中学受験算数の約数と倍数｜解き方を解説

中学受験算数の約数と倍数で押さえる基本

この記事では、中学受験算数の約数と倍数について、基本の意味から最大公約数・最小公倍数、文章題での見分け方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

約数と倍数は、中学受験算数の「数の性質」で土台になる単元です。

一見簡単に見えますが、入試では、

最大公約数
最小公倍数
余り
周期
規則性

などと組み合わせて出題されるため、意味を正しく理解しておくことが大切です。

約数は「割り切れる数」

例えば12の約数は、

1、2、3、4、6、12

です。

これらはすべて、

12÷1
12÷2
12÷3
12÷4
12÷6
12÷12

が割り切れます。

つまり約数とは、

その数を割り切ることができる数

です。

例えば5は12を割り切れないので、12の約数ではありません。

倍数は「何倍かしてできる数」

12の倍数は、

12、24、36、48、60……

と続きます。

これは、

12×1
12×2
12×3
12×4
12×5……

だからです。

つまり倍数とは、

ある数を1倍、2倍、3倍……してできる数

です。

約数は有限個ですが、倍数はどこまでも続きます。

最大公約数と最小公倍数の違い

24と36を考えます。

両方に共通する約数は、

1、2、3、4、6、12

です。

この中で最も大きい12が、

最大公約数

です。

一方、24と36の両方の倍数のうち、最も小さい共通の数は、

72

です。

これが、

最小公倍数

です。

言葉が似ているため混同しやすいですが、

最大公約数＝共通して分けられる最大の数
最小公倍数＝最初にそろう最小の数

と考えると分かりやすいでしょう。

約数と倍数の基本問題を例題で攻略

ここからは、中学受験でよく出る典型問題を見ていきます。

例題1｜約数をすべて求める問題

【問題】

36の約数をすべて求めなさい。

【解き方】

約数は、かけ算のペアで探します。

1×36
2×18
3×12
4×9
6×6

したがって、

1、2、3、4、6、9、12、18、36

の9個です。

小さい順に並べると、抜けがないか確認しやすくなります。

例題2｜最大公約数を使う問題

【問題】

赤い折り紙24枚と青い折り紙36枚を、どちらも余らないように同じ枚数ずつできるだけ多くの人へ分けます。

最大で何人に分けられますか。

【解き方】

24枚も36枚も同じ人数で割り切れる必要があります。

つまり、

24と36の最大公約数

を求めます。

24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3

共通部分は、

2×2×3＝12

です。

答えは、

12人

です。

「余らないように同じ数ずつ分ける」という言葉が、最大公約数のヒントになります。

例題3｜最小公倍数を使う問題

【問題】

Aさんは6日ごと、Bさんは8日ごとに図書館へ行きます。

今日2人が同じ日に行ったとすると、次に同じ日になるのは何日後ですか。

【解き方】

6と8の最小公倍数を求めます。

6の倍数は、

6、12、18、24……

8の倍数は、

8、16、24……

最初に重なるのは、

24

です。

答えは、

24日後

です。

例題4｜文章題から約数・倍数を見分ける

【問題】

縦18cm、横30cmの長方形の紙を、余りが出ないようにできるだけ大きな同じ正方形に切り分けます。

正方形の1辺は何cmですか。

【解き方】

18cmと30cmの両方を割り切れる長さが必要です。

しかも、

できるだけ大きい

という条件があります。

したがって、

18と30の最大公約数

を求めます。

18＝2×3×3
30＝2×3×5

共通部分は、

2×3＝6

答えは、

6cm

です。

中学受験で差がつく約数と倍数の考え方

入試問題では、「最大公約数を求めなさい」と直接書かれないことが多くあります。

文章から見抜く力が必要です。

「同じ数ずつ分ける」は公約数を疑う

例えば、

同じ人数に分ける
同じ長さに切る
