中学受験算数のポンプ問題｜入水・排水を攻略

中学受験算数のポンプ問題は「1分あたりの水量」が基本

この記事では、中学受験算数のポンプ問題について、1分あたりの水量の考え方から、複数のポンプ、入水と排水を組み合わせた応用問題まで順を追って解説します。

中学受験算数では、タンクや水そうにポンプで水を入れたり、逆に水をくみ出したりする問題が出ます。

見た目は複雑ですが、基本はとてもシンプルです。

大切なのは、

「1分で水が何L増えるのか、何L減るのか」

を整理することです。

ポンプの台数が増えても、途中で条件が変わっても、この考え方は変わりません。

入れる量とくみ出す量を区別する

たとえば、

Aポンプは1分に12L入れる
Bポンプは1分に5Lくみ出す

とします。

2台を同時に動かすと、1分あたりの水量の変化は、

12－5＝7L

です。

つまり、水は毎分7Lずつ増えます。

この問題で、

12＋5＝17L

としてはいけません。

一方は水を増やし、もう一方は減らしているからです。

家庭では、

入れる→プラス
くみ出す→マイナス

と書いて整理すると分かりやすくなります。

1分あたりの仕事量に直して考える

ポンプ問題では、

「10分で100L入る」

のように書かれる場合もあります。

この場合は、まず1分あたりに直します。

100÷10＝10L

なので、このポンプは1分に10L入れることが分かります。

逆に、

毎分15Lで8分間

なら、

15×8＝120L

です。

つまり、

1分あたりの量×時間＝全体の水量

という速さとよく似た関係で考えます。

仕事算との共通点を理解する

ポンプ問題は、仕事算と非常によく似ています。

たとえば、

Aだけなら12分で満水
Bだけなら6分で満水

という場合、水そう全体を1と考えると、

Aの1分あたり＝1/12
Bの1分あたり＝1/6

です。

2台を同時に使えば、

1/12＋1/6
＝1/12＋2/12
＝3/12
＝1/4

となります。

1分で全体の1/4入るので、

1÷1/4＝4分

で満水です。

水量が具体的に書かれていないときは、「水そう全体＝1」とする考え方が便利です。

ポンプ問題の基本パターンを例題で解説

ここからは、中学受験でよく出る代表的な問題を見ていきます。

1台のポンプで水を入れる問題

例題です。

「毎分18Lの水を入れるポンプで、空の水そうに270Lの水を入れます。何分かかりますか」

1分に18Lなので、

270÷18＝15

答えは15分です。

基本は、

全体の水量÷1分あたりの水量＝時間

です。

この形を確実に理解してから、複数のポンプへ進みます。

2台のポンプを同時に使う問題

「Aポンプは毎分12L、Bポンプは毎分8Lの水を入れます。2台を同時に使って400L入れるには何分かかりますか」

2台合わせると、

12＋8＝20L

1分で20L入ります。

したがって、

400÷20＝20分

です。

両方とも水を入れるので、ここでは足し算です。

同じ方向の働きなら足し、反対方向なら引く。

この判断が大切です。

入水と排水を同時に行う問題

「Aポンプは毎分20Lの水を入れ、Bポンプは毎分8Lの水をくみ出します。2台を同時に動かして360L増やすには何分かかりますか」

1分あたりの増加量は、

20－8＝12L

です。

したがって、

360÷12＝30分

答えは30分です。

ポンプ問題で迷ったら、

「1分後、水は何L増えている？」

と考えてみてください。

途中でポンプを増減する問題

応用では、途中で使うポンプが変わります。

たとえば、

「Aポンプは毎分10L、Bポンプは毎分5L入れます。最初の12分はAだけ、その後AとBを同時に使いました。全部で300L入るまで何分かかりますか」

最初の12分で、

10×12＝120L

入ります。

残りは、

300－120＝180L

です。

その後は2台で、

10＋5＝15L/分

なので、

180÷15＝12分

必要です。

全部では、

12＋12＝24分

となります。

途中で条件が変わる問題では、時間を区切って考えることがポイントです。

中学受験で出るポンプの応用問題

難度が上がると、具体的なL数ではなく、水そう全体の割合や、流れ込む水と排出する水を組み合わせて考える問題が出ます。

タンク全体を1として考える

「Aポンプだけなら15分、Bポンプだけなら10分で水そうを満水にできます。2台同時なら何分ですか」

水そう全体を1とします。

Aは1分で、

1/15

Bは1分で、

1/10

入れます。

合わせると、

1/15＋1/10
＝2/30＋3/30
＝5/30
＝1/6

です。

