中学受験算数のてんびん算｜解き方と例題を解説

中学受験算数のてんびん算とは？

この記事では、中学受験算数のてんびん算について、基本的な仕組みや図の描き方から、食塩水・平均の例題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数の「てんびん算」は、食塩水の濃度や平均に関する問題を解くときに使う考え方です。

2種類のものを混ぜたとき、全体の平均がどの位置になるのかを、てんびんのつり合いに見立てて考えます。

数字の配置だけを暗記するのではなく、なぜつり合うのかを理解することが重要です。

てんびん算は2つの数量の平均を求める考え方

例えば、4％の食塩水と10％の食塩水を混ぜた場合を考えてみましょう。

同じ重さずつ混ぜるなら、完成する食塩水の濃度は、

（4＋10）÷2＝7％

です。

しかし、2種類の食塩水を混ぜる量が異なると、濃度も変わります。

4％の食塩水を多く混ぜれば、完成する濃度は4％に近づきます。

反対に、10％の食塩水を多く混ぜれば、10％に近づきます。

この関係を利用して、混ぜる量や平均を求めるのがてんびん算です。

てんびんがつり合う仕組みを理解する

てんびん算では、2つの濃度を左右に配置し、その間に完成する濃度を書きます。

例えば、4％と10％の食塩水を混ぜて6％にする場合です。

4％から6％までの差は2、10％から6％までの差は4です。

てんびんは、中心から遠い位置ほど、小さい重さでもつり合います。

そのため、平均との差が小さい4％の食塩水を多く使い、平均との差が大きい10％の食塩水を少なく使います。

この仕組みを理解すれば、混ぜる量の比を判断できるようになります。

混ぜる量の比は平均との差を逆にする

4％と10％の食塩水を混ぜて6％にする場合を、具体的に計算します。

平均との差は、

6－4＝2

10－6＝4

です。

ここで重要なのは、混ぜる量の比が、平均との差の逆比になることです。

したがって、

4％の食塩水：10％の食塩水

＝4：2

＝2：1

となります。

4％の食塩水を2、10％の食塩水を1の割合で混ぜると、6％の食塩水ができます。

てんびん算の基本は、平均との差を求め、その逆比から混ぜる量を考えることです。

てんびん算の基本的な解き方を例題で解説

てんびん算は、数字を正しい位置に整理できれば、計算自体はそれほど複雑ではありません。

最初は基本的な問題を使い、図の描き方と式の意味を確認しましょう。

てんびん図を描く3つの手順

てんびん図は、次の3つの手順で描きます。

まず、横線を引き、左端と右端に2種類の濃度を書きます。

次に、中央に完成する食塩水の濃度を書き込みます。

最後に、中央の濃度から左右それぞれの濃度までの差を求めます。

例えば、4％と10％を混ぜて6％にするなら、数字の並びは、

4％　―　6％　―　10％

です。

平均との差は、左側が2、右側が4になります。

混ぜる量の比は、この差を左右逆にして4：2と求めます。

図はきれいに描く必要はありません。濃度と平均との差を区別できれば十分です。

例題1｜食塩水を混ぜて濃度を求める

例題

4％の食塩水200gと、10％の食塩水100gを混ぜました。完成する食塩水の濃度は何％でしょうか。

この問題では、混ぜる量の比が、

200：100＝2：1

と分かっています。

てんびん算では、平均との差が混ぜる量の逆比になります。

4％と10％の間は6ポイント離れています。

これを混ぜる量の逆比である1：2に分けると、1つ分は2ポイントです。

4％側から2ポイント進むため、完成する濃度は6％です。

答えを確認してみましょう。

4％の食塩水200gに含まれる食塩は8g、10％の食塩水100gに含まれる食塩は10gです。

食塩の合計は18g、食塩水の合計は300gなので、

18÷300×100＝6％

となります。

てんびん算と通常の濃度計算で同じ答えになることを確認してください。

例題2｜濃度から混ぜる量の比を求める

例題

5％の食塩水と13％の食塩水を混ぜて、7％の食塩水を作ります。それぞれ何対何の割合で混ぜればよいでしょうか。

まず、濃度を小さい順に並べます。

5％　―　7％　―　13％

平均との差は、

7－5＝2

13－7＝6

です。

混ぜる量は平均との差の逆比なので、

5％の食塩水：13％の食塩水

＝6：2

＝3：1

となります。

答えは3：1です。

13％の食塩水のほうが濃いため、少ない量でも完成する濃度を上げられます。

求めた比が、7％という低いほうに近い濃度と合っているかも確認しましょう。

例題3｜全体の重さからそれぞれの量を求める

例題

6％の食塩水と15％の食塩水を混ぜて、9％の食塩水を600g作ります。それぞれ何g必要でしょうか。

まず、平均との差を求めます。

9－6＝3

15－9＝6

混ぜる量の比は、

6％の食塩水：15％の食塩水

＝6：3

＝2：1

です。

全体は2＋1＝3つ分になります。

600÷3＝200g

したがって、

6％の食塩水は200×2＝400g

15％の食塩水は200g

です。

答えは400gと200gになります。

このように、混ぜる量の比を求めたあとに全体の重さを使えば、それぞれの量まで求められます。

中学受験で差がつくてんびん算の応用問題

てんびん算は、食塩水だけに使う方法ではありません。

異なる平均値を持つ2つの集団を合わせる問題にも利用できます。

ただし、すべての割合問題に当てはまるわけではないため、使える条件を確認しましょう。

平均点の問題にてんびん算を利用する

例題