同じ大きさにそろえる
余りなく分ける

という条件が出たら、

公約数

を疑います。

さらに、

「できるだけ多くの人数」
「できるだけ大きい正方形」

なら、

最大公約数

を使うことが多いです。

「何日ごと・何分ごと」は公倍数を疑う

一方、

6日ごと
8分ごと
12個ごと

のように、繰り返しが重なる問題では、

公倍数

を使います。

特に、

「次に一緒になるのはいつ？」

という場合は、

最小公倍数

です。

文章題では、

分ける→公約数
そろう→公倍数

という大きな目印を持っておくと判断しやすくなります。

素因数分解で大きな数を整理する

数字が小さいうちは、約数や倍数を書き出しても解けます。

しかし、

72と120

など大きくなると、素因数分解が便利です。

72＝2³×3²
120＝2³×3×5

最大公約数は、共通する部分を使って、

2³×3＝24

です。

最小公倍数は、必要な素因数をすべて使って、

2³×3²×5＝360

となります。

数が大きくなったら、

何の素数が何個あるか

に分けて考えましょう。

余りのある問題にもつながる

約数と倍数は、余りの問題にもつながります。

例えば、

ある数を6で割っても8で割っても2余る

とします。

その数から2を引くと、

6でも8でも割り切れる

数になります。

つまり、

6と8の公倍数

を考えればよいことになります。

このように、

同じ余りが出る
↓
余りを引く
↓
公倍数へ変える

という問題は中学受験でよく使われます。

約数と倍数が苦手な子への家庭での教え方

約数と倍数は、最初から計算方法だけ教えるより、具体的な数を書きながら意味を確認するほうが理解しやすい単元です。

約数はかけ算のペアで探す

例えば24なら、

1×24
2×12
3×8
4×6

と書きます。

すると約数は、

1、2、3、4、6、8、12、24

と漏れなく見つかります。

家庭では、

「24になるかけ算のペアを探そう」

と声をかけてみてください。

倍数は九九の続きを書く

6の倍数なら、

6、12、18、24、30……

8の倍数なら、

8、16、24、32……

と実際に書きます。

「24で初めて重なった」

と目で確認できれば、最小公倍数の意味が分かります。

短除法などの手順は、そのあとで構いません。

問題文を「分ける」「重なる」で言い換える

文章題で迷ったら、

「これは同じ数ずつ分けたいの？」
「それとも次に同じになる時を知りたいの？」

と聞きます。

分けるなら公約数。

重なるなら公倍数。

この2つに言い換えるだけでも、式の選択がしやすくなります。

翌日と1週間後に文章題で確認する

その日に、

最大公約数10問

のように同じ形式だけ解いても、考え方を覚えただけになることがあります。

おすすめは、

当日：数だけの基本問題
翌日：折り紙を分ける問題
1週間後：正方形に切る・周期が重なる問題

という流れです。

題材が変わっても、

「これは最大公約数」

と自分で判断できれば、理解が定着しています。

まとめ｜約数と倍数は「分ける」と「そろう」で判断する

中学受験算数の約数と倍数では、

約数
倍数
最大公約数
最小公倍数

の意味を区別することが重要です。

約数は、

ある数を割り切れる数。

倍数は、

ある数を何倍かしてできる数

です。

文章題では、

同じ数ずつ分ける
余りなく切り分ける
→公約数

何日ごと・何分ごとが重なる
次に同時になる
→公倍数

と考えると整理しやすくなります。

さらに、

できるだけ大きく分ける
できるだけ多くのグループにする

なら最大公約数。

最初にそろう時を求めるなら最小公倍数

を使います。

家庭で子どもが迷ったら、

「これは分ける問題？そろう問題？」
「両方を割り切りたい？両方の倍数を探したい？」

と聞いてみてください。

中学受験では、計算方法を知っているだけではなく、

問題文の状況を「約数」や「倍数」の関係へ置き換えられること

が大切です。

まず小さな数字で意味を確認し、そこから最大公約数・最小公倍数、余り、周期へ広げていけば、数の性質の問題にも対応しやすくなります。