中学受験算数の数列問題｜基本と解き方を解説

中学受験算数の数列問題で押さえたい基本

この記事では、中学受験算数の数列問題について、基本的な規則の見つけ方から、何番目の数・数列の和・周期・群数列まで順を追って解説します。

中学受験算数の数列問題は、並んでいる数字の規則を見つけ、その先の数や位置、合計などを求める問題です。

一見するとひらめき勝負に見えますが、実際には見るポイントがあります。

まずは「どのくらい増えているか」「何番目か」「同じ動きが繰り返されていないか」を確認することが基本です。

まず隣り合う数の変化を見る

例えば、

3、7、11、15、19……

という数列を見てみましょう。

隣り合う数の差は、

7－3＝4
11－7＝4
15－11＝4

となります。

毎回4ずつ増えています。

このように、最初に「前の数との差」を調べると規則が見つかりやすくなります。

中学受験では、いきなり複雑な式を考えるより、

「＋いくつ？」
「×いくつ？」

と調べるところから始めましょう。

何番目の数かを意識する

数列では、数字そのものだけでなく「何番目か」が重要です。

先ほどの、

3、7、11、15、19……

なら、

1番目＝3
2番目＝7
3番目＝11

です。

1番目の3から、1回進むごとに4増えています。

例えば10番目なら、1番目から9回増えるので、

3＋4×9＝39

です。

ここで、

4×10

としないよう注意が必要です。

「1番目から何回移動するか」を考えると間違いにくくなります。

規則は数字だけでなく位置にも注目する

数列問題では、

1、2、1、2、1、2……

のように、同じ並びを繰り返す場合もあります。

このとき重要なのは周期です。

2個で1組なので、

奇数番目は1
偶数番目は2

となります。

例えば101番目なら奇数なので1です。

数字の増え方が見つからない場合は、「同じ並びが何個ごとに繰り返されているか」も確認しましょう。

数列の基本問題を例題で解いてみよう

ここからは、中学受験でよく出る数列問題を例題で確認します。

例題1｜一定の数ずつ増える数列

問題

5、8、11、14、17……と続く数列があります。20番目の数を求めましょう。

この数列は3ずつ増えています。

1番目は5です。

20番目までは、

20－1＝19回

増えます。

したがって、

5＋3×19
＝5＋57
＝62

です。

答えは62です。

このタイプでは、

最初の数＋増える数×（求める番号－1）

という考え方が使えます。

ただし、公式だけ暗記するより「何回増えるか」を理解することが大切です。

例題2｜何番目にある数かを求める

問題

4、9、14、19、24……と続く数列で、64は何番目でしょうか。

5ずつ増える数列です。

最初の4から64までは、

64－4＝60

増えています。

1回につき5増えるので、

60÷5＝12回

進んでいます。

1番目から12回進むので、

12＋1＝13番目

です。

答えは13番目です。

「何回進んだか」と「何番目か」は1つずれることに注意しましょう。

例題3｜数列の和を工夫して求める

問題

1＋2＋3＋……＋20を求めましょう。

順番に足しても求められますが、中学受験では工夫します。

最初と最後を組にすると、

1＋20＝21
2＋19＝21
3＋18＝21

となります。

21になる組が10組あるので、

21×10＝210

です。

答えは210です。

同じ考え方で、

1＋2＋3＋……＋100

なら、

101×50＝5050

となります。

数列の和では「両端を組み合わせる」と同じ和になるかを確認しましょう。

例題4｜増え方が変化する数列

問題

2、5、9、14、20、27……の次の数を求めましょう。

隣り合う数の差を見ると、

＋3
＋4
＋5
＋6
＋7

です。

増える数そのものが1ずつ増えています。

したがって次は、

＋8

なので、

27＋8＝35

です。

答えは35です。

数そのものだけを見ても分からないときは、「差の並び」をもう一度数列として見る方法が有効です。

中学受験で差がつく数列の応用問題

入試では、単純に一定数ずつ増えるだけではありません。

周期・群数列・図形との組み合わせなどが出題されます。

周期を見つける問題

問題

1、2、3、1、2、3、1、2、3……と並んでいます。100番目の数を求めましょう。

3個で1組です。

100÷3＝33あまり1

となります。

33組終わったあと、次の1番目なので答えは1です。

