中学受験算数「旅人算」の問題と解き方

中学受験算数の旅人算とは？基本を整理

この記事では、中学受験算数の旅人算について、向かい合う・追いつく・時間差で出発する基本問題から、円形の道や複数回出会う応用まで、家庭で教えやすい形で順を追って解説します。

旅人算は、2人や2台の乗り物が進むときの「距離の変化」を考える問題です。

公式を覚えるより、

「2人の間の距離が、1分ごとに何m変わるか」

に注目すると理解しやすくなります。

旅人算は2人の間の距離に注目する

例えばAさんとBさんが300m離れているとします。

AさんがBさんに向かって分速60mで進み、BさんもAさんに向かって分速40mで進むと、1分後には2人の間の距離が、

60＋40＝100m

縮まります。

最初の距離300mが毎分100mずつ縮まるので、

300÷100＝3分

で出会います。

旅人算では、この「2人の間の距離がどう変化するか」が中心です。

向かい合うときは速さを足す

向かい合って進む場合、2人は両側から距離を縮めています。

分速70mと分速50mなら、

70＋50＝120m

ずつ1分ごとに近づきます。

この速さを「合わせた速さ」と考えると分かりやすいでしょう。

距離が600mなら、

600÷120＝5分

で出会います。

同じ方向では速さの差を見る

一方、同じ方向へ進む2人がいるとします。

前の人が分速60m、後ろの人が分速80mなら、後ろの人は1分ごとに、

80－60＝20m

ずつ差を縮めます。

最初に100m離れているなら、

100÷20＝5分

で追いつきます。

つまり、

向かい合う→速さを足す
同じ方向→速さの差

が基本です。

まず「道のり・速さ・時間」を確認する

旅人算でも、速さの基本は変わりません。

道のり＝速さ×時間
速さ＝道のり÷時間
時間＝道のり÷速さ

です。

ただし旅人算では、「どの速さを使うか」がポイントです。

向かい合うなら合わせた速さ、追いつくなら速さの差を使います。

旅人算の基本問題を例題で解説

ここからは、中学受験でよく出る旅人算の問題を確認します。

向かい合って出会う問題

例題1：AさんとBさんが600m離れた地点から向かい合って同時に出発します。Aさんは分速70m、Bさんは分速50mです。何分後に出会いますか。

1分間に縮まる距離は、

70＋50＝120m

です。

したがって、

600÷120＝5分

です。

答えは5分後です。

検算すると、

Aさんは70×5＝350m
Bさんは50×5＝250m

進み、

350＋250＝600m

なので正しいことが分かります。

後ろから追いつく問題

例題2：AさんはBさんより200m後ろにいます。Aさんは分速90m、Bさんは分速50mで同じ方向に進みます。何分後に追いつきますか。

Aさんは1分ごとに、

90－50＝40m

ずつ距離を縮めます。

最初の差は200mなので、

200÷40＝5分

です。

答えは5分後です。

追いつく問題では、「2人が何m進むか」より、「差が毎分何m縮まるか」を考えると簡単です。

時間差で出発する問題

例題3：Bさんが分速60mで先に出発しました。10分後、Aさんが同じ地点から分速90mで追いかけます。Aさんは出発して何分後に追いつきますか。

まず、Bさんが10分で進んだ距離を求めます。

60×10＝600m

これがAさん出発時点での差です。

2人の速さの差は、

90－60＝30m

です。

したがって、

600÷30＝20分

で追いつきます。

このタイプでは、まず「先に出た人がどれだけ進んでいるか」を出しましょう。

往復して出会う問題

例題4：A地点とB地点は720m離れています。AさんはA地点から分速80m、BさんはB地点から分速40mで同時に向かい合って出発します。何分後に出会いますか。

合わせた速さは、

80＋40＝120m

です。

720÷120＝6分

なので、6分後に出会います。

Aさんが進んだ距離は、

80×6＝480m

Bさんは、

40×6＝240m

です。

このように、出会うまでの時間が分かれば、出会う場所まで求められます。

中学受験で差がつく旅人算の応用問題

