中学受験算数の通過算｜応用問題を解く考え方

中学受験算数の通過算応用で問われる力

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の通過算応用で問われる考え方と、家庭でできる具体的な対策法を順を追って解説します。

応用問題は公式暗記だけでは対応しにくい

中学受験算数の通過算は、基本問題であれば「電柱なら電車の長さ」「橋やトンネルなら電車の長さを足す」と覚えることで解ける場合があります。しかし、応用問題になると、公式をそのまま当てはめるだけでは対応しにくくなります。

たとえば、2本の電車がすれ違う問題、同じ方向に走る電車を追い越す問題、橋やトンネルと電車の長さが同時に出てくる問題では、まず場面を整理しなければなりません。

通過算の応用で大切なのは、「何を通過するのか」「どこからどこまで進めば終わりなのか」を見つけることです。式を急いで作るのではなく、電車の先頭と最後尾がどの位置にあるかを考える必要があります。

応用問題ほど、公式暗記より場面理解が大切になります。

通過する距離を正確に見つける力が必要

通過算の中心は、通過するために必要な距離を見つけることです。

たとえば、長さ120mの電車が480mの橋を渡りきるなら、必要な距離は120＋480＝600mです。これは、電車の先頭が橋に入ってから、最後尾が橋を出るまでを考えるからです。

応用問題では、この「通過する距離」がさらに複雑になります。2本の電車がすれ違う場合は、2本の電車の長さを足します。長さ100mの電車と140mの電車が完全にすれ違うには、100＋140＝240mぶん近づく必要があります。

追い越しでも同じく、完全に追い越すには2本の電車の長さの合計ぶんだけ差を縮めます。通過算応用では、どの長さを足すのかを正確に判断する力が求められます。

速さの向きと単位整理が得点差になる

通過算応用では、距離だけでなく速さの向きも重要です。2本の電車が向かい合って進むなら、速さを足して考えます。同じ向きに進むなら、速さの差で考えます。

たとえば、秒速20mの電車と秒速16mの電車が向かい合って走るなら、1秒で20＋16＝36m近づきます。一方、秒速25mの電車が秒速15mの電車を追い越すなら、1秒で縮まる差は25−15＝10mです。

さらに、単位換算も大切です。通過算では時間が秒で出ることが多いため、時速を秒速に直す問題がよくあります。時速72kmは1時間に72000m進む速さなので、72000÷3600＝秒速20mです。

応用問題では、「距離」「向き」「単位」の3つを整理できるかが得点差になります。

通過算の応用でよく出るパターン

電車同士がすれ違う問題

通過算応用でよく出るのが、電車同士がすれ違う問題です。このタイプでは、2本の電車が完全にすれ違うまでに、どれだけ近づく必要があるかを考えます。

たとえば、長さ100mの電車Aと、長さ140mの電車Bが向かい合って走るとします。完全にすれ違うには、2本の電車の長さの合計である100＋140＝240mぶん近づく必要があります。

電車Aが秒速20m、電車Bが秒速16mなら、向かい合っているので速さを足します。20＋16＝36mです。したがって、すれ違いにかかる時間は240÷36＝6と3分の2秒です。

この問題で大切なのは、「長さは2本分を足す」「向かい合うので速さも足す」と分けて考えることです。

電車が別の電車を追い越す問題

追い越し問題も、通過算応用で頻出です。すれ違いと似ていますが、速さの扱いが違います。追い越しでは2本の電車が同じ向きに進むため、速さの差を見ます。

たとえば、長さ100mの速い電車が、長さ140mの遅い電車を追い越すとします。完全に追い越すには、2本の電車の長さの合計、100＋140＝240mぶん差を縮める必要があります。

速い電車が秒速25m、遅い電車が秒速15mなら、1秒で縮まる距離は25−15＝10mです。したがって、240÷10＝24秒で追い越します。

ここで25＋15としてしまうと、向きを見誤っています。追い越しは同じ向きなので、速さの差で考えることが大切です。

橋・トンネル・駅を組み合わせた問題

通過算の応用では、橋やトンネル、駅のホームなどが組み合わされることもあります。この場合も、基本は「最後尾がどこまで行けば終わりか」を見ることです。

たとえば、長さ150mの電車が、長さ450mのトンネルを完全に抜けるなら、必要な距離は150＋450＝600mです。これは、先頭がトンネルに入ってから、最後尾がトンネルを出るまでを考えるからです。

駅のホームを通過する問題でも同じです。ホームに長さがあるなら、電車の長さとホームの長さを合わせます。

応用問題になると、橋を渡った後にトンネルに入る、ホームを通過する時間と電柱を通過する時間を比べる、といった形もあります。どの問題でも、最初に「進むべき距離」を確認することが大切です。

時速と秒速を変換する問題

通過算応用では、単位換算を含む問題もよく出ます。特に注意したいのは、速さが時速で与えられ、時間が秒で与えられる場合です。

たとえば、時速54kmの電車は、1時間に54000m進みます。1時間は3600秒なので、54000÷3600＝秒速15mです。

もし長さ150mの電車が電柱を通過するなら、150÷15＝10秒です。

単位換算を忘れると、考え方が合っていても正解できません。通過算では、時間が秒で出ることが多いため、速さを秒速に直す確認が必要です。

家庭学習では、問題文を読んだら「秒で聞かれている？ 時速のままでよい？」と確認する習慣をつけましょう。

通過算応用でつまずく原因

2本の電車の長さを足し忘れる

通過算応用で多いミスは、2本の電車の長さを足し忘れることです。すれ違いでも追い越しでも、完全に通過するには2本分の長さを考える必要があります。

たとえば、長さ100mの電車と140mの電車がすれ違う場合、100mだけでも140mだけでも足りません。2本の電車が完全に通り過ぎるには、100＋140＝240mぶん動く必要があります。

