとも1回表

が出る場合。

全部は、

2×2×2＝8通り。

一度も表が出ないのは、

裏裏裏

の1通り。

したがって、

8－1＝7通り

です。

「少なくとも」という言葉が出たら、反対側から考えられないか確認しましょう。

条件が多いときは場合分けする

「AとBは隣り合わない」
「Cは必ず中央」
「同じ色は隣り合わない」

など、条件が増えると一気に難しくなります。

この場合は、

Aがここにある場合
Aがここにない場合

など、条件を分けます。

中学受験の難しい場合の数では、

1本の式で全部解こうとしない

ことが大切です。

場合の数が苦手な子への家庭での教え方

場合の数が苦手な子には、計算練習より整理の練習が必要です。

まず小さい数で全部書き出す

たとえば6人から3人を選ぶ問題が難しければ、

まず3人から2人

に小さくして考えます。

A・B・Cなら、

AB
AC
BC

の3通りです。

小さい数で仕組みが分かってから、大きな数へ戻します。

「分からなければ小さくする」は、場合の数でとても有効です。

樹形図・表・計算を使い分ける

場合の数では、

並べる
→樹形図

2つを組み合わせる
→表

規則が分かった
→計算

という使い分けが便利です。

毎回同じ方法にこだわる必要はありません。

子どもが整理しやすい方法を選ばせましょう。

間違いは「漏れ」と「重複」に分ける

場合の数で不正解だったとき、

「計算ミス」

だけで終わらせないことが大切です。

多くは、

数え漏れ
二重に数えた
条件違反を入れた

のどれかです。

たとえば答えが10通りなのに9通りなら、

漏れ

の可能性があります。

12通りなら、

重複

を疑います。

原因を分けると、次に直しやすくなります。

1日2～3問を丁寧に解く

場合の数は、20問を急いで解くより、

2～3問を丁寧に整理する

ほうが効果的です。

おすすめは、

①まず書き出す
②整理方法を選ぶ
③数える
④漏れ・重複を確認
⑤別の方法でも確かめる

という流れです。

特に小4・小5では、

速く解くこと

より、

正しく整理する習慣

を優先しましょう。

まとめ｜場合の数は「漏れなく・重ならず」が基本

中学受験算数の「場合の数」は、

全部で何通りあるか

を求める単元です。

大切なのは、

漏れなく
重ならず

数えることです。

基本問題では、

並べ方
選び方
道順
サイコロ

がよく出ます。

そして解き方としては、

樹形図
表
書き出し
場合分け

を使います。

難しい問題では、

1つを固定する
同じものを二重に数えない
余事象を使う
条件ごとに場合分けする

といった考え方が役立ちます。

家庭で教えるときは、

「何通り？」

とすぐ聞くのではなく、

「順番は関係ある？」
「全部書き出せる？」
「同じものを2回数えてない？」
「漏れている場合はない？」

と声をかけてみてください。

場合の数が苦手な子は、計算が苦手なのではなく、

整理の仕方が分からない

ことが多いです。

まずは小さい数で書き出し、

樹形図や表で整理し、

規則が見えたら計算する。

この順番を守れば、場合の数は少しずつ安定してきます。

中学受験では、複雑な問題ほど「全部を頭の中で数える」のは危険です。

紙に残しながら、

漏れなく
重ならず
条件に合うものだけ

を数える習慣をつけましょう。

それが、場合の数を得点源に変える一番の近道です。