中学受験算数の数の性質｜頻出問題と解き方

中学受験算数の数の性質では何が出る？

この記事では、中学受験算数の数の性質について、頻出テーマから基本問題、応用問題の考え方、家庭での復習方法まで順を追って解説します。

数の性質は、中学受験算数の中でも出題の幅が広い分野です。

代表的なのは、

約数
倍数
最大公約数
最小公倍数
素数
素因数分解
余り
周期

などです。

一見すると別々の問題に見えますが、基本にあるのは、

数を分ける・並べる・共通する規則を見つける

という考え方です。

約数・倍数は最優先で押さえる

最初に固めたいのが約数と倍数です。

例えば12の約数は、

1、2、3、4、6、12

です。

一方、12の倍数は、

12、24、36、48……

と続きます。

約数は、

その数を割り切れる数

倍数は、

その数を1倍、2倍、3倍……した数

です。

ここが曖昧だと、最大公約数や最小公倍数でも混乱します。

素数・素因数分解は約数問題の土台になる

素数とは、

1と自分自身以外では割り切れない2以上の整数

です。

例えば、

2、3、5、7、11、13……

などです。

12を素因数分解すると、

12＝2×2×3

となります。

大きな数でも、

何の素数が何個かけ合わされているか

に分解すると、約数や公約数を整理しやすくなります。

余り・周期・規則性も頻出テーマ

数の性質では、

5で割ると2余る数
7個ずつ並べたときの位置
数字の並びが何個ごとに繰り返すか

といった問題も出ます。

例えば、

2、5、8、11、14……

なら、3ずつ増える規則があります。

また、

赤・青・黄・赤・青・黄……

なら、3個で1周期です。

このように、数の性質は規則性とも強くつながっています。

数の性質の基本問題を例題で攻略

ここからは、中学受験でよく出る代表的な問題を確認します。

例題1｜最大公約数を求める問題

【問題】

24と36の最大公約数を求めなさい。

【解き方】

24の約数は、

1、2、3、4、6、8、12、24

36の約数は、

1、2、3、4、6、9、12、18、36

です。

共通する約数の中で最も大きいのは、

12

です。

したがって答えは、

12

です。

素因数分解なら、

24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3

共通する部分は、

2×2×3＝12

と求められます。

例題2｜最小公倍数を使う問題

【問題】

A君は6日ごと、B君は8日ごとに同じ図書館へ行きます。

今日2人が一緒に行ったとすると、次に一緒になるのは何日後ですか。

【解き方】

6と8の最小公倍数を求めます。

6の倍数は、

6、12、18、24……

8の倍数は、

8、16、24……

最初に共通するのは、

24

です。

答えは、

24日後

です。

「何日ごと」「何分ごと」と繰り返す問題では、最小公倍数を疑いましょう。

例題3｜約数の個数を求める問題

【問題】

24の約数は全部で何個ありますか。

【解き方】

24の約数は、

1、2、3、4、6、8、12、24

なので、

8個

です。

ただし大きな数では、全部書き出すのは大変です。

例えば、

24＝2³×3

と素因数分解できます。

2の使い方は、

0個、1個、2個、3個

の4通り。

3の使い方は、

0個、1個

の2通り。

したがって、

4×2＝8個

です。

この方法は難関問題でも使います。

例題4｜余りに注目する問題

【問題】

ある数を5で割ると2余ります。その数に3を足すと5で割り切れるでしょうか。

【解き方】

5で割ると2余る数は、

5の倍数＋2

です。

例えば、

7、12、17、22……

があります。

そこへ3を足すと、

10、15、20、25……

となり、すべて5で割り切れます。

つまり、

余り2＋3＝5

になるためです。

余りの問題では、実際に小さな数を入れて確かめると規則を理解しやすくなります。

中学受験で差がつく数の性質の考え方