周期問題では、

求めたい番号÷1周期の個数

を計算し、余りに注目します。

余りが1なら1番目、余りが2なら2番目というように考えます。

なお、余りが0なら周期の最後の数になります。

群数列はグループごとの個数を見る

群数列とは、数字をいくつかのグループに分けて並べた数列です。

例えば、

1｜2、3｜4、5、6｜7、8、9、10｜……

という並びがあります。

第1群には1個
第2群には2個
第3群には3個
第4群には4個

と、群が1つ進むごとに数字の個数が1個増えています。

第10群までに何個の数が並ぶかなら、

1＋2＋3＋……＋10

を求めます。

両端を組にすると、

11×5＝55個

です。

群数列では、数字の値より「各グループに何個あるか」を先に確認すると整理しやすくなります。

図形と組み合わされた規則性を考える

数列は数字だけでなく、図形問題として出ることもあります。

例えば正方形を横一列につないでいくとします。

正方形1個なら棒は4本。

2個なら共有する1辺があるため7本。

3個なら10本。

つまり、

4、7、10、13……

と3本ずつ増えます。

20個並べるなら、

4＋3×19＝61本

です。

図形の問題でも、個数を書き出して数列に直すと解きやすくなることがあります。

大きな番号は小さい例から規則を探す

「100番目」「1000番目」など大きな数字が出ると、子どもは難しく感じます。

しかし、大きな番号を最初から考える必要はありません。

まず、

1番目
2番目
3番目
4番目

まで実際に書き、

何が変わるか
何が一定か

を調べます。

例えば図形の個数なら、

1個→4本
2個→7本
3個→10本

と小さい場合を確認することで、「3本ずつ増える」と見つけられます。

大きな数ほど、最初は小さく試すのが数列問題の基本です。

数列問題が苦手な子への家庭での教え方

数列が苦手な子は、「規則を一瞬で見抜かなければならない」と思っていることがあります。

家庭では、規則の探し方そのものを教えましょう。

最初から公式を使わず書き出してみる

例えば、

3、7、11、15……

を見て、すぐ公式を覚えさせる必要はありません。

まず、

7－3＝4
11－7＝4
15－11＝4

と書きます。

「毎回4増えているね」と確認したあとで、10番目や20番目を考えます。

公式は、規則を理解したあとに使うほうが定着します。

差・個数・位置を表に整理する

数列問題で混乱したら、

何番目
その数
前との差

を表にします。

例えば、

1番目　3
2番目　7　＋4
3番目　11　＋4
4番目　15　＋4

と並べます。

群数列なら、

第1群　1個
第2群　2個
第3群　3個

と整理します。

頭の中だけで規則を探すより、変化が見えやすくなります。

答えより規則を言葉で説明させる

子どもが答えを出したら、

「どういう規則だった？」

と聞いてみましょう。

例えば、

「3から始まって4ずつ増える」
「3個ごとに同じ並びが繰り返される」
「第n群にはn個ある」

と説明できれば、考え方を理解しています。

答えだけ合っていても、規則を説明できなければ偶然の可能性があります。

家庭では、短い言葉で説明できるかを確認してください。

基本から群数列へ段階的に進める

おすすめの順番は、

一定数ずつ増える数列
何番目を求める
何番目かを求める
数列の和
周期
増え方が変わる数列
群数列

です。

いきなり群数列や難しい規則性に進む必要はありません。

例えば一定数ずつ増える問題が不安定なら、まず3～5問程度の基本問題を自力で解ける状態にします。

数列は、規則の見つけ方を一つずつ増やしていくと苦手を克服しやすい単元です。

まとめ｜数列問題は「変化」と「位置」に注目しよう

中学受験算数の数列問題では、まず数字の並びを見て、

隣の数との差
何番目か
同じ並びの繰り返し
グループごとの個数

を確認します。

一定数ずつ増える数列では、「最初の数から何回増えるか」がポイントです。

数列の和では両端を組み合わせ、周期問題では1周期の個数、群数列では各群に含まれる個数に注目します。

また、大きな番号が出ても、いきなり100番目を考える必要はありません。

1番目、2番目、3番目と小さい例を書き、規則を探しましょう。

中学受験の数列問題は、ひらめきだけで解くものではなく、「どのように変化しているか」と「何番目にいるか」を整理することで解ける問題です。

家庭では公式を先に暗記させず、数字を書き出し、差や位置を確認しながら、規則を自分の言葉で説明できる状態を目指しましょう。