中学受験算数のブーメラン型｜角度の求め方

中学受験算数の「ブーメラン型」とは？

この記事では、中学受験算数のブーメラン型について、角度の求め方から公式の理由、間違えやすいポイント、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数の角度問題では、「ブーメラン型」と呼ばれる形が登場することがあります。

名前だけ聞くと特別な公式のように感じますが、考え方の土台は三角形の角度です。

見た目に惑わされず、三角形へ分けて考えることがポイントです。

へこんだ四角形をブーメラン型と呼ぶ

普通の四角形は、4つの角が外側に向いています。

一方、ブーメラン型は1か所が内側へへこんでいます。

イメージとしては、

A
＼
　B
／
C

のように、一部分がくぼんだ形です。

厳密には形の向きはいろいろありますが、「1か所がへこんだ四角形」と考えると分かりやすいでしょう。

中学受験では、このへこんだ部分の角度を求める問題がよく出ます。

へこんだ角は外側3つの角の和になる

ブーメラン型では、

へこんだ角＝外側にある3つの角の和

という関係が使えます。

たとえば外側の3つの角が、

40度
35度
25度

なら、

40＋35＋25＝100度

となります。

したがって、へこんだ角は100度です。

この性質を知っていると、複雑そうな角度問題でも数秒で処理できることがあります。

丸暗記より三角形に分けて理解する

ただし、

「ブーメラン型だから3つ足す」

だけで覚えるのはおすすめできません。

図の向きや形が変わると、どの角を足すのか分からなくなるからです。

そこで補助線を1本引いて、図形を2つの三角形に分けます。

すると、三角形の外角の性質を2回使うことで、

へこんだ角＝外側3つの角の和

になることが分かります。

つまりブーメラン型は、特別な新しい公式ではありません。

三角形の角度の性質をまとめて使った形

と考えるのが正確です。

ブーメラン型の角度を例題で攻略

ここからは、典型問題を使って解き方を確認します。

例題1｜3つの角からへこんだ角を求める

【問題】

ブーメラン型の外側の3つの角が、

50度
30度
20度

です。

へこんだ角は何度ですか。

【解き方】

3つを足します。

50＋30＋20＝100

答えは、

100度

です。

これはブーメラン型の最も基本的な問題です。

まずは、

「へこんだ角＝残り3つの角の和」

を使えるようにしましょう。

例題2｜へこんだ角から残りの角を求める

【問題】

へこんだ角が120度です。

外側の3つのうち、2つが45度と30度です。

残りの角を求めなさい。

【解き方】

外側3つの角の和が120度なので、

120－45－30＝45

答えは、

45度

です。

ブーメラン型では、求める角が必ずへこんだ部分とは限りません。

分かっている関係を逆に使うこともあります。

例題3｜向きが変わったブーメラン型

ブーメラン型は、問題によって、

横向き
逆さま
斜め向き

に置かれることがあります。

たとえば外側の角が、

60度
35度
25度

なら、向きに関係なく、

60＋35＋25＝120度

です。

答えは120度。

図形が回転しても性質は変わりません。

算数が苦手な子ほど、

「いつも見た形と違う」

だけで別問題だと思ってしまいます。

向きではなく、「1か所がへこんでいるか」を見ましょう。

例題4｜補助線を引いて考える問題

ブーメラン型の性質を忘れた場合でも、補助線を使えば求められます。

へこんだ点から反対側の頂点へ線を引くと、図形が2つの三角形に分かれます。

そこで三角形の、

内角の和＝180度

または、

外角＝離れた2つの内角の和

を使います。

2つの三角形でできた角を合わせると、結果として、

外側の3つの角の和＝へこんだ角

になります。

入試本番で公式を忘れても、三角形に戻れば復元できることが重要です。

ブーメラン型で間違えやすいポイント

ブーメラン型は簡単そうに見えて、勘違いしやすいポイントがあります。

四角形の内角の和360度をそのまま使う

「四角形だから360度」

と考え、

360－3つの角

と計算する子がいます。

しかし、ブーメラン型では、図で示されている「へこんだ部分の小さい角」が、普通の四角形の内角として扱う角とは違うことがあります。

