中学受験算数の比例・反比例｜違いと解き方

中学受験算数の比例・反比例とは？

この記事では、中学受験算数の比例・反比例について、基本的な違い、表を使った見分け方、速さや仕事算への応用、家庭で分かりやすく教える方法まで順を追って解説します。

比例と反比例は、小学校算数で学ぶ内容ですが、中学受験では単独の問題だけでなく、

速さ
仕事算
歯車
図形
水量

など多くの単元につながります。

そのため、公式だけ覚えるのではなく、

「2つの量がどのように変化するか」

を理解することが大切です。

比例は「一方が2倍ならもう一方も2倍」

比例とは、一方の量が2倍、3倍になると、もう一方も2倍、3倍になる関係です。

たとえば、1個100円のりんごを買うとします。

1個なら100円
2個なら200円
3個なら300円
4個なら400円

です。

個数が2倍になると代金も2倍になります。

3倍なら代金も3倍です。

このような関係を比例といいます。

ここでは、

代金÷個数＝100円

がいつでも同じになります。

反比例は「一方が2倍ならもう一方は半分」

反比例では、一方が2倍になると、もう一方は2分の1になります。

たとえば一定量の仕事を1人ですると12時間かかるとします。

同じ能力の人が協力すると、

1人なら12時間
2人なら6時間
3人なら4時間
4人なら3時間

です。

人数が2倍になると時間は半分になります。

人数が3倍なら時間は3分の1です。

このような関係が反比例です。

表を作ると違いが見えやすい

比例と反比例が混乱する子には、表がおすすめです。

比例なら、

個数｜1｜2｜3｜4
代金｜100｜200｜300｜400

となります。

反比例なら、

人数｜1｜2｜3｜4
時間｜12｜6｜4｜3

です。

数字を横に並べると、

比例＝同じ方向に同じ割合で変化する
反比例＝一方が増えると、もう一方が対応して小さくなる

ことが見えやすくなります。

ただし、「一方が増えて一方が減る」だけでは反比例とは限りません。

ここが中学受験では重要です。

比例と反比例の見分け方を例題で解説

問題を見て瞬間的に「比例」「反比例」と判断するより、何が一定なのかを確認すると間違いにくくなります。

比例は「1あたりの量」が一定

例題です。

「1mあたり120円のリボンがあります。5mではいくらですか」

1mで120円なので、

120×5＝600円

です。

ここでは、

代金÷長さ＝120

が一定です。

つまり「1mあたり120円」という1あたりの量が変わりません。

比例の問題では、

1個あたり
1mあたり
1分あたり

などを探すと理解しやすくなります。

反比例は2つの量の積が一定

次の例を考えます。

「240kmの道のりを一定の速さで進みます」

時速40kmなら、

240÷40＝6時間

時速60kmなら、

240÷60＝4時間

です。

ここで、

40×6＝240
60×4＝240

となっています。

つまり、

速さ×時間＝道のり

で、道のり240kmが一定です。

反比例では、このように2つの量を掛けた結果が一定になります。

「増える・減る」だけで判断しない

子どもがよくする間違いが、

「一方が増えて、もう一方が減ったから反比例」

という判断です。

たとえば1000円持っていて、お菓子を買うほど残金は減ります。

使った金額が、

100円→200円

になっても、残金は、

900円→800円

です。

半分にはなっていません。

したがって反比例ではありません。

反比例かどうかは、

一方が2倍なら、もう一方が2分の1になるか

まで確認します。

文章題では変わらない量を探す

比例・反比例の文章題では、

「何が変わらない？」

と考えると判断しやすくなります。

たとえば一定の道のりを進む問題なら、

道のり

が一定です。

一定量の仕事を複数人でするなら、

仕事全体の量

が一定です。

1個100円の商品を買うなら、

1個あたりの値段

が一定です。

文章の中から、この「変わらないもの」を見つけることが解法の入り口になります。

中学受験で出る比例・反比例の応用問題

入試では、「これは比例の問題です」と書かれているとは限りません。

別単元の中に比例・反比例の考え方が隠れています。

速さと時間は道のり一定なら反比例

一定の道のりを進む場合、

速さが速くなるほど時間は短くなります。

たとえば120kmなら、

時速30km→4時間
時速40km→3時間
時速60km→2時間

です。

それぞれ、

30×4＝120
40×3＝120
60×2＝120

となります。

道のりが一定なので、速さと時間は反比例します。