ここを理解せずに、片方の電車の長さだけで計算すると答えが合いません。

家庭では、電車を2本の長方形として描き、「完全にすれ違うには、どちらの最後尾まで通る必要がある？」と確認しましょう。図で見ると、2本分を足す理由が理解しやすくなります。

速さを足すのか引くのか判断できない

通過算応用では、速さを足すのか引くのかの判断でもつまずきやすくなります。これは旅人算と同じで、向きによって考え方が変わります。

向かい合って進むなら、2本の電車は互いに近づくので速さを足します。同じ向きに進むなら、速い電車が遅い電車との差を縮めるので速さを引きます。

すれ違いは向かい合うので速さを足す。追い越しは同じ向きなので速さの差を見る。この区別ができると、応用問題でも迷いにくくなります。

家庭では、「これはすれ違い？ 追い越し？」「向きは同じ？ 反対？」と聞いてから式に進むとよいでしょう。速さの計算は、向きを確認してから行うことが大切です。

図を描かずに条件を頭だけで処理している

通過算応用が苦手な子は、図を描かずに頭の中だけで処理しようとすることがあります。基本問題なら暗算で解けても、応用では条件が増えるため、図なしでは見落としが起きやすくなります。

特に、すれ違い、追い越し、橋やトンネルを組み合わせた問題では、どの長さを足すのか、どの速さを使うのかが分かりにくくなります。

図はきれいである必要はありません。電車を細長い四角で描き、先頭と最後尾を書きます。橋やトンネルは線で示します。すれ違いなら矢印を向かい合わせにし、追い越しなら同じ向きにします。

式を書く前に図を描く習慣が、通過算応用の失点を減らします。

家庭でできる通過算応用の対策

「先頭」と「最後尾」で場面を整理する

通過算応用を家庭で教えるときは、「先頭」と「最後尾」という言葉を使って場面を整理しましょう。通過算では、先頭だけでなく最後尾まで通り過ぎたときが完了だからです。

橋を通過するなら、
「先頭が橋に入る」
「最後尾が橋を出たら終わり」
と整理します。

すれ違いなら、
「2本の先頭が出会う」
「2本の最後尾まで通り過ぎたら終わり」
と考えます。

追い越しなら、
「速い電車の先頭が遅い電車の最後尾に追いつく」
「速い電車の最後尾が遅い電車の先頭を抜けたら終わり」
と見ると、2本分の長さを考える理由が分かります。

親が答えを教えるより、「最後尾はどこまで行けば終わり？」と聞くほうが、子ども自身の理解につながります。

線分図で必要な距離を見える化する

通過算応用では、線分図で必要な距離を見える化することが欠かせません。線分図を描くことで、「今回は何m進めばよいのか」がはっきりします。

橋やトンネルでは、電車の長さと対象の長さをつなげて描きます。すれ違いでは、2本の電車の長さを足して描きます。追い越しでも、2本の電車の長さの合計を考えます。

さらに、矢印で向きを示しましょう。向かい合っていれば速さを足し、同じ向きなら速さの差を使います。

このように、線分図には「距離」と「向き」の両方を入れることが大切です。図を描くことで、長さの足し忘れや速さの判断ミスを防ぎやすくなります。

間違い直しは距離・速さ・単位に分ける

通過算応用の間違い直しでは、答えを書き写すだけでは不十分です。原因を「距離」「速さ」「単位」に分けて記録しましょう。

距離ミスは、電車の長さを足し忘れた、2本の電車の長さを足せなかった、橋やトンネルの長さだけで計算した場合です。

速さミスは、すれ違いなのに速さを引いた、追い越しなのに速さを足した場合です。

単位ミスは、時速を秒速に直さなかった、秒と分をそろえなかった場合です。

ノートには、「距離ミス」「速さミス」「単位ミス」と短く書くだけで十分です。原因が見えると、次に同じミスを防ぎやすくなります。

まとめ：通過算応用は距離と向きを整理すれば解ける

中学受験算数の通過算応用は、基本問題より条件が増えるため、公式暗記だけでは対応しにくくなります。しかし、見るべきポイントは大きく変わりません。大切なのは、通過する距離と速さの向きを整理することです。

すれ違いでは、2本の電車の長さを足し、向かい合って進むので速さも足します。追い越しでは、2本の電車の長さを足し、同じ向きに進むので速さの差を見ます。橋やトンネルを通過する問題では、電車の長さと対象の長さを足します。

つまずきやすい原因は、2本の電車の長さを足し忘れること、速さを足すのか引くのか判断できないこと、図を描かずに条件を頭だけで処理してしまうことです。

家庭では、「先頭」と「最後尾」で場面を言い換え、線分図で必要な距離を見える化しましょう。間違い直しでは、距離ミス・速さミス・単位ミスに分けて記録します。

通過算応用は、難しいひらめきよりも整理力で差がつく単元です。焦って多くの問題を解くより、1問ごとに「何m進むのか」「向きは同じか反対か」「単位はそろっているか」を確認することが、得点力につながります。