A組の平均点は60点、B組の平均点は80点です。2つの組を合わせた平均点が68点だったとき、A組とB組の人数の比を求めましょう。

てんびん図では、

60点　―　68点　―　80点

と並べます。

平均との差は、

68－60＝8

80－68＝12

です。

人数の比は逆比になるので、

A組：B組

＝12：8

＝3：2

です。

A組の人数が多いため、全体の平均点は60点に近くなります。

食塩水の濃度と同じ考え方で解けることが分かります。

ただし、人数の比と平均点の差を混同しないように注意しましょう。

食塩水の一部を取り替える問題の考え方

食塩水の問題には、容器の中の食塩水を一部取り出し、別の濃度の食塩水を加える問題もあります。

例えば、8％の食塩水500gから200gを取り出し、代わりに20％の食塩水200gを加えたとします。

取り出したあとに残る8％の食塩水は、

500－200＝300g

です。

ここで混ぜるのは、8％の食塩水300gと20％の食塩水200gです。

食塩の量を計算すると、

300×0.08＝24g

200×0.20＝40g

となります。

合計は64gなので、完成する濃度は、

64÷500×100＝12.8％

です。

この問題は、8％と20％を300：200で混ぜるてんびん算としても考えられます。

ただし、取り出した200gを計算に含めないことが重要です。

てんびん算を使えない問題を見分ける

てんびん算は、異なる濃度や平均値を持つ2種類を組み合わせる問題に便利です。

一方、水を蒸発させる問題では、食塩水全体の重さだけが減り、食塩の量は変わりません。

例えば、8％の食塩水500gには40gの食塩が含まれています。

水を100g蒸発させると、食塩水は400gになりますが、食塩は40gのままです。

したがって、濃度は、

40÷400×100＝10％

です。

このような問題は、食塩の量が変わらないことに注目したほうが簡単です。

てんびん算を無理に使う必要はありません。

問題の条件を確認し、食塩の量を直接計算する方法と使い分けることが大切です。

てんびん算が苦手な子への家庭での教え方

てんびん算が難しく感じられる原因の一つは、平均との差と混ぜる量の比が逆になることです。

家庭では、この関係を公式として暗記させる前に、数字の意味を理解させましょう。

最初は身近な数字で平均の意味を確認する

最初から複雑な食塩水の問題に取り組む必要はありません。

例えば、60点の子と80点の子が1人ずついる場合、平均点は70点です。

一方、60点の子が2人、80点の子が1人なら、全体の平均点は、

（60×2＋80）÷3

＝200÷3

＝66と2/3点

になります。

60点の子が多いので、平均は60点に近づきます。

このように、人数が多いほうの平均値へ全体の平均が近づくことを理解できれば、てんびん算の仕組みも理解しやすくなります。

左右の差を書き込んで比を求める

てんびん算では、数字を正しい位置に書くことが重要です。

例えば、5％と13％を混ぜて7％にするなら、まず5・7・13を小さい順に並べます。

次に、平均との差として2と6を書き込みます。

最後に、その差を逆にして混ぜる量の比を求めます。

子どもが逆比を間違える場合は、「完成する濃度はどちらに近い？」と質問しましょう。

7％は5％に近いため、5％の食塩水のほうを多く混ぜる必要があります。

答えの比がこの関係と一致しているかを確認させると、間違いに気づきやすくなります。

面積図や式と比較して理解を深める

てんびん算の仕組みが分からない場合は、面積図や通常の濃度計算と比較してみましょう。

例えば、4％の食塩水200gと10％の食塩水100gを混ぜる問題なら、食塩の量を直接計算できます。

8g＋10g＝18g

18÷300×100＝6％

です。

同じ問題をてんびん算でも解き、答えが一致することを確認します。

2つの解き方を比較すれば、てんびん算が特別な公式ではなく、食塩の量がつり合う関係を利用した方法だと理解しやすくなります。

ただし、解法が増えることで混乱する場合は、塾で習っている方法を優先しましょう。

翌日の解き直しで考え方を定着させる

てんびん算を学習した日は、まず基本問題を1～2問解きましょう。

解説を読んで理解した問題は、翌日に何も見ずに解き直します。

その際、濃度の大小を正しく並べられるか、平均との差を求められるか、逆比を使えるかを確認します。

さらに数日後、数字を変えた類題にも取り組みましょう。

例えば、4％と10％を混ぜる問題が解けたら、5％と13％を混ぜる問題へ進みます。

数字が変わっても自力で解けるようになれば、考え方が定着していると判断できます。

まとめ｜てんびん算は平均との差を理解すれば解ける

中学受験算数のてんびん算は、食塩水の濃度や平均に関する問題を解くための方法です。

基本は、2つの濃度や平均値を左右に置き、中央に完成する値を書き込むことです。

その後、中央から左右それぞれの値までの差を求め、逆比を利用して混ぜる量を計算します。

例えば、4％と10％の食塩水を混ぜて6％にする場合は、混ぜる量の比が2：1になります。

また、てんびん算は食塩水だけでなく、平均点と人数の問題にも利用できます。

ただし、水を蒸発させる問題などでは、食塩の量を直接計算するほうが簡単な場合もあります。

家庭では、最初から数字の配置を暗記させず、平均との差が小さいほうを多く混ぜる理由から説明しましょう。

てんびん算を理解するために大切なのは、平均との差と混ぜる量の関係を正しく捉えることです。

基本的な問題から練習し、食塩水や平均の応用問題にも対応できる力を身につけていきましょう。