これが理解できると、中学受験でよく使う「速さの逆比」も分かりやすくなります。

同じ道のりなら、

速さの比が2：3
→時間の比は3：2

です。

仕事算は人数と時間の関係を見る

同じ能力の人が同じ仕事をする場合も反比例の考え方が使えます。

たとえば、

6人で8日

かかる仕事を考えます。

仕事全体を、

6×8＝48人日

と考えることができます。

12人なら、

48÷12＝4日

です。

人数が2倍になったので、必要な日数は半分になっています。

ただし、人によって仕事量が違う場合は単純な反比例になりません。

問題の条件確認が必要です。

歯車・回転数にも反比例が使える

歯車問題でも反比例が登場します。

かみ合っている2つの歯車では、

歯数が多いほど回転数は少なくなります。

たとえば、

歯数20の歯車が6回転した

とします。

もう一方の歯車の歯数が30なら、

20×6＝120

なので、

120÷30＝4回転

です。

歯数×回転数が一定なので、歯数と回転数は反比例します。

図形では高さと面積の関係に注目する

図形でも比例は頻繁に使います。

たとえば底辺が10cmで一定の三角形なら、

高さ2cm→面積10cm²
高さ4cm→面積20cm²
高さ6cm→面積30cm²

となります。

高さが2倍なら面積も2倍です。

つまり底辺が一定なら、

三角形の面積は高さに比例します。

図形問題で、

「高さが3：5なら面積比は？」

と聞かれた場合、底辺が同じなら面積比も3：5になります。

比例は図形の面積比を考える土台にもなります。

比例・反比例が苦手な子への家庭での教え方

比例・反比例が苦手な子には、式から教えるより数字を動かして確認するほうが分かりやすくなります。

まず数字を2倍・3倍にして確かめる

たとえば、

1個100円
2個200円
4個400円

と書きます。

そして、

「個数が2倍になると代金は？」

と聞きます。

同じように反比例なら、

1人12時間
2人6時間
4人3時間

を比べます。

実際に数字を2倍にすると違いが見えてきます。

式を暗記する前に表を書かせる

比例だからこの式、反比例だからこの式、と先に覚えさせると混乱する子がいます。

まず表を書き、

2倍ならどうなる？
3倍ならどうなる？

を調べます。

数字の動きを理解してから式に進むほうが定着しやすくなります。

また表にすると、計算ミスにも気づきやすくなります。

「何が一定？」を毎回確認する

家庭で最もおすすめしたい質問は、

「この問題で変わらないものは何？」

です。

速さなら道のり。

仕事算なら仕事全体。

買い物なら1個あたりの値段。

図形なら底辺などです。

比例・反比例は数字の表面だけを見るより、「変わらないもの」を見つけると理解しやすくなります。

比例と反比例を2問ずつ並べて練習する

比例だけを10問解いた後に反比例だけ10問解くと、その場では解けても見分ける力がつかないことがあります。

そこで、

比例
反比例
比例
反比例

と混ぜて出します。

問題を解く前に、

「比例？反比例？それともどちらでもない？」

と判断させます。

さらに、

「なぜ？」

まで答えさせると効果的です。

中学受験では、問題の種類が書かれていない状態で見抜く力が必要だからです。

まとめ｜比例・反比例は「何が変わらないか」を見よう

中学受験算数の比例・反比例は、公式を覚えるだけでは応用問題に対応しにくい単元です。

比例は、

一方が2倍なら、もう一方も2倍

になる関係です。

反比例は、

一方が2倍なら、もう一方は2分の1

になります。

さらに、

比例では「1あたりの量」が一定
反比例では「2つの量の積」が一定

という特徴があります。

入試では、

速さ
仕事算
歯車
図形
水量

など別の単元の中に比例・反比例が登場します。

そのため、問題を見たときに、

「比例の公式は何だった？」

と考えるのではなく、

「何が変わらない？」
「一方を2倍にすると、もう一方はどうなる？」

と考える習慣をつけましょう。

家庭では、

表を書く
↓
数字を2倍・3倍にする
↓
変わらない量を探す
↓
比例か反比例か判断する
↓
式を作る

という順番がおすすめです。

また、

増えたから比例
減ったから反比例

とは限りません。

必ず「どの割合で変化したか」まで確認してください。

比例・反比例を理解すると、それだけで一つの単元が解けるようになるのではありません。

速さの逆比、仕事算、歯車、面積比など、中学受験算数の多くの問題がつながって見えるようになります。

「何倍になった？」そして「何が一定？」

この2つを自分で確認できるようになることが、比例・反比例を得点につなげる一番大切なポイントです。