中学受験の立体図形難問｜攻略法をやさしく解説

中学受験の立体図形難問はなぜ難しい？

この記事では、中学受験で出る立体図形の難問について、よくある出題タイプと考え方、家庭での復習方法まで順番に解説します。

立体図形の難問を見ると、図が複雑で「こんなの小学生に解けるの？」と感じることがあります。

しかし、難問だからといって特別な公式ばかりを使うわけではありません。

多くの場合、

体積
相似
比
切断
回転
水量

といった基本事項が複数組み合わされています。

複数の単元が1題に組み合わされる

例えば立方体を切断したあと、

切り口の面積
切り取られた立体の体積
残った立体の体積比

まで聞かれる問題があります。

最初は「切断」の問題ですが、途中から、

平面図形
相似
体積

も必要になります。

難問で止まる子は、1つの解法を知らないのではなく、「どの単元を順番に使えばいいか」が見えていないことが多いです。

見えない部分を想像する必要がある

立体図形では、紙に描かれていない奥側の面まで考えなければなりません。

例えば立方体の切断では、

手前の面
右側の面
奥の面

へ切断線が続く場合があります。

見えている3面だけを見ていると、切り口が途中で止まってしまいます。

難問ほど、「今見えていない面」を補う力が必要です。

公式だけでは解けない

直方体なら、

体積＝たて×横×高さ

円柱なら、

体積＝底面積×高さ

です。

しかし難問では、

どこが底面か
どこまでが同じ立体か
どの部分を足すか・引くか

を自分で判断する必要があります。

公式を覚えていても、立体を分解できなければ式を立てられません。

中学受験で出やすい立体図形の難問タイプ

立体図形の難問は、いくつかの典型タイプに整理できます。

切断面と体積を組み合わせる問題

代表的なのが、立方体や直方体を平面で切り、

切り口の形
切り口の面積
切り取られた部分の体積

を求める問題です。

例えば一辺6cmの立方体の角を切り落とし、切り取られた部分が三角すいになったとします。

三角すいの底面積が9㎠、高さが4cmなら、

9×4÷3＝12㎤

です。

難しいのは公式ではなく、「切り取られた部分が三角すいだ」と見抜くところです。

相似比から体積比を求める問題

相似な立体では、

長さの比
面積の比
体積の比

を区別します。

相似比が、

2：3

なら、

面積比＝4：9
体積比＝8：27

です。

例えば小さい立体の体積が64㎤で、相似比が2：3なら、

64：大きい体積＝8：27

です。

64÷8＝8

なので、

8×27＝216㎤

となります。

難問では相似比が直接書かれておらず、途中の辺の長さから見つけることもあります。

回転体の重なりや共通部分を求める問題

平面図形を回転させると、

円柱
円すい
球に近い形

などができます。

難問では単純な回転体ではなく、

2つの立体が重なる
一部分がくり抜かれる
回転軸が途中にある

といった設定が加わります。

この場合は一度、

どの図形を回しているか
半径はどの長さか
高さはどこか

を図へ書き込みます。

複雑な見た目でも、できあがる立体を円柱や円すいへ分けると解きやすくなります。

水量・水位変化をグラフで考える問題

容器に水を入れ、

時間と水位の関係

をグラフから考える問題も難しくなりやすい分野です。

例えば毎秒一定量の水を入れているのに、水位の上がり方が途中から遅くなったなら、

途中から底面積が広くなった

可能性があります。

水量は同じでも、

底面積が小さい
→水位は速く上がる

底面積が大きい
→水位はゆっくり上がる

という関係です。

立体とグラフを同時に読む必要があるため、応用問題になりやすいタイプです。

立体図形の難問を解くための4つの考え方

難問を前にしたとき、「ひらめき」を待つ必要はありません。

まず使える基本手順があります。

複雑な立体を基本図形へ分ける

L字型や階段状の立体が出たら、

直方体A
直方体B

のように分けます。

例えば、

Aの体積＝4×3×5＝60㎤