1分で全体の1/6入るので、6分で満水になります。

この方法は、水そうの容量が分からない問題で特に有効です。

水が漏れる問題は差を考える

「ポンプを使えば10分で満水になる水そうがあります。しかし底から水が漏れていて、実際には15分かかりました。漏れは1分に水そう全体の何分のいくつですか」

ポンプだけなら1分で、

1/10

入ります。

実際の増加は、

1/15

です。

その差が漏れている量なので、

1/10－1/15
＝3/30－2/30
＝1/30

です。

つまり、1分間に水そう全体の1/30ずつ漏れています。

「本来の増加量－実際の増加量＝漏れ」

と整理します。

一定量の水が流れ込み続ける問題

さらに難しい問題では、自然に水が流れ込む一方で、ポンプが水をくみ出します。

これはニュートン算に近い考え方です。

たとえば、

毎分4L自然に流れ込む
ポンプは毎分10Lくみ出す

なら、実際に減る水量は、

10－4＝6L/分

です。

くみ出している途中にも水が増えているので、ポンプの能力だけを見てはいけません。

このタイプでは、

増える量
減る量
差

の3つを分けて考えます。

グラフと組み合わせた問題の見方

水量の変化をグラフで表す問題もあります。

横軸が時間、縦軸が水量なら、

右上がり→水が増えている
水平→水量が変わらない
右下がり→水が減っている

と読み取ります。

さらに、線の傾きが急なら1分あたりの変化量が大きいことを表します。

たとえばAポンプを追加した瞬間に線が急になるなら、

「1分あたりに入る水量が増えた」

と考えられます。

グラフ問題でも、結局見ているのは1分あたりの増減です。

ポンプ問題が苦手な子への家庭での教え方

ポンプ問題が苦手な子は、数字をすぐ式にしようとして混乱することがあります。

まず「水がどう変化しているか」を言葉で確認しましょう。

プラスとマイナスで水量の変化を整理する

家庭では、

入れるポンプ　＋12L
排水ポンプ　－5L

のように書いてみてください。

そうすれば、

＋12－5＝＋7L

となり、「水が毎分7L増える」と目で確認できます。

複数のポンプが登場しても、

増やす働き
減らす働き

に分ければ整理しやすくなります。

表にして「1分あたり」を見える化する

たとえば、

Aポンプ｜＋12L/分
Bポンプ｜＋8L/分
Cポンプ｜－5L/分

と表にします。

3台を同時に使えば、

12＋8－5＝15L/分

です。

問題文が長いほど、こうした表が有効です。

頭の中だけで処理しないことがポイントです。

複合問題はいったん時間ごとに分ける

途中で条件が変わる問題では、

0～10分
10～20分
20分以降

のように区切ります。

それぞれについて、

何台動いているか
1分で何L変わるか
何分続くか

を書きます。

一度に全部考えるより、時間帯ごとに別の問題として処理するほうが簡単です。

式より先に水が増えるか減るかを確認する

計算する前に、

「この状態なら水は増える？減る？」

と聞いてみてください。

たとえば、

毎分8L入る
毎分12L出る

なら、答えは計算前から「水は減る」と分かります。

実際には、

8－12＝－4L/分

です。

もし子どもが、

20L増える

と答えたら、「入る量と出る量を足してしまった」と原因を特定できます。

まとめ｜ポンプ問題は「1分あたりの増減」を追おう

中学受験算数のポンプ問題では、まず、

1分で何L入るのか
1分で何L出るのか

を整理することが大切です。

両方とも水を入れるなら足します。

一方が水を入れ、もう一方がくみ出すなら差を考えます。

たとえば、

＋15L/分
－6L/分

なら、実際の増加は、

15－6＝9L/分

です。

また、水そう全体の量が書かれていない場合は、

水そう全体＝1

として、

1/10
1/15

のような1分あたりの仕事量で考えます。

さらに応用では、

途中でポンプが増える
水が漏れている
自然に水が流れ込む
グラフで水量変化が示される

といった条件が加わります。

それでも基本は変わりません。

家庭では、

「何算？」

と聞くより、

「1分後に水は何L増える？」
「水を増やすものはどれ？」
「減らすものはどれ？」
「途中で条件は変わっていない？」

と確認してみてください。

ポンプ問題は、一見すると仕事算・速さ・ニュートン算が混ざったように見えます。

しかし本質は、

1分あたりの変化量を求める
↓
時間を掛ける
↓
条件が変わったら区切る

というシンプルな流れです。

「1分あたりに水がどれだけ増減するか」を追う習慣が身につけば、基本的な水そう問題から複数ポンプを使う中学受験の応用問題まで対応しやすくなります。