そのため、見た目だけで普通の四角形と同じ処理をすると混乱します。

ブーメラン型では、

へこんだ角＝外側3つの角の和

と考えるか、補助線で三角形に分けるほうが安全です。

どの角を足せばよいか分からなくなる

数字がたくさん書かれている問題では、

「全部足せばいい？」

と迷うことがあります。

まず探すのは、

へこんだ角

です。

その角に対して、外側にある3つの角を確認します。

補助線や別の三角形の角度が追加されている問題では、関係のない角もあるので注意しましょう。

図の向きが変わると別の問題に見える

ブーメラン型を一つの向きだけで覚えると、回転した瞬間に気づけなくなります。

たとえば、

右向き
左向き
上向き

でも性質は同じです。

家庭学習では問題集を回転させて、

「これも同じブーメラン？」

と確認するだけでも効果があります。

図形問題では「向きにだまされない力」が重要です。

公式だけ覚えて理由を説明できない

「3つ足す」という答えだけ覚えていても、少し複雑な問題になると使えないことがあります。

家庭では、

「なぜ3つ足すの？」

と一度聞いてみてください。

子どもが、

「補助線を引くと三角形が2つできるから」

と説明できれば、理解が進んでいます。

説明できない場合は、もう一度図に補助線を引いて確認しましょう。

家庭でできるブーメラン型の教え方

ブーメラン型は、図形が苦手な子でも手順を決めると解きやすくなります。

まず「へこんだ角」を見つける

問題を見たら、いきなり数字を計算しません。

最初に、

「どこがへこんでいる？」

と聞きます。

へこんだ角を指で確認できれば、ブーメラン型だと判断しやすくなります。

次に外側3つの角へ印をつけます。

これだけで、使う数字が整理できます。

補助線で三角形2つに分ける

公式を忘れたときのために、補助線の引き方も練習しておきましょう。

ブーメラン型を見たら、

「三角形2つにできない？」

と聞きます。

三角形に分ければ、

内角の和180度
外角の性質

という既に知っている知識へ戻れます。

図形問題では、新しい公式を覚えるより、知っている形へ変える力のほうが応用できます。

図を回転させて同じ形だと気づかせる

紙に簡単なブーメラン型を描き、

90度回転
180度回転

させてみましょう。

向きが変わっても、

へこんだ角＝外側3つの角の和

は変わりません。

子どもが、

「向きが違うだけで同じ」

と気づければ、初見問題への対応力が上がります。

翌日と1週間後に類題を解き直す

図形の公式は、覚えた直後より数日後に使えるかどうかが重要です。

おすすめは、

当日：基本問題
翌日：逆算する問題
1週間後：向きを変えた問題

という順番です。

たとえば1週間後に公式を忘れていても、

自分で補助線を引いて解けた

なら十分です。

むしろそのほうが本質的な理解につながっています。

まとめ｜ブーメラン型は「三角形に分ける」と理解できる

中学受験算数のブーメラン型は、へこんだ四角形の角度を扱う典型問題です。

最も基本的な関係は、

へこんだ角＝外側3つの角の和

です。

たとえば外側が、

40度
30度
20度

なら、

40＋30＋20＝90度

なので、へこんだ角は90度です。

ただし、この関係を丸暗記するだけでは十分ではありません。

ブーメラン型に補助線を1本引くと、2つの三角形に分けられます。

そこから三角形の角度や外角の性質を使えば、公式そのものを思い出せなくても答えを導けます。

家庭では、

「どこがへこんでいる？」
「外側の3つの角はどれ？」
「三角形2つにできない？」

と順番に聞いてみてください。

また、図を回転させても同じブーメラン型だと気づけるように練習しましょう。

中学受験算数の図形問題では、

葉っぱ型
砂時計型
ちょうちょ型
ブーメラン型

など、形に名前をつけて覚えることがあります。

名前は問題を素早く認識する助けになりますが、本当に大切なのは、その形の中にある基本的な性質を理解することです。

ブーメラン型も同じです。

「3つ足す公式」として覚えるのではなく、「補助線を引けば三角形に戻せる図形」と理解すること。

この考え方を身につければ、形が少し崩れた入試問題でも、自分で角度の関係を見つけやすくなります。