Bの体積＝2×3×2＝12㎤

なら、

60＋12＝72㎤

です。

逆に、

大きな直方体－欠けた部分

で求めたほうが簡単な場合もあります。

難問ほど「複雑な1個」と見ないことが重要です。

切断は同じ面の2点から追う

立体切断で最初にすることは、

同じ面にある2点を探す

ことです。

その2点を結び、そこから隣の面へ線をつなげます。

「3点を全部一気に結ぶ」のではありません。

1本ずつ、

同じ面
次の面
さらに次の面

と追うことで、切り口を完成させます。

難問でも基本は同じです。

長さより比で考えられないか確認する

難関校の立体問題では、すべての長さを計算しなくても、

比

だけで解けることがあります。

例えば相似な立体で、

高さの比＝2：5

なら、

体積比＝8：125

です。

実際の高さや面積をすべて出すより、比を使ったほうが計算量を減らせます。

問題を見たら、

「本当に具体的な長さが必要？」

と一度考えてみましょう。

分からないときは簡単な形で試す

規則性を含む立体問題では、小さい場合から試す方法が有効です。

例えば小立方体を積み重ねた問題で、5段・10段では分かりにくいなら、

1段
2段
3段

を書いてみます。

表面に出ている面の数などを実際に数えると、増え方の規則が見えることがあります。

難問ほど、小さな数字へ戻ることが突破口になります。

立体図形の難問が苦手な子の家庭学習法

難問対策で大切なのは、「難問をたくさん解くこと」ではありません。

いきなり難問ばかり解かない

立体図形が苦手なのに、難関校の過去問だけを解き続けても伸びにくいものです。

まず、

体積・表面積
展開図
相似
切断

の基本を確認します。

例えば切断問題で止まるなら、

同じ面の2点を結べるか

だけを確認する基本問題へ戻ります。

難問の原因が基本単元にあることは珍しくありません。

解説を読んだら図を白紙から描き直す

解説を読んで、

「分かった」

と感じても、そのままでは定着しません。

解説を閉じて、

立方体を描く
点を書き入れる
補助線を引く
式を立てる

ところまで自分で再現します。

特に立体図形では、答えより「図を再現できるか」が重要です。

翌日に数字を変えた類題を解く

同じ問題を翌日に解くと、答えを覚えていることがあります。

そこで、

一辺6cm→8cm
相似比2：3→3：4

のように数字を変えます。

例えば相似比3：4なら、

体積比＝27：64

です。

数字が変わっても同じ考え方を使えれば、理解が定着しています。

過去問では捨てる問題の判断も練習する

立体図形の難問は、学校によってはかなり時間がかかります。

入試本番では、すべての問題を完答する必要があるとは限りません。

例えば、

大問の（1）は基本
（2）は標準
（3）は難問

という構成なら、まず（1）（2）を確実に取ることが大切です。

難問1題に15分以上使い、計算問題を落とすのは避けたいところです。

家庭でも、

5分考えて方針が立たない
→いったん飛ばす

など、時間配分の練習を入れておきましょう。

まとめ｜立体図形の難問は基本の組み合わせとして考えよう

中学受験の立体図形難問では、

切断
相似
体積比
回転体
水量・グラフ

などが組み合わされます。

見た目は複雑でも、使っている考え方は、

基本図形へ分ける
同じ面の2点を結ぶ
比を使う
小さい場合で試す

といった中学受験算数の基本です。

特に難問では、

「特別な公式を知らないから解けない」

のではなく、

「基本のどれを使うか分からない」

ことが多くあります。

立体図形の難問を攻略するポイントは、複雑な図をそのまま解こうとせず、知っている基本問題へ分解することです。

家庭では、難問を解説付きで大量に進めるより、

基本へ戻る
図を自分で描く
翌日に類題を解く

という流れを繰り返しましょう。

立体図形の難問は、ひらめきだけで解く単元ではありません。

基本の見方を積み重ねることで、初めて見る問題でも「まず何をすればいいか」が少しずつ見えるようになります。