基本が理解できたら、比や円形の道と組み合わせた問題へ進みます。

速さの比から時間の比を考える

同じ距離を進む場合、

速さが速いほど時間は短くなります。

例えばAとBの速さの比が、

3：2

なら、同じ距離を進む時間の比は、

2：3

です。

速さと時間は逆比になります。

例えばAが20分で進む距離をBが進むなら、

20×3÷2＝30分

です。

旅人算では、この逆比が出会い時刻や往復問題で使われることがあります。

円形の道を反対方向に進む問題

1周600mの円形の道を、同じ地点からAさんが分速80m、Bさんが分速40mで反対方向へ進むとします。

反対方向なので、1分あたりに2人が進む合計は、

80＋40＝120m

です。

再び出会うまでに2人が合わせて1周分600m進めばよいので、

600÷120＝5分

です。

答えは5分後です。

円形の道を同じ方向に進む問題

同じ1周600mの道を、Aさんが分速100m、Bさんが分速60mで同じ地点から同じ方向に進むとします。

AさんがBさんに追いつくには、AさんがBさんより1周分多く進む必要があります。

速さの差は、

100－60＝40m

です。

したがって、

600÷40＝15分

です。

同じ地点から出発する場合でも、同じ方向なら「相対的に1周差がつくまで」と考えます。

複数回出会う問題は距離の変化を追う

難しい問題では、

出会う
↓
そのまま進む
↓
端で折り返す
↓
再び出会う

という設定があります。

この場合も一度に考えず、

最初の出会いまで
次に端へ着くまで
折り返してから

と区切ります。

例えば、最初の出会いまで5分なら、その時点で2人がどこにいるかを必ず確認します。

「出会った後も同じ動きが続く」と思い込まず、折り返しや停止の条件を一つずつ整理しましょう。

旅人算が苦手な子への家庭での教え方

旅人算でつまずく子には、「足す・引く」を暗記させるより、2人の動きを図で見せることが効果的です。

公式より線分図を先に書く

例えば300m離れた2人なら、

A →　　　　← B
　　300m

と簡単に書きます。

同じ方向なら、

A →
　　B →

のようにします。

矢印を見るだけでも、向かい合っているのか、追いかけているのか判断しやすくなります。

「1分で何m近づく？」と聞く

子どもが式を作れないときは、

「足すの？引くの？」

と聞くより、

「1分たったら2人の間は何m変わる？」

と聞いてみましょう。

分速60mと40mで向かい合うなら、

60＋40＝100m

です。

同じ方向なら、

60－40＝20m

です。

意味を理解すれば、公式を丸暗記しなくても判断できます。

単位をそろえてから計算する

旅人算では単位のミスも多くあります。

例えば時速6kmと分速80mをそのまま足してはいけません。

時速6kmは、

6000m÷60分＝分速100m

です。

したがって、分速80mと比べるなら、

100m/分と80m/分

として計算します。

速さを足したり引いたりする前に、単位を確認しましょう。

基本3パターンを繰り返す

最初に固めたいのは、

向かい合って出会う
同じ方向で追いつく
時間差で追いつく

の3パターンです。

これらが安定してから、

円形の道
往復
複数回出会う

へ進みます。

翌日には数字を変えた類題を解き、

「なぜ足すのか」
「なぜ引くのか」

を子ども自身が説明できるか確認しましょう。

まとめ｜旅人算は2人の間の距離の変化を見よう

中学受験算数の旅人算では、2人それぞれの速さよりも、

2人の間の距離が1分ごとにどう変化するか

を見ることが重要です。

基本は、

向かい合う
→速さを足す

同じ方向に進む
→速さの差を見る

という考え方です。

時間差で出発する問題では、先に出た人が作った距離を最初に求めます。

また、円形の道では、反対方向なら合わせて1周、同じ方向なら速い人が1周分の差をつけるまでと考えると整理できます。

家庭では線分図と矢印を書き、

「1分で何m近づく？」
「1分で何m差が縮む？」

と聞いてみましょう。

旅人算を得意にするコツは、「向かい合うから足す」と丸暗記することではなく、2人の間の距離が毎分どれだけ変わるのかを理解することです。