基本問題が解けたら、次は問題文を数の関係に変える力を身につけます。

条件を「倍数」「約数」に言い換える

例えば、

「6人ずつ分けても8人ずつ分けても余りません」

という条件があったとします。

これは、

人数が6の倍数
かつ
8の倍数

という意味です。

つまり、

6と8の公倍数

を探します。

文章のまま考えるより、

「これは公倍数の問題」

と言い換えると整理しやすくなります。

余りの問題は同じ数を引いて考える

例えば、

ある数を7で割ると3余り、別の数も7で割ると3余る

とします。

2つの数から同じ3を引くと、

どちらも7の倍数

になります。

つまり2つの数の差は、

7の倍数

になります。

余りが同じ問題では、

同じ余りを取り除く

という見方が重要です。

周期問題は1周期の長さを見つける

例えば、

赤、青、黄、緑、赤、青、黄、緑……

と並んでいる場合、

4個で1周期

です。

100番目の色を求めるなら、

100÷4＝25

で余り0。

つまり4番目と同じ、

緑

です。

余りが1なら1番目、2なら2番目、3なら3番目と考えます。

大きな数字ほど、全部書き出さず周期を使うことが大切です。

大きな数は素因数分解して整理する

例えば、

72と120の最大公約数

を求めるなら、

72＝2³×3²
120＝2³×3×5

と分解します。

共通部分は、

2³×3＝24

です。

数字が大きくなったら、

無理に約数を全部書く

より、

素因数分解

を使うほうが速く正確です。

数の性質が苦手な子への家庭での教え方

数の性質は、公式をたくさん暗記するより、実際に数を書いて規則を見つけるほうが理解しやすい単元です。

九九の延長として倍数を書き出す

例えば6の倍数なら、

6、12、18、24、30……

と書きます。

8の倍数なら、

8、16、24、32……

です。

両方に24があるので、

最小公倍数は24

と目で確認できます。

最初から短除法だけを覚えさせるより、「共通する倍数」という意味を理解させることが大切です。

約数は必ずペアで探す

24の約数なら、

1×24
2×12
3×8
4×6

とペアにします。

すると、

1、2、3、4、6、8、12、24

と漏れなく見つけられます。

約数問題で抜けが多い子には、

「かけ算のペアを探そう」

と声をかけるとよいでしょう。

公式より具体的な数で規則を確認する

余りや周期で止まったら、

小さな数字

を実際に書きます。

例えば、

5で割ると2余る数

なら、

7、12、17、22……

と並べます。

そこから、

5ずつ増える

と気づけば、式の意味も理解しやすくなります。

翌日と1週間後に条件を変えた問題を解く

同じ数字だけで練習すると答えを覚えてしまいます。

おすすめは、

当日：12と18の最大公約数
翌日：15と25
1週間後：文章題で公約数を使う

という進め方です。

数字や問題文が変わっても、

「これは最大公約数を使う」

と判断できれば定着しています。

まとめ｜数の性質は「数を分解して規則を見る」

中学受験算数の数の性質では、

約数
倍数
最大公約数
最小公倍数
素数
素因数分解
余り
周期

などが重要です。

覚えることが多く見えますが、基本は、

数を書き出す
↓
共通点を探す
↓
規則を見つける
↓
大きな数なら分解する

という流れです。

例えば、

「6日ごとと8日ごとに同じことが起こる」

なら最小公倍数。

「24個と36個を同じ数ずつ分ける」

なら最大公約数。

「5で割ると2余る」

なら、

5の倍数＋2

と考えます。

家庭で子どもが止まったら、

「倍数を書いてみよう」
「約数をペアで探そう」
「余りを引いたらどうなる？」
「何個で同じ並びに戻る？」

と聞いてみてください。

数の性質は、単なる暗記単元ではありません。

数を分解し、共通する規則を見抜く力を育てる単元です。

この見方が身につけば、約数・倍数だけでなく、余り・周期・規則性など、中学受験で出るさまざまな数の問題にも対応しやすくなります。